Nous considérons la propagation des UHECRs dans le milieu extragalactique dans le même cadre qu’au chapitre précédent. Nous précisons plus en détail les algorithmes d’interaction qui permettent d’étudier les particules secondaires.
Photoproduction de pions
Les fonds considérés pour cette interaction sont le CMB et le fond infrarouge. À un redshiftz, le CMB est un corps noir de températureT (z) = T0(1 + z). La densité par unité d’énergie et de volume physique de photons
s’écrit : nT()∝ 2 e/kT − 1 soit : nT() = (1 + z) 2× n T0 1 + z
Le taux d’interaction avec le CMB, exprimé au chapitre 4, se réécrit donc : R(E, z) = (1 + z) 2 8E2 Z ∞ th dnT0(/1 + z) 2 Z smax sth ds (s− m2N)σN γ(s)
On utilise les notationsth≡ A/E et sth ≡ B. On obtient alors par changement de variable :
R(E, z) = 1 + z 8E2 Z ∞ A/E(1+z) dnT0() 2 Z m2N+4E(1+z) B ds σN γ(s)(s− m2N)
Il y a donc, dans le cas de l’interaction avec le CMB, un lien très simple entre les taux d’interactions à divers redshifts, grâce à la forme de l’évolution de la densité de photons du CMB avecz :
R(E, z) = (1 + z)3R(E(1 + z), 0)
L’algorithme de photoproduction de pions est alors le suivant :CRPropautilise une table donnant le taux d’interaction avec le CMB àz = 0, elle-même déduite de SOPHIA, pour calculer le taux d’interaction à un redshiftz (rappelons qu’on a toujours z = 0 si la simulation est à 3D). Pour chaque pas ∆t, on tire un nombre aléatoire0 < α < 1 et il y a interaction si α < ∆t× R(E, z). Dans ce cas on appele SOPHIA pour générer une interaction : toutes les particules « stables » résultantes (p, n,γ, e±,ν) sont retournées et ajoutées à la liste
des secondaires à propager dansCRPropa.
Dans le cas du fond infrarouge, on dispose de plusieurs modèles donnant la densiténIR(, z = 0), que l’on
peut choisir.CRPropautilise ensuite le modèle le plus simple imaginable donnant l’évolution de cette densité avecz : on suppose que l’ensemble des photons IR ont été émis à un certain redshift zmax∼ 4, correspondant
par exemple à l’époque supposée où la luminosité des AGNs était la plus importante. L’évolution denIR(, z)
est alors sous cette hypothèse la même que celle du CMB, qui est aussi un gaz de photons libres depuis la surface de dernière diffusion. Dans ce cas, la formuleR(E, z) = (1 + z)3R(E(1 + z), 0) tient toujours. L’algorithme
d’interaction est donc exactement le même que dans le cas du CMB.
Désintégration des neutrons.
Les neutrons générés par photoproduction de pions se désintègrent, ce qui engendre aussi des flux assurés de e− et deν¯e. Le temps de désintégration du neutron étant fixé, on teste à chaque pas par Monte-Carlo s’il y a
désintégration. Dans l’affirmative, les produits de désintégration sont générés de la manière suivante : la quantité de mouvement emportée par lese− etν¯eétant négligeable, on peut considérer avec une bonne approximation
qu’il y a conservation du facteur de Lorentzγ et donc l’énergie du proton sortant est Ep = En× mp/mn. En
notantQ≡ mn− mp = 1.29 MeV, la distribution de l’énergie dans le centre de masse de l’électron sortant est
obtenue par des arguments cinématiques : dn
dEe ∝ Ee
(Q− Ee)2pEe2− m2e pour me≤ Ee≤ Q
On tire doncEeselon cette loi. On a alorsEν = Q− Ee. Les directions d’émissionθeetθν de l’électron et du
neutrino dans le centre de masse sont tirées de manière isotropes, ce qui permet ensuite d’obtenir les énergies sortantes de ces particules dans le référentiel de l’observateurE0
e= γ(Ee+pecos θe) et Eν0 = γEν(1+cos θν).
Ces secondaires sont alors mis dans la liste des particules à propager.
Photoproduction de paires
Cette interaction est traitée comme un processus continu sur le CMB. LedE/dx appliqué est tabulé à redshift z = 0, et pour les plus grands redshifts il y a exactement la même relation d’échelle que dans le cas de la
photoproduction de pions ; l’évolution de l’énergie des protons est donc calculée à chaque pas ∆t avec la relation :
E(t + ∆t) = E(t)1 − (1 + z)3∆t f (E(1 + z)) ≡ E(t) − ∆E
oùf (E) est une fonction tabulée. La distribution en énergie des paires e±est relativement problématique. En
ordre de grandeur, on peut estimer qu’au seuil les paires sont produites au repos dans le référentiel de repos du proton. Dans le référentiel de l’observateur, cela correspond donc à une énergieEe ∼ (me/mp)Ep ∼ 1 PeV
pour un proton de 2 EeV. En fait, des simulations numériques complètes [134] de l’interaction montrent que la distribution des énergies des paires créées n’est pas monochromatique, et a en particulier une queue en loi de puissance à haute énergie. Cette queue est explicitement représentée à la Fig. 2 de [135], dans le cas de la production de tripletsγe−→ e+e−e ; les sections efficaces sont analogues dans le cas de la production de paires
dans le champ d’un proton puisqu’à haute énergie c’est le même processus électromagnétique, les phénomènes hadroniques ne jouant aucun rôle. On peut alors estimer que la distribution des énergies des paires est en ∼ Ee−7/4[81]. La valeur exacte de cet indice spectral reste l’objet de quelque incertitude, mais il est important
de remarquer que cet indice est assez proche de 2, ce qui implique que l’énergie perdue par production de paires est transportée en grande partie par des paires d’énergieEeélevée. Le spectre des pairese±générées à chaque
pas∆t est donc actuellement modélisé dansCRPropapar une loi de puissance : dne dEe ∝ E −7/4 e pour Emin ≤ Ee≤ Eth= 4Ep2 4Ep + m2p
Le seuilEth est imposé par la cinématique [81] : ' 10−3 eV est l’énergie typique d’un photon du CMB.
Puisque le processus est modélisé comme des pertes continues d’énergie, ce spectre est normalisé en imposant à chaque pas∆t la relation ∆E = 2REth
EmindEeEedne/dEe, le facteur 2 provenant du fait qu’on a deux espèces,
e+ete−, avec la même distribution en énergie.
Les cascades électromagnétiques
Les photons, électrons et positons secondaires injectés soit de façon monochromatique (photoproduction de pions, désintégration du neutron), soit avec un spectre en loi de puissance (photoproduction de paires) forment des cascades électromagnétiques étudiées par DINT, qui résout des équations de transport unidimensionnel pour ces cascades.
– Dans le cas tridimensionnel, chaque secondaire injecté génère une cascade.
– À une dimension, une liste de cascades vides, situées à différents redshifts, est créée avant la propagation des protons. Ces cascades sont remplies lors de la propagation des nucléons, et sont ensuite propagées jusqu’à z = 0 à la fin de la simulation. L’avantage de cette approche est un gain de temps de CPU considérable pour les cascades générées à grand redshift.
Même dans les simulations tridimensionnelles, les cascades électromagnétiques sont propagées en ligne droite. Les électrons de ces cascades peuvent bien sûr être défléchis dans les champs ~B extragalactiques, et nous précisons ici sous quelles circonstances ces déflections peuvent être négligées. Dans un champ magnétiqueB, les électrons perdent de l’énergie par synchrotron avec un temps caractéristique :
tsynch≡ Ee dEe/dt = 6πm 2 e σTEeB2 ' 3.84 kpc Ee 1015eV −1 B µG −2
oùσT est la section efficace de Thomson. La Fig. 4.9 montre par ailleurs que le temps de perte d’énergie par
tIC .500 pc Ee 1015eV Ee&1015eV tIC .1.1 pc Ee.1015eV
Il faut comparer ces ordres de grandeur au rayon de Larmor de l’électron : rL= Ee eB ' 1.1 pc Ee 1015eV B µG −1
Pour que le traitement unidimensionnel de la cascade électromagnétique soit valide, il faut que le rayon de Larmor soit plus grand que la longueur de propagation de la cascade, ou bien que l’une des deux distances de perte d’énergie décrites ci-dessus :
• C’est le cas en champ ~B faible (B . 1 nG) pour Ee&1015eV.
• C’est le cas en champ fort (B & 1 nG) pour Ee &1018eV.
L’approximation ne sera donc pas valide dès que les champs seront supérieurs au pG, pourEe . 1015 eV.
Néanmoins ce n’est pas catastrophique car les électrons dans cette bande d’énergie ne contribuent pas de ma- nière significative au fluxγ à des énergies au-dessus du MeV. Par ailleurs l’approximation ne tient pas non plus en champ fort pourEe . 1018 eV. Elle ne tiendra donc que si cette composante « basse énergie » des
cascades se développe essentiellement dans les vides des grandes structures, où le champ ~B est faible. Cela est typiquement le cas si une source est dans une région magnétisée, car dans ce cas les cascades ne traversent les zones magnétisées qu’au début de leur développement, quand l’esssentiel de leur énergie est contenu dans des particules de « haute » énergie.