Détails techniques

Intégration de l’équation du mouvement

Plusieurs algorithmes sont disponibles pour intégrer l’équation du mouvement dans l’espace des phases, soit avecY _{≡ (~r, ~p) :}

dY

dt = f (Y ) avecf définie par :

d~r dt = c ~ p ||~p|| et d~p dt = q d~r dt ∧ ~B

Pour pouvoir étudier la propagation des UHECRs dans des champs magnétiques très structurés tels que ceux présentés au chapitre précédent, il est indispensable d’utiliser un intégrateur à pas adaptatif, le rayon de courbure d’une trajectoire pouvant varier, comme les champs ~B, d’un facteur∼ 106 _{en quelques pas ! Nous}

avons pour l’instant implémenté dansCRPropal’intégrateur de Runge Kutta avec pas adaptatif tel que donné par les Numerical Recipes4. Il s’agit d’un intégrateur du 5ieme ordre, dont le principe est le suivant : à chaque étape, on part d’un pashtryet on estime l’erreur relative faite avec ce pas. On compare cette valeur avec un ref

fixé, et on modifie le pas en fonction de/ref. On finit ainsi par atteindre un pas optimalhf, qui est celui pour

lequel on intègre les équations du mouvement et qui servira de pashtryà la prochaine étape de l’intégration.

♠ Note importante : dans le cadre deCRPropa, nous avons aussi modifié l’intégrateur de façon à borner le pas :hmin ≤ hf ≤ hmax. La valeur minimalehmin existe lorsque le champ magnétique est une grille dont la

distance∆ entre deux points adjacents est fixée : il ne sert alors à rien de vouloir utiliser un pas plus petit que ∼ ∆, le facteur limitant la précision de l’intégration étant alors la résolution de la grille. La valeur maximale hmaxest associée au pas maximal autorisé pour les interactions. Il faut en particulier quehmaxsoit très petit

devant la distance minimale d’interaction par photoproduction de pions.

L’intégration des équations du mouvement génère forcément des phénomènes de dissipation numérique. On observe en effet qu’aux très longues échelles de temps, en présence de champs ~B forts, l’énergie de la particule n’est pas parfaitement conservée : par exemple, même avecref = 10−5, un proton d’énergie 100 EeV tournant

dans un champ magnétique uniforme de 1µG (soit un rayon de Larmor de 0.1 Mpc) perd 0.5% de son énergie sur 300 Mpc. Ces « pertes » sont en général faible devant les autres effets, ne serait-ce que le redshift, mais peuvent être significatives à basse énergie en champ ~B fort. On corrige cet effet dans l’algorithme en imposant à la particule chargée de conserver son énergie après chaque étape de déflection. La Fig. 5.2 montre le résultat : il reste bien sûr toujours une erreur sur la trajectoire, très faible et donc sans aucune importance ; l’énergie reste par contre constante même à très long terme. Cette précaution permet d’éviter tout biais sur le spectre prédit par les simulations.

En pratique, étant données les incertitudes sur les champs ~B et la nature stochastique des mouvements, une précisionref = 10−3de l’intégrateur est amplement suffisante. Avec cette précision, il suffit d’environ quatre

pas d’intégration pour effectuer un tour complet dans un champ magnétique uniforme.

Algorithmes de « détection »

Nous précisons ici le détail de l’algorithme de détection d’une particule chargée se propageant dans l’espace tridimensionnel par une « petite sphère » de rayonOB = r ; la géométrie est représentée en Fig. 5.3 (gauche). La particule est à un instant donné en un pointP . À chaque pas on applique la méthode suivante, qui consiste en un raffinement de la méthode utilisée dans l’ancêtre deCRPropa:

– On calculeCP . Quoi qu’il arrive, sauf si la particule venait à être détectée, le prochain pas d’intégration sera inférieur àCP , afin d’éviter de perdre la détection suite à un pas trop grand.

– SiOP _{≤ r(1 + }1), où typiquement 1 ∼ 5%, alors on calcule :

OA2 = OP2−−−→OP ·~v v

2

puis ∆≡ r2− OA2

Il y a détection si−→AP _{· ~v ≤ 0 et ∆ ≥ 0. Dans ce cas AB =}√∆.

4

FIG. 5.2 : Trajectoires simulées de protons d’énergie1019eV (sans interactions) dans un champ magnétique uniforme de0.1µG perpendiculaire au plan de la figure, avec une position initiale ~r0 = ~0 et une précision

ref = 10−5. Les trajectoires sont suivies sur 10 Gpc : on se place donc dans un cas extrême. Rouge : intégration

standard des équations du mouvement. Le rayon de Larmor diminue au cours du temps à cause de la dissipation numérique. Noir : correction de l’énergie à chaque pas. Le rayon de Larmor reste constant, mais on observe néanmoins une légère dérive de la trajectoire.

– On corrige alors la position de la particule en la déplaçant rectilignement selon la direction de sa vitesse, jusqu’enP0_{tel queP P}0 _{= P B× (1 + 2) où typiquement 2 ∼ 0.1%. Cela assure à la particule d’être}

effectivement dans la sphère. Elle est alors enregistrée.

– Même si la particule est enregistrée, sa propagation est poursuivie : elle ne sera pas détectée au pas suivant. Elle peut par contre diffuser loin de la sphère et revenir, elle sera alors détectée une seconde fois. Cela est nécessaire car le but de ces observateurs est d’échantillonner la densité des UHECRs en une région de l’espace, même s’il y a diffusion.

O C P B A v proton neutral box 1 box 3 box 4 box 2

FIG. 5.3 : Gauche : géométrie d’une petite sphère servant de détecteur dansCRPropa. Droite : détection d’un secondaire neutre dans une boîte adjacente à celle du point de création du secondaire.

L’algorithme fonctionne sans problème tant que le rayon de Larmor de la particule au voisinage de la sphère est grand devantr. On a vérifié son bon fonctionnement en considérant une source à d = 5 Mpc de O, et r = 2

Mpc. La source émet des particules de manière isotrope sans déflection. Elle voit la sphère d’un angleθ tel que sin θ = r/d, soit un angle solide Ω = 2π(1− cos θ). Le rapport entre le nombre de particules enregistrées et le nombre de particule injectées doit alors êtref = Ω/4π = (1_{− cos θ)/2 = 4.17%, ce qui est pratiquement} observé.

L’algorithme de détection par ces même sphères pour des particules neutres est légèrement différent car il n’y a qu’un seul pas de propagation dans ce cas. Il faut en particulier prendre en compte le fait que le secondaire peut être détecté par des observateurs situés dans une boîte voisine de celle où il est généré, à cause des conditions aux limites périodiques qui sont imposées pour la propagation. Ce cas est illustré à la Fig. 5.3 (droite).

Notons pour conclure que le choix du rayon de ces petites sphères est crucial en terme de CPU : la plupart des particules injectées aux sources ne rencontreront jamais ces observateurs et sont donc propagées en pure perte. Plus la sphère est grande, plus le « rendement » de la simulation (nombre de particules enregistrées / nombre de particules propagées) est grand.

Peut-on propager des particules en sens inverse ?

Cette question revient souvent étant donné le « gâchi » de temps CPU que représente la propagation de par- ticules qui ne seront jamais détectées. L’idée est de propager numériquement les antiparticules des UHECRs dans les champs ~B de la Terre aux sources. Elle a été implémentée dans [116] et [117] pour la propagation galactique, et dans [118] pour la propagation extragalactique. Cette méthode soulève plusieurs problèmes : – Les pertes d’énergie des protons ne peuvent qu’être approximées comme un unique processus continu. On

perd en particulier la nature stochastique de la photoproduction de pions.

– Jusqu’où arrêter la propagation en sens inverse ? Cela dépend de la distribution des sources, mais aussi de l’énergie de la particule. On peut appliquer des méthodes statistiques, la probabilité d’arrêter la propagation en un point donné étant proportionnelle à la densité des sources en ce point par exemple.

– On ne peut pas étudier la propagation de noyaux plus lourds que les protons car on ne peut pas propager en sens inverse une cascade de particules. Il en va de même pour les secondaires neutres des UHECRs.

Cette méthode possède ainsi plusieurs inconvénients qui la rendent très délicate d’emploi, voire inutilisable pour prédire les diverses observables UHECRs dans le cadre d’un modèle spécifique de propagation. Nous ne l’avons donc jamais utilisée, mais elle est tout-à-fait implémentable dans le cadre deCRPropa.