Etats d’intervalle M et L

O método de Prony ou método da exponencial complexa (MEC) é uma técnica utilizada para modelar sinais passageiros e determinísticos como um somatório linear de funções exponenciais complexas. O MEC foi desenvolvido em 1795 por Gaspard Riche e Baron Prony para explicar expansões de diversos gases (Marple, 1987). A principal vantagem do método de Prony em relação à análise de Fourier é a representação do tempo do sinal que vai decorrendo como a soma das funções exponenciais em vez das funções sinusoidais contínuas; que apenas oferecem uma verdadeira representação do sinal que atravessa o provete se for considerada uma janela de tempo infinita.

O MEC tem duas grandes diferenças em comparação com a transformada de Fourier: a) as funções sinusoidais podem crescer e decair; assim, os coeficientes de amortecimento são calculados directamente, e b) a resolução no domínio da frequência é aumentada devido às frequências das funções exponenciais serem directamente estimadas a partir do domínio tempo.

O MEC providencia resultados certeiros para análises de sinais passageiros, no entanto, a presença de ruído afecta os resultados (Osborne e Smyth 1995). Por isso, o pré-processamento do sinal para a redução de ruído é fortemente recomendado (Tallavó et al., 2009). O MEC é um método paramétrico que tem sido utilizado para a identificação de respostas de impulsos de sistemas mecânicos (Slivinskas e Simonyte, 2006), caracterização de distorções de forma de onda em sistemas poderosos (Bracale et al., 2007), análises de sinais não estacionários (Garoosi e Jansen, 2000), e em diversas aplicações onde o sinal pode ser representado como um somatório de sinusóides amortecidas. Neste trabalho, o MEC é utilizado para caracterizar a resposta de um transmissor ultra sónico. Em resultado, as frequências principais, coeficientes de amortecimento, amplitudes e ângulos de fase dos modos de vibração do transmissor são também obtidos.

Os valores discretos da vibração livre amortecida (_) de um sistema mecânico com um ou mais graus de liberdade são dados pela Equação 29.1.

 = ∑Å©`6i ;uÙi ¹i (åD) Sw1 (Ti (J2D) r hi) (29.1)

em que:

Avaliação de módulos de distorção dinâmicos em misturas de solo-cimento com recurso a métodos ultra-sónicos de impulso no domínio do tempo e registos de modos de ressonância por análise espectral de séries de Fourier

+i o coeficiente de amortecimento;

Ti a frequência angular;

hi o ângulo de fase;

2D o passo de amostragem;

j o número da função exponencial;

J = 0, 1, … j5 com j₅ sendo o número de valores discretos de _.

A Equação 29.1 pode também ser expressa como um somatório de funções exponenciais.

 = ∑Å©`6æk çi (29.2)

em que:

 = ;(uÙitè)¹é åD (29.3)

Tomando o logaritmo natural, as seguintes relações para a frequência angular (T_i) e o coeficiente de amortecimento (+_i) são obtidas pelas Equações 29.4 e 29.5.

Ti =_åD` IFGL (UJ ( çi)) (29.4)

+

i

= −

_V((êE€((êé_é))₎₎ (29.5)

O MEC é baseado na avaliação da função resposta de impulso (IRF) correspondente, por isso, se a Equação 29.1 representar uma função resposta de impulso, a função de transferência é dada pela sua transformada em Z como explica a Equação 29.6.

](ç) =

¾(ê)_?(ê)

= ∑

4





ç

u (29.6)

onde B(Z) e A(Z) são funções polinomiais de ordem e j respectivamente ( é o número de zeros e

j o número de pólos respectivamente, deste modo a Equação 29.6 pode ser expandida para a série que

se segue.

È r È`çu`r ⋯ r Ȅçu„ = ( r `çu`r ⋯ r 4çu4)(1 r G`çu`r ⋯ r rGçuÅ)

(29.7)

Onde È ; È_{`</sub>; …; È<sub>„</sub> e G<sub>`}; G_\; …; G_ são coeficientes dos polinómios Y(ç) e R(ç), respectivamente. Desde que os coeficientes È ; È_{`</sub>; …; È<sub>„</sub> e G<sub>`}; G_\; …; G_ sejam reais os pólos e zeros de ](ç) ocorrem em pares conjugados complexos. Equacionando a potência de ç de cada lado Equação 29.7 as seguintes equações podem ser obtidas.

È = 

È` = ` r  G`

Ȅ = „ r „u`G`r ⋯ r „uÅGÅ (29.8)

0 = „t`r „G`r ⋯ r „uÅt`GÅ

0 = 4r 4u`G`r ⋯ r 4uÅGÅ

A Equação 29.8 pode ser escrita em forma de matriz e dividida em duas partes. A parte inferior da matriz é definida em termos de medições de _ e os coeficientes G_. A ordem do numerador ( ) é igual a (j) na maior parte dos casos práticos. Assim, para = j o resultado do sistema de equações

Avaliação de módulos de distorção dinâmicos em misturas de solo-cimento com recurso a métodos ultra-sónicos de impulso no domínio do tempo e registos de modos de ressonância por análise espectral de séries de Fourier

é impossível se g for menor que 2j, é possível e indeterminado se g for maior que 2j. Em ambos os casos, a matriz resultante não é quadrada.

Os coeficientes G_ podem ser obtidos pelo método dos mínimos quadrados. Uma vez determinados os coeficientes G_, os coeficientes I, que representam os pólos do sistema, podem ser obtidos calculando as raízes da função polinomial de R(ç). As frequências angulares T_ e os coeficientes de amortecimento +_ são depois compreendidos utilizando as Equações 29.4 e 29.5, respectivamente. Os coeficientes È_i são obtidos substituindo os coeficientes G_i na partição superior da Equação 29.8. De seguida, os coeficientes 6ì podem ser obtidos resolvendo o sistema de equações definido pela _i Equação 29.2. Finalmente, a função transferência é obtida pela Equação 29.6. Uma vez que um modelo paramétrico adequado foi utilizado para identificar os parâmetros dinâmicos de um conjunto de dados experimentais, o próximo passo é estimar a dimensão e a ordem modelo. A escolha de uma ordem apropriada é um dos aspectos mais críticos de qualquer método paramétrico. Não existe uma única teoria para a determinação da ordem óptima para o método de Prony. Se for escolhida uma ordem baixa, a  (função resposta de frequência) obtida tem uma resolução insuficiente, por outro lado, se for escolhido um modelo de ordem alta poderão ser produzidos falsos picos na  obviamente indesejáveis. A maior parte dos critérios para determinar a ordem do modelo são baseados no somatório residual dos erros ao quadrado entre a curva original e os sinais guardados. O amplamente utilizado critério de informação Akaike (CIA) é baseado na minimização do logaritmo da verdadeira semelhança da variação do erro prevista como uma função da ordem de modelo, e é dado pela seguinte expressão.

6R = UJíM

e\

î r

\Å_ÅO (29.9)

em que:

Me\ é a variação do erro prevista;

jO é o número de pontos utilizados para representar o sinal;

j é a ordem do modelo.

O critério 6R inclui dois componentes principais: um tem em conta o erro na própria variação do erro, o segundo tem em conta o desvio dos coeficientes estimados â_ dos seus verdadeiros valores (devido à complexidade do modelo). A primeira componente decresce consoante o crescimento da segunda quando a ordem do modelo j aumenta. Assim, existe um valor óptimo para j que faz com que 6R seja mínimo.

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