THÉORIE GÉNÉRALEMENT COVARIANTE (1915-1916) 121 nière ne donne pas la fonction hamiltonienne H Elle permet,

si elle est généralisée correctement, une fonction arbitraire H. De cela il découlait que la covariance par rapport aux systèmes de coordonnées "adaptés" était un coup d'épée dans l'eau.6

Einstein mentionna les mêmes trois raisons dans une lettre à H. A. Lorentz en janvier 1916, mais intervertit les éléments (1) et (2).7 _{Etant donné qu'avec}

Sommerfeld, Einstein se sentait à l'aise pour discuter de ses idées, il est possible que l'ordre des raisons qu'Einstein donna à Sommerfeld représente la séquence dans l'ordre historique. Si tel est le cas, la séquence des évènements semble avoir été la suivante. Ayant, dans son article de 1914 à l'Académie de Berlin, fortement argumenté en faveur d'un groupe de covariance contenant en particulier les transformations de rotation,8_{il fut naturel pour Einstein, bien que cela ne fusse}

peut-être pas immédiat d'un point de vue mathématique, d'examiner si ses équations de champ avaient eectivement une telle covariance. Trouvant que ce n'était pas le cas, Einstein décida probablement de tester la théorie sur la précession du périhélie de Mercure. Rencontrant de nouveau un échec, Einstein a dû venir à un examen critique de ce qu'il pensait être une dérivation "naturelle" des équations de champ et trouva qu'elle était défectueuse.

L'idée suivante d'Einstein fut alors la suivante :

Après que toute conance dans les résultats et la méthode de la théorie antérieure eut ainsi disparu, je vis clairement, que seule une théorie généralement covariante, i.e., une théorie utilisant les covariants de Riemann pouvait donner une solution satisfaisante.9

Ayant complètement perdu conance dans ses équations de champ antérieures, Einstein décida d'en trouver de nouvelles. Cette fois, toutefois, il devait s'assurer d'un groupe de covariance satisfaisant dès le départ en utilisant le tenseur de Riemann-Christoel. La pertinence de ce tenseur pour trouver des équations de champ impliquant les gµν et leurs dérivées premières et secondes provenait

du résultat mathématique que tout tenseur déduit des gµν et leurs dérivées

peut être obtenu à partir du tenseur de Riemann-Christoel. Nous avons vu qu'Einstein et Marcel Grossmann étaient pleinement conscients de cela dès le

6_{"1) Ich bewies, dass das Gravitationsfeld auf einem gleichförmig rotierenden System den}

Feldgleichungen nicht genügt.

2) Die Bewegung des Merkur-Perihels ergab sich zu 18 statt 45 pro Jahrhundert. 3) Die Kovarianzbetrachtung in meiner Arbeit vom letzten Jahre liefert die Hamilton- Funktion H nicht. Sie lässt, wenn sie sachgemäss verallgemeinert wird, ein beliebiges H zu. Daraus ergab sich, dass die Kovarianz bezüglich 'angepasster' Koordinatensysteme ein Schlag ins Wasser war," Einstein à Sommerfeld, 28 novembre 1915, Briefwechsel (1968), pp. 32-33.

7_{Einstein à Lorentz, 1 janvier 1916, Einstein Papers, Princeton University, microlm reel}

I.B. 1, no. 16 ; mentionné par Earman/Glymour, "Einstein and Hilbert," p. 295.

8_{A. Einstein, "Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie," Sitzungsbe-}

richte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Berlin, partie 2 (1914), pp. 1030-85, sur pp. 1031-32, 1068.

9_{"Nachdem so jedes Vertrauen in Resultate und Methode der früheren Theorie gewichen}

war, sah ich klar, dass nur einen Anschluss an die allgemeine Kovarianten-theorie, d.h. an Riemann's Kovariante, eine befriedigende Lösung gefunden werden konnte," Einstein à Som- merfeld, 28 novembre 1915, Briefwechsel (1968), p. 33.

122CHAPITRE 5. THÉORIE DE LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE (1915−1917) départ et avaient déjà envisagé d'utiliser le tenseur de courbure dans l'article Entwurf de 1913. Pourtant, ils pensèrent qu'ils avaient plusieurs raisons contre son usage.

Durant les années 1913 − 15, Einstein devait graduellement surmonter les objections contre l'utilisation du tenseur de Riemann-Christoel. L'échec d'ob- tention de la théorie de Newton comme approximation fut surmonté en février 1914, quand Einstein et A. D. Fokker donnèrent une formulation généralement covariante de la théorie de Nordström en utilisant le tenseur de Riemann. Dans une note de bas de page, Einstein et Fokker indiquèrent sans élaboration que l'objection concernant l'approximation newtonienne avait été trouvée invalide.10

Comme la théorie scalaire de gravitation de Nordström, qui donnait la théorie gravitationnelle de Newton comme approximation, était dérivée dans l'article via le scalaire de courbure, l'objection ci-dessus avait en eet été refutée dans ce cas. Ensuite, Einstein probablement généralisa la réfutation au cas d'une théo- rie tensorielle. On peut peut-être se demander pourquoi Einstein, ayant utilisé avec succès le tenseur de Riemann-Christoel, n'essaya pas immédiatement de développer des équations de champ gravitationnelles à partir du tenseur de cour- bure. La raison est qu'à cette étape, Einstein était convaincu de la validité de ses équations de champ antérieures et cherchait, tout au plus, une connection éven- tuelle de ces dernières avec le tenseur de courbure. Trouver une telle connection n'était certainement pas évident si tant est qu'elle existe.

Ce qui apparemment empêcha, en particulier, l'utilisation plus étendue du tenseur de courbure par Einstein à cette date était qu'il l'écrivait en terme des gµν au lieu des symboles de Christoel car, comme nous l'avons vu, il considérait

les quantités 1 2  gτ µ∂gµν ∂xα 

comme étant les composantes "naturelles" du champ de gravitation.11 _{En no-}

vembre 1914, Einstein défendait encore ce point de vue12_{en dépit du fait qu'à}

cette date, il écrivait des équations de conservation et, encore plus important, les équations du mouvement en terme des symboles de Christoel. Ce fut la pre- mière fois qu'Einstein donna l'équation du mouvement sous la forme standard :

d2_xτ ds2 + Γ τ µν dxµ ds dxν ds = 0

(s étant le temps propre), tandis que précédemment, Einstein avait utilisé des expressions moins simples contenant explicitement les gµν. Einstein, à cette

étape, réalisa que les symboles de Christoel pouvaient être considérés comme les composantes du champ gravitationnel13 _{mais il pensait avoir des arguments}

10_{Albert Einstein et A. D. Fokker, "Die Nordströmsche Gravitationstheorie vom Standpunkt}

des absoluten Dierentialskalküls," Annalen der Physik, 44 (1914), 321-28, sur 328.

11_{A. Einstein, "Zur allgemeinen Relativitätstheorie," Sitzungsberichte der K. Preussischen}

Akademie der Wissenschaften, Berlin, partie 2 (1915), pp. 777, 778-86, supplément, pp. 789, 799-801, sur 782.

12_{A. Einstein, "Formale Grundlage" (1914), pp. 1058, 1060-61.} 13_{Ibid., p. 1060.}

5.1. THÉORIE GÉNÉRALEMENT COVARIANTE (1915-1916) 123