Elaboration ultérieure de la théorie

rivale de Nordström.67 _{Einstein devait répéter cet argument lors d'une confé-}

rence donnée à Zürich le 9 février 1914.68_{Expérimentalement, Einstein espérait}

que l'éclipse d'août 1914 permettrait de trancher entre les deux théories, car elle fournissait un test pour la déviation des rayons lumineux.

4.3 Elaboration ultérieure de la théorie

4.3.1 Problème de la covariance des équations de champ

En dépit du désir d'Einstein de développer une théorie généralement cova- riante,69 _{nous avons vu qu'Einstein et Grossmann furent incapables d'obtenir}

des équations de champ généralement covariantes, en particulier parce qu'ils pensèrent que le tenseur de Riemann-Christoel, qui était l'outil mathématique le plus probable pour de telles équations, ne donnait pas l'approximation de Newton.70 _{Ils savaient que les équations qu'ils avaient obtenues étaient cova-}

riantes par rapport à des transformations linéaires, ils avaient construit au moins cela, mais ils ne savaient pas jusqu'où le groupe de covariance actuel des équa- tions de champ pourrait aller au delà du groupe linéaire.71 _{Einstein considéra}

la question de l'existence d'un groupe de covariance plus étendu comme étant "la plus importante"72_{parmi les considérations traitées dans l'article.}

A partir du fait qu'il avait été capable de formuler une équation de conserva- tion de l'énergie-impulsion généralement covariante, Einstein fut incliné à pos- tuler une covariance générale pour toutes les équations physiques exceptées pour celles de la gravitation. Au début, il relia le caractère particulier de cette der- nière au fait que seules les équations du champ gravitationnel sont autorisées à contenir des dérivées secondes du tenseur fondamental.73 _{Cherchant une rai-}

son plus profonde, Einstein élabora peu de temps après ce qu'il crut être une preuve de l'impossibilité d'équations de champ généralement covariantes. La preuve était fondée sur l'exigence que le champ soit uniquement déterminé par la distribution de matière (Tµν). Einstein probablement développa la preuve

supposée n août ou début septembre 1913 ; il en t mention dans une confé- rence qu'il donna le 9 septembre 1913,74 _{et indiqua à la n du mois qu'il avait}

élaboré cette preuve durant "les jours récents."75 _{L'argumentation est donnée}

complètement dans les remarques qu'Einstein ajouta à l'article Entwurf et est la

67_{Ibid., p. 1262.}

68_{Albert Einstein, "Zur Theorie der Gravitation," Naturforschende Gesellschaft, Zürich,}

Vierteljahrsschrift, 59 (1914), 4-6, sur 5-6.

69_{Pour une analyse détaillée d'un point de vue philosphique contemporain, voir John Ear-}

man and Clark Glymour, "Lost in the Tensors : Einstein's Struggles with Covariance Principles 1912-1916," Studies in History and Philosophy of Science, 9 (1978), 251-78.

70_{Einstein à Sommerfeld, 28 Nov. 1915, dans Einstein/Sommerfeld, Briefwechsel (1968), p.}

33 ; Einstein à Besso, 10 Déc. 1915, dans Einstein/Besso, Correspondance (1972), p. 60.

71_{Einstein, "Entwurf," p. 240.} 72_Ibid.

73_Ibid.

74_{Einstein, "Physikalische Grundlagen einer Gravitationstheorie" (1913), p. 289.} 75_{Einstein, "Zum gegenwärtigen Stande des Gravitationsproblems" (1913), p. 1257.}

102CHAPITRE 4. PREMIÈRE ÉBAUCHE DE LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE (1913−1915) suivante. Soit un domaine d'espace-temps L tel que les composantes du tenseur

impulsion-énergie Tµν _{s'annulent à l'intérieur de L et ont des valeurs arbitraires}

à l'extérieur de L ; ces composantes Tµν _{déterminent les g}

µν partout. Si l'on

introduit un nouveau système de coordonnées x0µ_{à la place de l'ancien x}µ_{et tel}

que x0µ_{= x}µ _{à l'extérieur de L et x}0µ_{6= x}µ _{(au moins pour une partie de L et}

pour au moins un indice) alors il s'ensuit que g0µν _{6= g}µν _{(pour une partie de L).}

Comme T0µν _{= T}µν _{= 0(à l'intérieur de L) et T}0µν_{= T}µν _{(à l'extérieur de L à}

cause de x0µ_{= x}µ_{), Einstein conclua que si l'on postule une covariance générale,}

une distribution de matière unique peut donner deux systèmes diérents de gµν.

Ainsi, le champ gravitationnel n'est pas déterminé de manière unique et, selon Einstein, ceci était en contradiction avec le principe de causalité.76

Dans son empressement à vouloir expliquer son échec de développer des équations de champ généralement covariantes, Einstein avait simplement fait un usage érroné du calcul tensoriel.77_{Dans une transformation de coordonnées,}

gµν est transformé en g0µν mais il s'agit toujours du même champ (par dé-

nition d'un tenseur). Einstein, toutefois, ainsi que les opposants à sa théorie, devaient se référer à cet argument de façon répétée78 _{durant l'année suivante.}

En octobre 1914, Einstein donna une version modiée de l'argument.79 _{Il indi-}

qua maintenant de façon correcte que gµν(xk)et g0µν(x0k)représentent le même

champ gravitationnel, mais ajouta qu'un nouveau champ gravitationnel g0 µν(xk)

peut être obtenu en remplaçant les x0

k par les xk dans gµν0 (x0k).Si gµν(xk)est

une solution des équations de champ, alors il en est de même de g0

µν(x0k), ainsi

que de g0

µν(xk).Einstein en conclua que deux champs gravitationnels diérents,

gµν(xk)et gµν0 (xk), relatifs au même système de coordonnées, avec les mêmes

conditions aux limites, sont solutions des mêmes équations diérentielles ; ainsi, dans son opinion, le principe de causalité était de nouveau enfreint. Cet argu- ment est également faux, comme Einstein s'en rendit compte plus tard : dans une lettre à Besso datée du 3 janvier 1916, Einstein indiqua que ce qui était faux dans ce nouvel argument était que cela n'avait pas de sens de concevoir deux solutions dans le même espace.80

En septembre 1913, Einstein présenta un autre argument contre la cova- riance générale. Postulant que les lois de conservation d'énergie-impulsion pour la distribution de matière Tν

σ ensemble avec le champ tνσ étaient sans doute de

76_{Einstein, "Entwurf," p. 260.}

77_{Earman/Glymour, "Lost in the Tensors" ; Banesh Homann, "Einstein and Tensors",}

Tensor, 26 (1972), 157-62.

78_{Einstein, "Physikalische Grundlagen einer Gravitationstheorie" (1913), p. 289 ; "Zum ge-}

genwärtigen Stande des Gravitationsproblems" (1913), p. 1257 ; "Prinzipielles zur verallge- meinerten Relativitätstheorie und Gravitationstheorie," Physikalische Zeitschrift, 15 (1914), 176-80, sur 178 ;Albert Einstein et Marcel Grossmann, "Kovarianzeigenschaften der Feldglei- chungen der auf die verallgemeinerte Relativitätstheorie gegründeten Gravitationstheorie," Zeitschrift für Mathematik und Physik, 63 (1914), 215-25, sur 217-18.

79_{Albert Einstein, "Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie," Sitzungsbe-}

richte der K. Preussischen Akademie der Wissenschaften, Berlin, partie 2 (1914), pp. 1030-85, sur p. 1067.

4.3. ELABORATION ULTÉRIEURE DE LA THÉORIE 103