REMARQUES HISTORIQUES SUR LE CALCUL TENSORIEL 79 l'intérieur d'une nouvelle quadri-grandeur que Minkowski 19 écrivit (x, y, z, it)

ou (x1, x2, x3, x4). Par l'introduction du nombre complexe i, l'invariant de Lo-

rentz x2_{+ y}2_{+ z}2_{− t}2 _{pouvait être écrit x}2

1+ x22+ x23+ x24. En conséquence,

une transformation de Lorentz pouvait être considérée comme une rotation dans un quadri-espace. Il semble probable que Minkowski vint à l'idée d'utiliser la norme x2

1+ x22+ x23+ x24 via le calcul des quaternions où cette quantité joue

un rôle majeur. La connaissance des quaternions de Minkowski est conrmée par le fait que dans une note de bas de page dans le même article où il intro- duisit le formalisme quadridimensionnel, il suggéra que l'on aurait pu penser à utiliser le calcul des quaternions plutôt que le calcul matriciel adopté dans l'ar- ticle.20 _{En fait, le quadrivecteur de Minkowski (x, y, z, it) était simplement un}

cas particulier des quaternions complexes déja utilisés par Hamilton (qu'Hamil- ton appela biquaternions).21 _{L'importance historique du travail de Minkowski}

en physique fut qu'il conduisit au développement du calcul tensoriel quadridi- mensionnel. Initialement, Einstein avait été plutôt critique vis à vis du travail de Minkowski : d'après Max Born, Einstein, autour de 1909, ne voyait dans le travail de Minkowski guère plus que des "accessoires mathématiques super- us" (überüssiges mathematisches Beiwerk").22_{Plus tard, Einstein reconnaîtra}

toutefois que sans le calcul tensoriel quadridimensionnel, la relativité générale n'aurait pas été possible.23_{Le calcul tensoriel quadridimensionnel devait consti-}

tuer le fondement mathématique à partir duquel Einstein put apprécier l'utilité potentielle du calcul tensoriel généralement covariant. En eet, dans ce contexte, ce dernier devait apparaître comme une extension naturelle du calcul tensoriel par rapport à O(4).

4.1.2 Tenseurs par rapport aux groupes associés à une

forme diérentielle quadratique

La base théorique du calcul diérentiel absolu de Rici et Levi-Civita fut développée par Elwin Bruno Christoel dans son article de 1869 intitulé "Ue- ber die Transformation der homogenen Dierentialausdrücke zweiten Grades."24

Là, Christoel introduisit le concept que Ricci appela plus tard la dérivée cova-

19_{Hermann Minkowski, "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in}

bewegten Körpern," Nachr. Ges. Gött., math.-physikalische Klasse, (1908), pp. 53-111, dans Hermann Minkowski, Gesammelte Abhandlungen, ed. D. Hilbert (Leipzig, 1911 ; rpt. New York : Chelsea, 1967), 2 vols. in one, 2, 354.

20_{Minkowski, Abhandlungen, 2, 375.}

21_{William Rowan Hamilton, Elements of Quaternions, ed. C. J. Joly, 3rd ed. (London, 2nd}

ed., 1899 ; rpt. New York : Chelsea, 1969), 1, 133.

22_{Max Born, "Erinnerungen an Hermann Minkowski zur 50. Wiederkehr seines Todestages,"}

Naturwiss., 46 (1959), 501-05, dans Max Born, Ausgewählte Abhandlungen (Göttingen : Van- denhoeck & Ruprecht, 1963), 2, 688.

23_{Einstein to Besso, 6 Jan. 1948, ibid., p. 391.}

24_{E. B. Christoel, "Ueber die Transformation der homogenen Dierentialausdrücke zweiten}

Grades," Crelle's Journal, 70 (1869), 46-70, dans E. B. Christoel, Gesammelte mathema- tische Abhandlungen, ed. L. Maurer (Leipzig-Berlin, 1910), I, 352-77.

80CHAPITRE 4. PREMIÈRE ÉBAUCHE DE LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE (1913−1915) riante25_{et donna également une expression analytique de ce qui fut appelé plus}

tard le tenseur de courbure de Riemann-Christoel. Avant Christoel, Bernhard Riemann avait introduit ce dernier concept dans son Habilitationschrift de 1854, qui fut publiée seulement après sa mort.26_{Christoel mentionna brièvement le}

travail de Riemann tout à la n de son article, mais apparemment développa ses considérations indépendamment de celui-ci.

Le problème de Christoel fut le suivant. Si les variables xi _{d'une expression}

diérentielle27_ds2_{= ω}

ikdxidxk, où ωiksont des fonctions arbitraires de xi, sont

remplacées par un autre ensemble de variables indépendantes x0i_{, on obtient}

une nouvelle expression diérentielle ds02 _{= ω}0

ikdx0idx0k telle que ds

2 _{= ds}02_.

Si par ailleurs, on part des expressions diérentielles ds2_{, ds}02 _{avec des coe-}

cients ωik, ω0ik donnés, la question se pose de savoir s'il existe des transforma-

tions xµ _{= x}µ_(x0σ_{) telles que ds}2 _{= ds}02 _{et si oui, quelles sont les conditions}

auxquelles ces transformations doivent satisfaire. D'après la théorie algébrique des invariants, il s'ensuit que les transformations xµ _{= x}µ_(x0σ_{) doivent sa-}

tisfaire la condition E0 _{= r}2_{E où E}0 _{et E sont les déterminants des ω}0 ik et

ωikrespectivement, et où r est le Jacobien de la transformation. La condition

ci-dessus serait susante si ωik, ωik0 étaient constants. Dans le cas présent, tou-

tefois, d'autres conditions doivent être satisfaites de façon à ce que les dxµ

puissent être des diérentielles totales. A l'aide d'opérations de diérentiation, Christoel trouva que les conditions nécessaires et susantes (à part les condi- tions initiales) imposées à ces transformations sont données par

∂2_xr ∂x0α_∂x0β + Γ r ik ∂xi ∂x0α ∂xk ∂x0β = Γ 0λ αβ ∂xr ∂x0λ (4.1) où Γr il= P k Erk

E Γk,il, Erk étant le cofacteur de ωrk dans E, et

Γk,il = 1 2  ∂ωik ∂xl + ∂ωlk ∂xi − ∂ωil ∂xk  . Les coecients Γr

ik, Γk,il que Christoel écrivit respectivement

ik r, _il k  sont maintenant appelés les symboles de Christoel.

La condition (4.1) permit à Christoel d'introduire le concept de dérivée co- variante comme suit. A partir du postulat de l'invariance de ds2_{= ω}

µνdxµdxν =

ds02, Christoel remarqua que la loi de transformation des ωµν est donnée par

ω0µν= ωαβuαµuβν,

25_{G. Ricci, "Sulla derivazione covariante ad una forma quadratica dierentiale." Rendiconti}

Accad. Lincei (4), 3, part I (1887), 15-18.

26_{B. Riemann, "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen," Habili-}

tationschrift, 1854, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göt- tingen, vol. 13, dans B. Riemann, Gesammelte Mathematische Werke und Wissenschaftlicher Nachlass, ed. Heinrich Weber, 2nd ed. (Leipzig, 1892), pp. 272-87.

27_{A partir de maintenant, nous adopterons la convention de sommation introduite par Ein-}

stein en 1916 ; chaque fois qu'un indice apparaît deux fois, une fois en position supérieure et une fois en position inférieure, une sommation sur cet indice est supposée être faite.

4.1. REMARQUES HISTORIQUES SUR LE CALCUL TENSORIEL 81