THÉORIE GÉNÉRALEMENT COVARIANTE (1915-1916) 123 contraires Ce ne fut qu'un an plus tard qu'Einstein devait inverser sa position,

un changement qui cette fois devait couronner de succès l'utilisation du tenseur de Riemann-Christoel à cause des simplications que cela introduisait dans les formules.

5.1.2 Equations de champ généralement covariantes

Bien qu'en novembre 1915 Einstein eut surmonté les objections contre l'uti- lisation du tenseur de Riemann-Christoel, Einstein ne devait pas obtenir des équations de champ généralement covariantes immédiatement mais ne devait les obtenir qu'après d'intenses eorts, qui eurent lieu durant le mois de novembre 1915. L'intensité des eorts est révélée par la fréquence des communications d'Einstein à l'Académie De Berlin (une par session hebdomadaire régulière), et fut probablement due en partie par l'excitation d'Einstein de se sentir proche du but longuement désiré et peut-être aussi par quelque crainte que, suite à des indications données à David Hilbert, ce dernier ne l'anticipe de quelque façon. Trois phases peuvent être distinguées dans les eorts d'Einstein, que nous exa- minerons successivement ci-dessous. Dans la première phase, Einstein restreignit le groupe de covariance à des transformations de Jacobien égal à 1 ; dans la se- conde et la troisième phase, Einstein atteignit une covariance générale, au début avec l'aide d'une hypothèse ad hoc et nalement sans.

Equations de champ généralement covariantes par rapport à des trans- formations de Jacobien égal à 1

Les résultats de la première phase des eorts d'Einstein pour de nouvelles équations de champ de gravitation furent publiés dans un article intitulé "Zur allgemeinen Relativitätstheorie"14 _{[Sur la théorie de la relativité générale], qui}

fut présenté à la réunion générale de l'Académie Prussienne des Sciences le 4 novembre 1915. Einstein commença l'article avec les remarques suivantes : "Ces dernières années, je me suis eorcé de développer une théorie de la relativité générale sur la supposition d'une relativité incluant des mouvements non uni- formes. Je croyais avoir trouvé la seule loi de gravitation compatible avec ... le postulat de relativité générale."15_{Il expliqua ensuite pourquoi il abandonna ses}

équations de champ antérieures, en indiquant qu'il avait trouvé sa précédente dérivation des équations de champ16 _{illusoire et qu'en conséquence, il perdit}

complètement conance dans les équations de champ. Cherchant une façon na- turelle de restreindre les possibilités théoriques, il retourna vers l'exigence d'une covariance générale des équations de champ qu'il avait abandonnée à regret, "le coeur gros,"17 _{trois ans auparavant. En fait, la raison d'Einstein d'abandonner}

14_{Einstein, "Zur allgemeinen Relativitätstheorie" (1915).}

15_{"In den letzten Jahren war ich bemüht, auf die Voraussetzung der Relativität auch nicht}

gleichförmiger Bewegungen eine allgemeine Relativitätstheorie zu gründen. Ich glaubte in der Tat, das einzige Gravitationsgesetzt gefunden zu haben, das dem sinngemäss gefassten, allgemeinen Relativitätspostulate entspricht." Ibid., p. 785.

16_{Einstein, "Formale Grundlage" (1914), pp. 1066-77.}

124CHAPITRE 5. THÉORIE DE LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE (1915−1917) ses équations de champ précédentes n'est pas convaincante. L'échec d'une justi- cation particulière des équations de champ n'impliquait pas que ces équations de champ étaient fausses. Curieusement, Einstein ne mentionna pas dans l'ar- ticle que les précédentes équations de champ ne donnaient pas la valeur correcte de la précession du périhélie de Mercure. La raison de cette omission était pro- bablement qu'Einstein ne savait pas encore de façon certaine à ce moment si les nouvelles équations de champ donneraient une meilleure valeur de la précession du périhélie que les anciennes.

Le postulat fondamental de l'article était le postulat de covariance de toutes les équations par rapport aux transformations de Jacobien égal à 1.18 _Bien

qu'Einstein n'élabora pas sur le choix de ce postulat, il apparaît qu'Einstein était motivé par son désir de voir incluses les rotations et les transformations accélérées dans le groupe de covariance an d'éviter toute déception supplé- mentaire concernant la covariance de la théorie ; nous avons vu que l'absence de covariance rotationnelle fut la première raison mentionnée par Einstein à Sommerfeld pour abandonner les équations de champ. En eet, dans la conclu- sion de l'article, Einstein devait vérier explicitement que les rotations et les transformations accélérées étaient incluses dans le groupe de covariance. Ce fut cette relativité étendue qui probablement justia aux yeux d'Einstein le titre de l'article "Sur la théorie de la relativité générale" en dépit du fait que la théorie n'était pas encore généralement covariante.

A côté de la relativité étendue, le postulat de covariance avait également l'avantage d'introduire diverses simplications dans les formules. Comme

dτ0= ∂ x

01_...x04
∂ (x1_...x4₎ dτ,

il s'ensuit que dτ0 _{= dτ et également} √_−g0 ₌ √_{−g (avec g = |g}

µν|) à cause

de l'invariance de √−gdτ. L'invariance de √−g, par ailleurs, entraîne que le symbole de Christoel contracté Γs

sτ =

∂ ln√−g

dxτ est un tenseur (par rapport au groupe de covariance considéré ici), ce qui conduit à une expression simpliée du tenseur de Riemann contracté. Einstein introduisit ce dernier comme suit. Cherchant un tenseur de rang deux obtenu à partir des gµν et de leurs dérivées

premières et secondes, Einstein indiqua que les "mathématiques enseignent" que tous les tenseurs de ce type peuvent être déduits du tenseur de Riemann- Christoel. Comme ce dernier est un tenseur de rang quatre, Einstein t la seule contraction possible (à cause des diverses symétries) et obtint le tenseur

Gim= Rim+ Sim, avec : Rim= ∂Γl im ∂xl + Γ ρ ilΓ l ρm, Sim= − ∂Γl il ∂xm − Γ ρ imΓ l ρl, 18_{Ibid., p. 779.}

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