Rendement d'un titre selon le modèle de marché Avec:

i: bêta du titre i

Ri: le rendement du titre i Rm: le rendement du marché

Cov(Ri, Rm): covariance entre Ri et Rm Var(Rm): variance de Rm

Risque associé à une Position

Pour un seul titre, il existe deux dimensions de risque: un risque spécifique lié à la société elle-même, et un risque systématique, non-diversifiable, résultant de la manière dont le titre réagit aux mouvements du marché. Ce dernier risque est dit non-diversifiable car il ne peut pas, comme dans le cas du risque spécifique, être éliminé en augmentant le nombre de titres dans un portefeuille (diversification). De manière logique, si une source de risque peut être éliminée par un bonne politique de placement, il n'y a aucune raison pour qu'elle soit rémunérée. La seule source de risque qui sera rémunérée par le marché sera en conséquence le risque systématique. Le rendement d'un titre sera donc lié aux sources de risques auxquelles il est exposé, et qui ne peuvent pas être éliminées par une simple diversification. En fait, le rendement d'un titre risqué doit être composé du rendement d'un titre sans risque (en général une obligation d'Etat) plus une prime de risque croissante avec le niveau de risque.

A partir de cette constatation, plusieurs modèles ont été établis pour essayer de prévoir le rendement des titres en fonction de leur niveau de risque. Les plus connus sont le modèle de marché, le CAPM (Capital Asset Pricing Model), et le modèle APT (Arbitrage Pricing Theory).

Le modèle de marché a pour but d'expliquer le rendement d'un titre sur une certaine période selon le rendement du marché pendant la même période. Son expression est la suivante:

Ri = Alpha i + Beta i * Rm + Epsilon I

Équation 14: Rendement d'un titre selon le modèle de marché. Avec:

Ri: rendement du titre i pendant la période t

Alpha i: rentabilité du titre i dans la cas où le rendement du marché est nul Beta i: sensibilité des fluctuations du titre i aux mouvements du marché Rm: rendement du marché pendant la période t

I: variabilité spécifique du titre

Le modèle de marché exprime l'idée que la rentabilité d'un titre est liée aux mouvements du marché selon qu'il les amplifie ou les réduit, et à des facteurs spécifiques. Il est obtenu en observant la manière dont sont reliés les rendements d'une action et ceux du marché, et en traçant une droite (dite droite de régression) passant par les points étudiés dans un plan où les rendements de l'action sont en ordonnée et les rendements du marché en abscisse.

Le paramètre essentiel de ce modèle est le bêta: il mesure justement dans quelles proportions un titre réagit plus ou moins fort que le marché à la hausse ou à la baisse, et est donné par la pente de la droite de régression. Un titre avec un bêta supérieur à 1 (pente de plus de 45°) réagit plus fortement que le marché, un titre avec un bêta de 1 réagit de la même manière et un titre avec un bêta de moins de 1 (pente de moins de 45°) atténue les mouvements du marché.

Cette vision du risque associé à une position peut paraître très théorique, néanmoins elle se rattache bien à la manière dont TExSOL® gère individuellement ses positions en choisissant des titres qui vont dans le sens du marché et qui ont une force relative adaptée et donc un Béta amplifiant les mouvements dans le sens observé du marché, et d'autre part en y ajoutant des ordres stops de différentes natures, selon la phase dans laquelle la valeur se trouve, afin de couper les positions qui évoluent de manière totalement inattendue.

Risque associé à un Portefeuille

Les portefeuilles efficients sont un ensemble de portefeuilles qui, pour un risque donné, présentent un rendement maximum ou qui, pour un rendement donné, présentent un risque minimum. Nous mentionnerons pour mémoire deux modèles, le CAPM et l'APT.

Le CAPM (Capital Asset Pricing Model) est le modèle le plus utilisé au monde, tant pour le choix de titres que dans l'évaluation de la performances des portefeuilles, et ses principes de base furent énnoncés par William Sharpe (Jounal of Finance, 1964), lauréat du prix Nobel d'économie en 1990, avec H Markowitz cité par la suite. Le modèle énonce quel devrait être le rendement d'un titre en fonction de son niveau de risque systématique, donné par le bêta. Le rendement d'un titre se décompose donc en rendement d'un actif sans risque, plus une prime de risque par unité multipliée par la quantité de risque de l'actif (le bêta). La formule de base en est la suivante:

Ri = Rf + Beta i * (Rm - Rf) Équation 15: Le modèle CAPM. Avec:

Ri: rendement du titre i

Rf: rendement du titre sans risque

i: sensibilité des fluctuations du titre i aux mouvements du marché Rm: rendement du marché

Le CAPM reste difficile d'emploi lorsqu'il s'agit de prévoir la rentabilité d'un titre précis, à cause des nombreuses sources de risque spécifiques à chaque titre, mais présente un grand intérêt dans le cadre des politiques de placement et dans l'évaluation de ces dernières.

L'APT (Arbitrage Pricing Theory) repose sur l'absence d'opportunité d'arbitrage. En d'autres termes, il devrait être impossible de réaliser des profits excessifs de manière régulière, compte tenu du risque d'un actif. Cette démarche est assez bien vérifiée sur les marchés financiers, puisque de nombreux professionnels scrutent en permanence les instruments d'investissement à la recherche de nouvelles opportunités. Si un actif offre un rendement supérieur à la moyenne des autres actifs de même risque, il y a fort à parier que les demandes d'achat seront vite suffisamment nombreuses pour faire monter le prix de cet actif, entraînant par conséquent une baisse de son rendement. d'autre part, il a permis de décomposer le risque systématique d'un actif en différentes sources, permettant ainsi d'évaluer sa sensibilité à un certain nombre de facteurs. Son expression mathématique est donnée par la formule:

Ri = Alpha i + Beta 1i * Delta 1 + Beta 2i * Delta 2 + … + Beta ki * Delta k + Epsilon I Équation 16: Le modèle de l'APT.

Avec:

Ri: rendement du titre i

ji: sensibilité du titre i au facteur j

j: facteurs communs influençant la rentabilité de tous les titres; j allant de 1 à k

L'idée de base de l'APT est qu'il existe un petit nombre de facteurs communs influençant le rendement de tous les titres. Intuitivement, un certain nombre vient à l'esprit: les taux d'intérêt et d'inflation, la croissance de la production industrielle, les prix des matières premières etc.

L'application de ce modèle pose un certain nombre de problèmes, notamment dans l'estimation des facteurs communs, mais il permet en revanche d'affiner la sélection de titres en fonction des sources de risque spécifiques auxquelles l'on est exposé. Ainsi, les banques sont très dépendantes des variations des taux d'intérêt; un titre qui présenterait une faible sensibilité à ce facteur (avec un coefficient bêta pour les taux d'intérêt faible, c'est-à-dire un rendement réagissant peu aux variations de taux d'intérêt) sera plus intéressant qu'un autre pour ce type d'investisseur.

Diversification et théorie du portefeuille

Lorsque l'on constitue un portefeuille de titres, on achète un certain nombre de titres en utilisant des critères précis. L'un des grands principes de la constitution de portefeuilles repose sur un adage de pur bon sens: la diversification. Le pionnier de la finance moderne, Markowitz, inventeur de la théorie moderne du portefeuille, est en fait arrivé à démontrer en termes mathématiques la réalité des mérites apportés par la diversification. Il a établi de manière irréfutable que le risque total d'un groupe de titres est inférieur à la somme des risques de ces titres individuels. En d'autres termes, investir dans un groupe de titres permet de diminuer le risque.

Harry Markowitz, né à Chicago en 1927 et lauréat du prix Nobel d'économie en 1990 avec Sharpe (et pour mémoire Merton H. Miller) rapporte que les concepts de base de la théorie du portefeuille lui sont venus en lisant le livre de John Burr Williams "Theory of Investment Value". Markowitz mit en lumière le lien étroit existant entre l'espoir de gain et le risque, et proposa la variance comme mesure du risque (cf approche théorique du risque), sachant que la variance du portefeuille dépendait de la covariance des titres. Markowitz démontra qu'un portefeuille optimal est une combinaison de titres qui maximise le rapport gain / risque.

Cette découverte repose sur le fait que les risques spécifiques de chaque titre se compensent et finissent par disparaître complètement à partir d'un certain nombre de titres. Le seul risque qui subsiste pour ce type de portefeuilles, dits portefeuilles bien diversifiés, est la combinaison des risques systématiques des différents titres.

Figure 19: Risque et diversification du portefeuille.

Le graphique ci-dessus illustre la réduction du risque issue de la diversification. Pour trois niveaux différents du bêta, on constate que le risque diminue lorsque le nombre de titres augmente. Il est à noter qu'à partir d'un certain nombre de titres (500 dans notre exemple) le risque ne baisse plus même si l'investisseur en acquiert davantage. Le rendement et le risque d'un portefeuille

Pour illustrer la notion et le calcul de rendement et de risque associé à un portefeuille, nous allons utiliser un exemple extrêmement simple. Supposons qu'il n'existe que deux titres sur le marché avec les caractéristiques suivantes:

 le titre A avec un risque de 12% et une espérance de rendement de 10%  le titre B avec un risque de 17% et une espérance de rendement de 20% Le rendement espéré du portefeuille est défini comme suit:

E (R p) = a E( R a) + b E( Ra)

Équation 17: Calcul (simplifié) du rendement d'un portefeuille.