2.4 Techniques pour résoudre le problème général dans quelques cas particuliers
2.4.4 Résolution dans le champ complexe
d2X(x)
dx2 −c1X(x) = 0 d2Y(y)
dy2 −c2Y(y) = 0 d2Z(z)
dz2 +c3Z(z) = 0 dont la solution est donnée par :19
X(x) =A1cos(c1x+B1) Y(y) =A2cos(c1y+B2) Z(z) =A3cosh(p
c21+c22z+B3)
où les constantes d’intégrationci,Ai etBi doivent être trouvées en fonction des conditions aux limites.
2.4.4 Résolution dans le champ complexe
Dans de nombreux problèmes, les variations du champ dans une direction sont nulles ou peuvent être négligées par rapport aux deux autres dimensions. Dans ces cas, la solution ne dépend que de deux dimensions et nous parlons deproblèmes bidimensionnels. Un cas typique est celui d’un fil conducteur : si le fil est placé le long dez, en des points pas trop éloignés du fil le champ ne dépend que dexety. Dans ce cas, l’équation de Laplace prend la forme suivante :
∇2V =∂2V
∂x +∂2V
∂y = 0
Soit maintenant une variable complexeZ=x+iy. Chaque fonction de cette variableF(Z)peut être décomposée en une partie réelle pure et une imaginaire pureF(Z) =U(x, y) +iV(x, y). Par exemple :
F(Z) =Z2= (x+iy)2=x2−y2+ 2ixy≡U(x, y) +iW(x, y) avecU(x, y) =x2−y2eW(x, y) = 2xy.
Un théorème d’analyse complexe permet d’affirmer que’une fonction est holomorphe20 sur un en-semble du plan complexe si elle est différentiable et vérifie les relations de Cauchy-Riemann:
∂U
∂x =∂W
∂y
∂W
∂x =−∂U
∂y
dérivant une seconde fois par rapport àxetyles relations de Cauchy-Riemann, on obtient facile-ment que les deux fonctionsU(x, y)etW(x, y)satisfont automatiquement les relations :
∂2U
∂x +∂2U
∂y = 0 ∂2W
∂x +∂2W
∂y = 0 c’est-à-dire que les deux fonctionsU(x, y)etW(x, y)sont harmoniques.
Maintenant, la découverte intéressante est que les fonctions décrivant les potentiels électrosta-tiques réels sont assez “tranquilles” pour satisfaire les hypothèses du théorème mentionné ci-dessus. En conséquence, en vertu du théorème d’existence et d’unicité de la solution de l’équation de
19. L’étude des équations et la recherche de solutions est laissée aux cours de mathématiques.
20. En mathématiques, une fonction holomorphe est une fonction définie sur une partie ouverte du plan des nombres complexesCavec valeurs dansCest qui est différentiable dans un sens complexe à chaque point du domaine.
Laplace, les fonctionsU(x, y)etW(x, y)représentent un vrai potentiel électrostatique bidimensionnel. En effet, en prenant une fonctionF(Z)assez régulière, celle-cidoitreprésenterdeuxproblèmes électro-statiques bidimensionnels.
En pratique, nous pouvons écrire une fonction complexe, trouver les fonctionsU(x, y)etW(x, y) et trouver - en procédant en sens inverse - le problème qu’elles représentent.21Nous allons utiliser cette approche pour l’exemple ci-dessus.
Considérons la fonctionU(x, y), nous savons que cela représente un potentiel. Pour voir alors à quel problème répond-elle, considérons les surfaces équipotentiellesx2−y2 =A. Cette équation représente une hyperbole régulière, qui pourA= 0devient une droite passant par l’origine (x=y).
Si les lignes en trait plein identifiées par des valeurs différentes de A identifient les surfaces équipotentielles, alors les lignes pointillées (qui sont perpendiculaires aux premières et identifiées par les lettresB) représentent le champ électrique. Comme vu précédemment, si nous imaginons de placer des conducteurs le long des lignes équipotentielles le champ électrique reste le même, mais nous obtenons une configuration tel que ci-dessous :
−V −V
+V
+V
En d’autres termes, la solutionU(x, y)représente le problème dans lequel nous avons quatre sur-faces hyperboliques ayant des potentiels assignés. Cette configuration de conducteurs a une carac-téristique particulière : le champ électrique suivant la directionxety(toujours en fonction du (1.5)) est donné par :
Ex=−∂U(x, y)
∂x = 2x Ey=−∂U(x, y)
∂y =−2y
à savoir, le champ électrique est proportionnel à la distance du centre de l’hyperbole. En particulier, la force le long de l’axeyest dirigée vers le centre :une charge décentrée par rapport à l’axeysubit une
21. En fait, beaucoup de solutions aux problèmes complexes qui peuvent être trouvé dans les textes ont été obtenues de cette manière.
2.4 - Techniques pour résoudre le problème général dans quelques cas particuliers 39
force qui tend à le ramener au centre. Cette particularité est très importante et largement utilisée dans la pratique.Des conducteurs hyperboliques de forme appropriée produisent un champ électrique de manière à ramener une particule chargée au centre si elle en est éloignée. Une telle configuration agit alors comme une sorte de lentille électrostatique (lentille quadrupolaire) et elle est actuellement utilisée afin de focaliser des faisceaux de particules, par exemple dans des accélérateurs.
Il n’échappera pas au lecteur le fait que la force est dirigée vers le centre le long dey et vers l’extérieur le long dex. Dans les applications pratiques nous avons deux cas : soit deux lentilles différentes se suivent avec des potentiel “croisée” de sorte que chacune d’entre elles focalise le faisceau sur un axe, soit une lentille longue (dans la directionz) dans lequel le potentiel des quatre électrodes conductrices varient alternativement dans le temps afin de focaliser alternativement le long de deux axes.
Chapitre 3
Électrostatique en présence de diélectriques
Dans le chapitre précédent, nous avons traité des propriétés d’un conducteur immergé dans un champ électrostatique. Dans ce chapitre, nous allons discuter des propriétés et des phénomènes qui se produisent lors qu’un corpsisolantest immergé dans un champ électrostatique.
3.1 La constante diélectrique
A première vue, on pourrait penser qu’un corps isolant, c’est-à-dire ne possédant pas de charges électriques libres de mouvement, ne devrait pas être affecté par la présence d’un champ électrique.
Cependant, en faisant plusieurs expériences Michael Faraday découvrit que cela n’était pas le cas.
En particulier, il démontra quelorsqu’un matériau isolant est placé entre les armatures d’un condensateur, sa capacité augmente.
Supposons d’avoir un condensateur plan chargé, sur les armatures duquel il y a une chargeQ.
De la définition de capacité électrique nous avons :1
C0= Q
∆V0
C0=ε0S d
Si la charge sur le condensateur et la géométrie du système restent inchangées, mais l’espace entre les armatures est rempli d’undiélectrique (c’est ainsi que dorénavant le matériau isolant sera ap-pelé), Faraday observa que la différence de potentiel était plus faible ∆V < ∆V0. Il doit donc s’avérer :
∆V <∆V0 ⇒ C > C0
Le rapport C/C0 ≡ εr ne dépend que du matériau utilisé et prend le nomconstante diélectrique relativeoupermittivité relative. De l’expression de la capacité il s’ensuit :
C=εrC0=εrε0
S d ≡εS
d
et la constanteε=εrε0prend le nompermittivité diélectrique. Des valeurs typiques sont indiquées dans le tableau suivant :
1. Nous utilisons l’index0pour indiquer les quantités référées au vide.
Materiau εr
air 1.0006
pétrole 2.1
papier 3.5
verre 4→7
mica 8
silicium 12
éthanol 25
eau (20◦C) 80
Nous devons donc expliquer comment il est possible qu’un corps isolant sans charges libres puisse produire des effets électriques. Pour ce faire, nous partirons de l’observation qu’en présence de diélectriques, la capacité d’un condensateur augmente.
Si pour une même charge la capacité augmente, à partir de la relation (2.6) : Q=CV
il s’ensuit que la différence de potentiel doit diminuer. Mais la différence de potentiel entre les armatures du condensateur est donnée par l’intégrale du champ électrique à travers le conden-sateur, donc nous sommes obligés de conclure que le champ électrique entre les armatures d’un condensateur contenant un diélectrique est plus faible. Pour comprendre comment cela soit pos-sible, revenons à la loi de Gauss (1.7).
diélectrique armature négative
armature positive
Considérons la surface de Gauss la surface pointillée de la figure ci-dessus. Le champ électrique devant être plus faible, le flux doit être lui aussi plus faible et doncil doit y avoir moins de charges dans le volume considéré.La seule façon pour que ce soit possible est qu’il y ait des charges aussi à la surface du diélectrique. Ces charges n’annuleront pas exactement celles du condensateur, comme cela se produirait avec un conducteur, mais elles sont suffisantes pour affaiblir le champ électrostatique à l’intérieur du condensateur.
Ceci est tout à fait évident si l’espace entre les armatures est rempli d’un matériau conducteur.
Les charges dans ce cas sont libres de se déplacer et donc l’induction qui en résulte est complète : le champ à l’intérieur du conducteur est nul et dans la limite où cela remplit l’espace entre les armatures nous nous retrouvons avec un seul corps conducteur au même potentiel.2Considérons la situation avec un conducteur :
conducteur armature négative
armature positive
2. La différence de potentiel entre les plaques passe à zéro et n’a plus de sens de parler de capacité en ces termes, parce que les charges opposées sur les armatures peuvent se rencontrer et s’annuler.
3.2 - Le vecteur polarisation et les charges liées 43