Considérons une distribution de charge̺(~r)située dans l’espace vide. Selon la (1.2), le champ électrique s’écrit :
E(~r) =~ 1 4πε0
Z
V
̺(~r′)
|~r−~r′|3(~r−~r′)d~r′
15. Sest évidemment la surface des armatures du condensateur.
16. Le lecteur sait déjà qu’un courant électrique est formé par un flux ordonné de charges électriques.
2.3 - Le problème général de l’électrostatique dans le vide 31 Nous avons déjà vu que le champ ainsi défini satisfait aux équations de Maxwell (1.8) et (1.9). La seconde de ces équations implique que le champ électrique soit le gradient d’une fonction poten-tielle tel que (1.5). Compte tenu de ces relations, il est évident que le potentiel électrique satisfait la relation :
∇ ·E~ =−∇ ·∇~V = ̺ ε0
L’opérateur∇ ·∇ ≡ ∇~ 2s’appellelaplacienet en coordonnées cartésiennes il s’écrit :
∇2≡ ∂2
∂x2+ ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2 et l’équation qui en résulte :
∇2V =−̺
ε0 (2.11)
est appelééquation de Poisson. Cette équation inclut les deux équations de Maxwell et le fait que le champ électrique est le gradient d’un potentiel. Par conséquent lorsque les conditions aux limites appropriées ont été assignées, l’équation (2.11) caractérise complètement le potentielV. En termes plus précis, tout potentiel satisfant la (1.4) (c’est-à-dire dont le gradient satisfait la relation rappelée au début de ce paragraphe) vérifie l’équation de Poisson et tout potentiel solution de l’équation de Poissonet qui va à zéro à l’infini vérifie l’équation (1.4). Cette propriété est garanti par lethéorème d’unicité de la solution de l’équation de Poisson, que nous allons brièvement illustrer dans la section suivante.
La formulation en termes d’équation de Poisson présente un intérêt évident dans les cas de conducteurs dont la distribution des charges est inconnue, ce qui est en effet souvent le cas. Au cas où il n’y a pas de conducteurs, la solution est évidemment donnée par la (1.4).
Sous l’appellationproblème général de l’électrostatiquenous entendons la recherche des solutions de la (2.11) avec les conditions aux limites appropriées.
Généralement, les situations qui peuvent survenir sont de trois types. D’autres cas peuvent être facilement déduits à partir de ceux-ci :
Il n’y a pas de charges localisés. Le champ électrostatique est alors généré par une ensembleSi
de conducteurs ayant potentiel connu et assignéVi. Dans ce cas, l’équation de Poisson se réduit à l’équation deLaplace:
∇2V = 0
Avec les conditions aux limites appropriées, à savoirV →0à l’infini etViassignés aux conduc-teurs, ce problème est parfaitement défini du point de vue mathématique. Évidemment, cela ne garantit pas que la solution soit simple à trouver, mais d’un point de vu conceptuel le problème est bien défini et résolu. Ce cas s’appelleProblème de Dirichlet.
Il n’y a pas de charges localisées, mais il y aSiconducteur à géométrie connue dont les poten-tiels ne sont pas assignés, mais les chargesQisont connues. Dans ce cas, à partir de la géométrie des conducteurs il est possible d’en déduire la matrice des potentiels (2.8) et par conséquent le potentielVisur les conducteurs individuels, revenant ainsi au cas précédent.
Il y a des charges localisées, décrites par une densité̺et un ensemble de conducteurSi dont les chargesQisont connues. Ce problème est décrit par l’équation de Poisson (2.11) et lorsque les conditions aux limites sont connues (elles sont connues quand les potentiels Vi sont connus), la solution est unique. Dans cette configuration, cependant, les potentiels ne sont pas connus, par contre nous connaissons les chargesQiprésentes sur les conducteursSi.
Le problème est rendu plus complexe dans ce cas par le fait que le potentielVi ne dépend pas seulement des charges présentes sur la surface des conducteurs, mais aussi de la distribution̺.
Par conséquent, formellement, au lieu du système (2.8), le système des potentiels prend la forme suivante :
Vi=Vi(̺) + XN
j=1
pijQj i= 1, . . . , N (2.12) Or, les coefficientspijsont bien connus à partir de la configuration géométrique du système, alors que les potentiels “partiels ”Vi(̺)sont inconnus. Pour résoudre ce problème, nous faisons recours
à une méthode itérative. Nous attribuons des potentiels de testVi(0)aux différents conducteurs et avec ces potentiels nous allons résoudre l’équation de Poisson correspondante. A partir de cette solution de “test”V(0)(x, y, z)nous pouvons calculer les densités de chargeσ(0)i et les chargesQ(0)i , ensuite par moyen du théorème de Coulomb lesVi(0). En substituant ces valeurs de test dans le système des potentiels :
Vi(0)=Vi(̺) + XN
j=1
pijQ(0)j i= 1, . . . , N
le premier terme, les charges et les coefficients potentiels sont maintenant connus, il est donc pos-sible de dériver les valeurs des potentiels “partiels”Vi(̺). Ces valeurs peuvent ensuite être utilisées dans la (2.12) pour dériver le potentielVi, les cas écheant en répétant la procédure.
Ces valeurs vont être ensuite les conditions aux limites pour résoudre l’équation de Poisson.
2.3.1 Propriétés mathématiques de l’équation de Poisson
THÉORÈME D’UNICITÉ DE LA SOLUTION DE L’ÉQUATION DEPOISSON
SoitVune région de l’espace délimitée par une surfaceSet̺(x, y, z)une fonction pouvant être intégrée dans le volume. Considérons l’équation de Poisson∇2f =̺avec la condition quef =fS
sur la surfaceS.
Nous démontrerons que cette équation admet une seule solution.
Supposons par l’absurde que deux solutions distinctes existent f1 etf2. Par hypothèse, elles satisfont les conditions :
∇2f1=̺ f1|S =fS
∇2f2=̺ f2|S =fS
par conséquent, grâce à la linéarité des solutions et des dérivées premières :
∇2(f1−f2) = 0 (f1−f2)|S = 0
la fonctionf1−f2satisfait donc l’équation de Laplace ayant conditions aux limites(f1−f2)|S = 0, à savoir elle s’annule sur la surfaceS. En indiquant avecf ≡f1−f2, il s’ensuit que :
Z
V
∇ ·~ (∇f)dV = Z
V
f∇2f dV
| {z }
=0
+ Z
V
(∇~f)2dV = Z
S
f ~∇f ·dS
| {z }
=0
où l’intégrale sur le volume est nulle pour l’équation de Laplace, l’intégrale de surface est nulle pour la condition limite surSet le théorème flux-divergence est appliqué. Il s’ensuit que :
Z
V
(∇~f)2dV= 0
cette relation nous dit que nous avons à faire à une fonction positive ou nulle ayant intégrale nulle, il doit donc être∇~f = 0, d’oùfest constante. Mais puisquef = 0sur la surfaceS, il s’ensuit quef doit être nulle partout. On peut conclure quef1=f2partout, c’est-à-diref1 ≡f2, donc l’équation de Poisson admet une seule solution.
Le théorème d’unicité est également valable si la surfaceStend vers l’infini, car dans ce cas̺est non nulle seulement dans une partie de l’espace. De plus, étant donné que nous ne disposons pas d’une surface sur laquelle imposer une valeur par défaut, il est nécessaire d’imposer des conditions sur le comportement à l’infini du potentiel et du champ électrique, conditions que serons l’annu-lation à l’infini respectivement comme1/ret1/r2. Du point de vue mathématique, nous devons
2.4 - Techniques pour résoudre le problème général dans quelques cas particuliers 33