surface de séparation diélectrique dans le cas d’une fente perpendiculaire au champ électrique.
Dans ce cas, le champ électrique dans la fente ne coïncide pas avec le champ électrique dans le diélectrique car des charges liées sont présentes. Sur la base des équations (3.2) et (3.5) il s’ensuit :
∇ ·~ E~ =∇ ·~ E~0+̺p
Aux débuts de la science physique, il était important de trouver une définition opérationnelle pour chaque quantité définie. Ceci représentait donc un grand résultat pour l’époque car il permet-tait de définir de façonopérationnelleles quantités à l’intérieur des diélectriques en effectuant de mesures à l’extérieur (dans les fentes), sans avoir à calculer les champs à l’intérieur des matériaux en tenant compte de toutes les interactions atomiques.10
3.4 Énergie et forces électrostatiques en présence de diélectriques
Nous avons vu que l’énergie d’une distribution de charges est données par la (2.2) : U =1
2 Z
V
̺(~r)V(~r)dV
suivant le même raisonnement que pour le cas sans diélectrique, nous écrirons la densité des charges ̺à travers de la première des équations de Maxwell (équation de Maxwell-Gauss). Ce-pendant, lorsque nous sommes en présence de diélectriques nous devons utiliser la première des (3.7) et non pas la (1.8). Nous avons donc :
en utilisant la même relation mathématique et remarquant que la relation∇~V =−E~ vaut toujours :
∇ ·~ (V ~D) = (∇~V)
Nous appliquons maintenant le théorème flux-divergence et remarquons que si le volume d’inté-gration s’agrandit jusqu’à devenir infini alors l’intégrale calculée sur la surface va à zero :
U = 1
il s’ensuit quela densité d’énergie du champ électrostatique en présence de diélectriquess’écrit : U = 1
2E~ ·D~
Si le diélectriques est parfait et isotrope,D~ =ε0εrE~ e la densité d’énergie s’écrit : U =ε0εrE2
2
10. Il peut néanmoins être intéressant remarquer que ces quantités n’ont jamais été mesurées de cette manière. Cette définition opérationnelle reste donc dans les définitions deprincipe.
L’idée de énergie électrostatique permet de résoudre de façon simplifié, presque immédiate, le problème de trouver les force auxquelles les charges électriques sont soumises dans un diélectrique.
Ce type de problème demanderait de prendre en compte toutes les interactions électriques entre toutes les charges et toutes les interactions mécaniques dans les corps solides, et ceci est un pro-blème qui n’est pas résoluble en ces termes. En général, cependant, nous sommes intéressés tout simplement aux forces ou tensions auxquelles sont soumis les matériaux. C’est dans ce type de problème que le concept d’énergie électrostatique s’avère utile.
Considérons, par exemple, un condensateur dont les armatures sont partiellement remplies de diélectrique. Notons avecala longueur des armatures, avecxla portion des armatures occupée par le diélectriques, avecdla distances entre celles-ci et avecbla largeur des armatures (non visible dans l’image suivante). La surface du condensateur est doncS=ab.
x a
εr d F~x
L’énergie électrostatique d’un condensateur plan peut s’écrire en utilisant la définition (2.2).
Puisque nous avons ici une distribution superficielle de charge, elle dévient : U = 1
2 Z
S
σV dS
oùS est la surface des armatures. SoitV+ le potentiel de l’armature positive ayant une charge+Q etV−le potentiel de l’armature négative avec charge−Q. PuisqueR
σdS=Q, l’intégrale peut être écrit de la façon suivante :
1
Cette équation peut être réécrite en une forme plus intéressant si on se rappelle la (2.6), à savoir
∆V =Q/C:
U =1 2
Q2 C
Nous devons maintenant calculer la capacité du condensateur. Pour ce faire, nous allons nous baser sur la (2.9), à savoirC =εS/d, mais où il faudra tenir en compte le fait que le condensateur est partiellement rempli par le diélectrique. La capacité du condensateur sera donc la somme de deux termes : un pour la partie remplie de diélectrique et un pour la parti vide.
Si on appelleCdiella capacité de la partie contenant le diélectrique etC0la capacité de la partie vide, nous avons :
d’où la capacité totale du condensateur en fonction de la fraction occupée par le diélectrique : C=Cdiel+C0=ε0
b
d[εrx+ (a−x)] =ε0
b
d[a+x(εr−1)]
Il est immédiat trouver l’énergie électrostatique du système : U = 1
2 Q2
C = Q2d
2ε0b[a+x(εr−1)]
3.4 - Énergie et forces électrostatiques en présence de diélectriques 53
d’où, en appliquant la (2.10) : Fx=−∂U
∂x = d dx
Q2d 2ε0b[a+x(εr−1)]
= Q2d 2ε0b
εr−1 [a+x(εr−1)]2
Comme on peut le voir la force a signe positif, elle est donc directe le long de l’axex:le diélectrique est attiré a l’intérieur du condensateur et le système tend vers la configuration ayant la mineur énergie électrostatique. Ceci est facilement vérifié si on considère les deux cas extrêmes :
U(0) = Q2d 2ε0ba ≡ 1
2 Q2
C U(a) = Q2d
2ε0b[a✁+aεr−✁a] ≡ 1 2
Q2 εrC
⇒U(a) = 1 εr
U(0)
L’énergie électrostatique du système entièrement rempli par le diélectrique a diminuée d’un facteur εrpar rapport au cas sans diélectrique.
POURQUOI FINALEMENT L’AMBRE ATTIRE LES MORCEAUX DE PAPIER?
Avant de conclure cette discussion sur l’électrostatique en présence de diélectriques, nous de-vons encore aborder la discussion sur les premières expériences des Grecs. Nous sommes partis de l’observation que si nous frottons une baguette d’ambre, cela peut attirer de petits morceaux de papier. Mais si l’on peut dire que l’ambre est chargé électriquement, il n’en va pas de même pour les morceaux de papier, qui sont électriquement neutres et lorsqu’ils sont immergés entre deux armatures d’un condensateur ils ne sont en effet attirés par aucun des deux côtés. Alors, d’où les forces qui attirent les morceaux de papier proviennent-elles?
Pour comprendre comment cela se produit, supposons d’avoir une charge qà l’origine d’un système de référence et à une distance l le long de l’axexsoit un petit cylindre de diélectrique ayantεrconstant. La hauteur du cylindre estd, avecd≪l. La surface de la base estS.
x S
l q d
A l’intérieur du cylindre, la polarisationP~ est donnée parP~ =ε0(εr−1)E. De la configuration~ géométrique nous voyons que le champ électrique est perpendiculaire aux bases du cylindre, de sorte que la composante normale du vecteurD~ ne change pas :
D0(l−d/2) =D(l−d/2)≃D(l) = q 4πl2
où nous avons exploité le fait que dans un diélectrique homogène parfait, laD~ =ε0εrE~ est vérifiée.
Le champ électrique et le vecteur de polarisation s’écrivent donc :
E= q
4πε0εrl2 → P =εr−1 εr
q 4πl2
si on se rappelle que le moment dipolaire est donné par~p=P d~ V, on trouve : p=P Sd= εr−1
εr
qSd 4πl2
Le point essentiel maintenant est que le champ électrique est dirigé le long dex, mais il n’est pas uniforme. La force ressentie par le dipôle est donnée parF~ = (~p·∇~)E~ =∇~(E~·~p). Comme le champ est dirigé le long dex,E~ ≡Ex, et aussi~p≡(p,0,0). Il s’ensuit :
Fx=px
∂Ex
∂x +py
∂Ex
∂y +pz
∂Ex
∂z =px
∂Ex
∂x =−2p q
4πε0x3 =−2εr−1 εr
qSd 4πx2
q
4πε0x3 =−εr−1 εr
q2Sd 8πε0x5 d’où la force ressenti par le cylindre à la positionl:
F~ =−εr−1 εr
q2Sd 8πε0l5xˆ
où le signe moins indique que la force est attractive. Ce résultat peut être résumé en disant quele diélectrique - par exemple un morceau de papier - est affecté par une force d’attraction parce que le champ électrique n’est pas constant et il est plus intense sur le côté proche plutôt que sur le côté éloigné du corps. De plus, cette force dépend de l’inverse de la cinquième puissance de distance, donc elle décroît très rapidement en s’éloignant de la charge source du champ.