Méthode des images

Revenons à un problème connu que nous avons déjà résolu : le champ généré par un dipôle, montré dans la figure suivante.

17. De toute évidence, à moins d’avoir une fonction constante dans toute l’espace, la valeur moyenne d’une fonction ne peut pas être le même de son maximum ou son minimum.

Les surfaces équipotentielles sont des surfaces perpendiculaires aux lignes de champ électrique représentées en figure. Considérons en particulier la surface représentée en gris. Étant équidistante de deux charges électriques opposées, cela représente une surface à potentiel 0.

Plaçons une surface conductrice exactement sur une surface équipotentielle et amenons-la à la valeur du potentiel en ce point. Ceci est certainement possible parce que nous avons déjà vu que le champ électrostatique interne d’un conducteur est nul et par conséquent le conducteur entier est équipotentiel.¹⁸ Rien ne change donc dans la configuration des lignes du champ et donc aucune expérience ne peut dire qu’un plan conducteur a été inséré à cet endroit.

Par conséquent, dans l’exemple précédent nous pouvons placer un conducteur sur la surface équipotentielleV = 0et oublier – par exemple – la charge positive à gauche. Dans la région de droite rien n’a changé car le potentiel répond aux mêmes conditions aux limites. En conséquence du théorème d’unicité de la solution de l’équation de Poisson, on peut donc en déduire que la forme du potentiel dans la région de droite est la même dans les deux cas. Mais cette nouvelle configuration correspond à celle d’une charge négative faisant face à une surface conductrice plane.

En vertu du théorème d’unicité, on peut donc raisonner à l’inverse :en cas d’un problème complexe, comme peut l’être celui d’une charge devant une surface conductrice équipotentielle, on peut réduire celui-ci à un problème plus simple ne comportant que des charges – éventuellement ponctuels – à condition que la répartition des charges soit telle qu’elle satisfasse aux mêmes conditions limites que le problème d’origine.

C’est cela laméthode des images électriques.

Dans l’exemple ci-dessous, la méthode de l’image consiste à dire que le champ électrique de notre problème dans la région de l’espace qui nous intéresse est équivalent à celui d’un dipôle.

Donc, si nous résolvons le problème des dipôles, nous avons également notre solution. La seconde charge, fictive, que nous mettons en place pour simuler les conditions aux limites sur la surface, s’appelle image électriquecar il s’agit d’une charge fictive positionnée de manière à satisfaire les conditions aux limites.

En effet, avec ce système on évite de calculer la solution en utilisant directement les équations de Poisson ou de Laplace (selon les cas) pour calculer par contre celle d’un système de charges ponctuelles plus simple, dont le potentiel peut être facilement calculé avec la formule :

V(~r) = 1 4πε0

XN

i=1

qi

~r

où les images électriques sont convenablement arrangées afin de satisfaire les conditions aux li-mites du problème donné.

Ce qui se passe physiquement, en réalité, c’est que les charges sur la surface considérée sont réparties de manière à simuler l’existence d’une charge électrique “derrière” la surface.

Dans notre exemple de la charge devant un plan conducteur, le problème de trouver le champ électrique est donc résolu rapidement. Il est intéressant de calculer la distributionréelde charge sur le plan et pour cela nous utiliserons la relation (2.1), à savoir 1) le champ électrique est perpendi-culaire à la surface conductrice et 2) le champ électrique près de la surface est la densité de charge superficielleσdivisée parε0.

18. Nous avons également vu que le champ électrique est normal à la surface d’un conducteur et ceci est cohérent avec le positionnement d’une feuille conductrice sur une ligne équipotentielle.

2.4 - Techniques pour résoudre le problème général dans quelques cas particuliers 35 Soitala distance de la charge réelle (négative, à droite) de la surface du plan etrla distance sur le plan à partir du point directement au-dessous de la charge électrique. Le potentiel électrostatique généré par la charge négative−qs’écrit donc :

V−= 1 4πε0

√ q a²+r² et la composante normale du champ électrique s’écrit :

E−= 1 4πε0

aq (a²+r²)^3/2

à cela il faut ajouter la contribution de la charge image (positive). Les contributions perpendicu-laires à la surface sont égales et s’additionnent, les composants le long des autres directions s’an-nulent mutuellement. La composante du champ électrique le long de la ligne de potentiel 0 (occu-pée par notre surface conductrice) est donnée par :

E=E−+E+= 1

Si notre raisonnement est correct, l’intégrale de la densitéσétendue au plan doit donner exactement q, et cela est bien le cas. Compte tenu du fait que nous devons intégrer sur tout le plan et querpeut être considéré comme étant le rayon d’un cercle centré sous la charge, la surface estS =πr²donc dS= 2πret l’intégrale étendue au plan s’écrit :

Z ce que nous voulions demontrer.

Demandons-nous maintenant si la charge négative est affectée par une force : c’est évidemment le cas, car elle est attirée par les charges positives induites sur le plan. Connaissant la densité due à l’influence totale, il est facile de calculer la force comme étant :

F~ =q ~E= 1

cependant, la méthode des images nous donne la solution immédiatement sans avoir à calculer l’intégrale. En effet, nous savons que la force agissant sur la charge estla même que celle d’une image +qplacée de façon spéculaire par rapport à la surfaceSet sans le plan conducteur. Autrement dit, la force est donnée par :

F~ = 1 4πε0

q² (2a)²

La méthode des images électriques peut résoudre complètement le problème de l’électrosta-tique, sauf pour calculer l’énergie électrostatique du système. En fait, si nous calculons l’énergie du système charge plus plan conducteur avec la méthode de l’image, nous obtenons une valeur deux fois supérieure à la valeur réelle. Après tout, ceux-ci demeurent deux problèmesphysiquement différents : alors que dans le cas du dipôle le champ électrique est présent dans tout l’espace, dans le cas du plan conducteur le champ n’est présent que dans région considérée, donc dans la moitié de l’espace. Si nous considérons l’énergie électrostatique comme “contenue” dans le champs, nous comprenons immédiatement pourquoi la méthode de l’image nous fournit une valeur double par rapport à la vraie valeur.