par un champ électrique positionné à des points particuliers le long de la trajectoire. Lorsque la quantité de mouvementmv augmente, le champBdoit augmenter en conséquence pour que les particules restent stables sur le rayon de l’accélérateurR=mv/qB.
Bien sûr les détails techniques sont énormément plus complexes, mais le principe de fonction-nement théorique repose sur l’exploitation de la force de Lorentz.
5.2 Champ B ~ généré par des courants stationnaires
Avant de pouvoir discuter des propriétés mathématiques du champ d’induction magnétique, nous devons toujours approfondir la relation entre les courants électriques stationnaires et le champ B.~
Nous avons vu que l’expérience de Øersted l’avait amené à conclure qu’un fil sous tension engendrait un champ d’induction magnétique autour de lui. De nombreuses expériences menées sur des circuits à courant stationnaire nous ont permis d’établirexpérimentalementque :
— d ~B⊥dl, à savoir que le champ est perpendiculaire à l’élément du circuit;~
— d ~B ⊥∆~r, à savoir que le champ est perpendiculaire au vecteur direction joignant l’élément du circuit au pointPde l’espace où nous calculons le champ;
— d ~B∝1/r2;
— d ~B∝I, à savoir le champ est proportionnel au courant passant dans le circuit;
— d ~B∝dl, à savoir le champ est proportionnel à la longueur du circuit qui le génère ; ;~
— d ~B ∝sinθ, à savoir le champ est proportionnel au sinus de l’angle formé par l’élément du circuit et la direction deP
il s’ensuit que le différentiel du champ d’induction magnétique peut s’écrire : d ~B=kIdl~ ×∆~r
|∆~r|3
oùdl~ est l’élément infinitésimale du circuit,∆~rle vecteur distance de l’élémentdl~ du pointP où nous calculons le champB~ etIle courant qui traverse le circuit. Dans le système MKS, la constante a la forme :
k= µ0
4π µ0= 1.25663706144×10−6H m
µ0s’appelleperméabilité magnétique du vide8et elle est mesuré en H/m, où 1 H (Henry) = 1Ω·s.
Cette loi s’écrit donc (Loi de Biot et Savartou1ère loi de Laplace) :
d ~B= µ0
4πIdl~ ×∆~r
|∆~r|3 (5.4)
La loi de Biot et Savart est bien sûr une extrapolation faite à partir d’observations sur des circuits finis, auquel cas il est nécessaire d’intégrer sur la longueur du circuit :
B(~r) =~ µ0
4π I
l
Idl~ ×∆~r
|∆~r|3 (5.5)
Si nous avons à faire à des circuits non filiformes, hypothèse faite implicitement dans le raisonne-ment précédent, le courant doit être exprimé à travers la (4.4), à savoirI=RJ~·dS~ :
B(~r) =~ µ0
2π I
l
"Z
S
J~(~r)·dS~
dl~ ×∆~r
|∆~r|3
#
8. Ouperméabilité du videou encoreconstante magnétique.
Si on remarque quedS~ ·dl~ correspond au volumeVoccupé par le circuit, l’intégrale peut être réécrite
L’équation (5.5) ou la (5.6) représente laloi fondamentale de la megnétostatique, d’où tous les phé-nomène peuvent en être dérivé.
Considérons maintenant une spire circulaire de rayonRet parcouru par un courantI.
I R
Considérons un système de référence ayant l’axezorienté le long de l’axe de la spire. L’élément de circuit dl~ est toujours perpendiculaire à ∆~r, et pour chaque contribution àd ~B provenant de dl~ il en existe une autre de signe opposée provenant de l’élément diamétralement opposé à dl.~ Les composants perpendiculaires àz ont donc un signe différent et s’annulent, tandis que celles parallèles àzse somment. En conséquence, le champ magnétique est dirigé le long de l’axe de la spire. Pour obtenir l’expression explicite, il est nécessaire d’intégrer sur tous les élémentsd ~B, en tenant compte de la (5.5) :
B~ =
La valeur au centre de la spire est :
B(0) =~ µ0
2 I Rnˆ
La tendance qualitative des lignes du champ d’induction magnétique est indiquée à droite de la figure précédente.
Ce résultat est intéressant car il nous permet de calculer le champ d’unsolenoïde, c’est-à-dire une bobine constituée d’une série de spires circulaires très rapprochées réalisées à partir d’un seul fil conducteur et donc parcourues par le même courant.
SoitLla longueur du solénoïde,N le nombre de tours (spires) etI le courant qui le traverse.
Choisissons l’origine des coordonnées au centre du solénoïde.
x
5.2 - ChampB~ généré par des courants stationnaires 89 Le nombre de spires par unité de longueur estn=N/L. Ainsi, dans un élémentdz′, il y adN=ndz′ spire qui contribuent au courant total avecdI =nIdz′.9
En indiquant aveczla position le long de l’axe du solénoïde et avecz′ la position de l’élément de solénoïde, le champ magnétique généré par une portion infinitésimale de solénoïde le long dez peut être calculé à l’aide de la (5.7) et en gardant à l’esprit que la distance de l’élément de solénoïde du pointzs’exprime(z′−z):
Afin d’obtenir le champ dans le pointzil faut intégrer sur toute la longueur du solénoïde, à savoir
−L/2< z′< L/2:
Cette intégrale est facilement résolue en substituant la variablez′−z→y(dz′→dy) :
Bz=µ0
ou, en d’autres termes : Bz=µ0
ce qui pourz≪L, c’est-à-dire vers le centre du solénoïde, fournit : Bz=µ0In L
√R2+L2
Si par contreR≪L, c’est-à-dire dans le cas où la longueur est grande par rapport au rayon, nous obtenons :
d’où le champ à l’intérieur du solénoïde :
Bz≃nµ0I
Pour bien comprendre ce qui arrive au champ magnétique à l’intérieur et à l’extérieur d’un solénoïde, examinons ce qui se passe lorsqu’on met deux bobines côte à côte, mais sans contact :
· x
· x
9. Cela parce que l’intégrale sur toutes les spires doit nous fournir le courant total dans le solénoïde.
La figure montre clairement que :
— Les différentes contributions du champB~ se somment à l’intérieur du solénoïde, car elles sont toutes concordes,
— Les contributions des spires s’annulent dans l’espace entre les spires, car il y a deux contri-butions égales et opposées provenant des deux spires voisines,
— Les contributions en dehors du solénoïde ont tendance à s’annuler, car des contributions discordantes dans la zone externe tendent à s’annuler.
par conséquent, nous pouvons affirmer que le champ à l’extérieur d’un solénoïde est presque nul et s’annule en cas d’un solénoïde de longueur infinie. En revanche, à l’intérieur du solénoïde le champ est très intense et aligné dans l’axe. Cela est intuitif parce que les lignes du champ induction magnétique sont fermées, par conséquent le même nombre de lignes de champ doivent traverser le solénoïde et être dans tout l’espace extérieur, donc leur densité à l’intérieur du solénoïde doit être très élevé.
Solénoïdes et inducteurs
L’élément de circuit qui implémente un solénoïde s’appelleinducteur. L’inducteur est donc cet élément d’un circuit électrique qui stocke l’énergie électrique absorbée dans un champ magné-tique.
Cependant, l’intérêt d’un inducteur est plutôt relatif pour les courants stationnaires. Afin d’illustrer le potentiel énorme de cet élément de circuit, nous devrons donc attendre un peu plus longtemps lorsque nous parlerons de champs magnétiques variables et de flux magnétiques liés à un circuit.