Lorsqu’un générateur est utilisé pour alimenter un circuit, par exemple le cas simple de la ré-sistance vue ci-dessus, la différence de potentiel∆V présente aux extrémités du générateur est la même que celle aux extrémités de la résistanceR. En même temps, le courantIen circulation est le même dans les deux composants.
Donc, si nous voulons trouver la tension ∆Vl et le courant Il qui circule réellement dans le circuit (on dit généralement que le circuit est "résolu"), nous devons résoudre le système constitué des deux équations (4.7) et (4.11) :
∆Vl =f −Ilr
∆Vl =IlR → f = (R+r)Il →
Il = f R+r
∆Vl =f R R+r
La solution de ce système peut également être trouvée graphiquement. Dans un graphe(I,∆V), les courbes caractéristiques du générateur et de la résistance sont représentées par deux lignes droites :
I
∆V I
∆V α
β
Résisteur Générateurf
15. Pour des raisons historiques, on l’appelleforceélectromotrice, alors qu’il s’agit en réalité d’un travail par unité de charge.
4.5 - Applications de la théorie à la résolution des circuits 67 où à à partir de (4.7) on obtient tanα = 1/Ret à partir de (4.11) quetanβ = r. Pour trouver la solution du circuit, nous pouvons tracer les deux courbes caractéristiques :
I
f ∆V Il P
∆Vl
Resisteur Gén
érateur
le point où se croisent les deux courbes caractéristiques s’appellepoint de travailet correspond aux valeurs communes au générateur et à la résistance(Il,∆Vl), c’est-à-dire à la solution du circuit. La méthode graphique que nous venons d’illustrer ici ne doit pas être sous-estimée. Dans de nom-breux cas, la résolution analytique du circuit est possible, mais il existe des cas pour lesquels la so-lution graphique est la seule soso-lution possible ou celle-ci est beaucoup plus facile à trouver. A titre d’exemple et pour montrer en quoi les courbes caractéristiques de certains composants peuvent être complexes, voici ci-dessous celles d’un transistor :
Dans ces cas, le moyen le plus rapide de chercher les courants et les tensions consiste à résoudre le circuit à l’aide de la méthode graphique.
Nous remarquerons que la loi de Ohm (4.7) peut être lue comme la chute de tension entre deux points d’un circuit ayant une résistanceRlorsqu’un courantIcircule entre eux, à condition que le circuit entre les deux points considérés puisse être considéré un conducteur ohmique. Cela nous donne l’occasion de généraliser cette loi.
Nous définissonsbrancheune partie d’un circuit électrique dans lequel il n’y a pas de nœuds.
Par conséquent, tous les composants présents sur cette branche sont traversés par le même courant.
La loi d’Ohm peut donc s’appliquer à tous les composants présents sur la branche, qu’il s’agisse de résistances ou de générateurs. Par exemple, supposons qu’entre les pointsAetB il y ait trois résistances d’une valeur deR1,R2etR3et deux générateurs de force électromotricef1etf2:
VA R1 f1
+−
R2 −f2
−+
R3 VB
I~
La loi d’Ohm nous permet d’écrire :
VB =VA−IR1+f1−IR2−f2−IR3
car en passant par la branche deAàB, le potentiel diminue deIR1,f1(16),IR2,−f2(17) etIR3.
16. Car le vers est concorde de la chute de potentiel deAàB.
17. Car le vers est discorde avec la chute potentielle deAàBet augmente le potentiel def2.
De ce fait nous pouvons écrire :
∆V + X
A→B
fi= X
branche
IRi
où la somme sur les générateursfiest une somme algébrique. Cette relation s’appelleloi généralisée d’Ohm.
Considérons maintenant un ensemble de branches formant une ligne fermée. Cette configura-tion s’appellemaille:
I4 I2
I1
I3
D
A B
C
comme dans ce cas il y a forcément des nœuds, chaque branche constituant la maille aura son propre courant. Nous fixons ensuite un sens d’écoulement du courant dans la maille.18Nous pou-vons toujours écrire la loi d’Ohm généralisée pour chaque branche :
A→B VA−VB+ X
A→B
fi=I1RA→B
B→C VB−VC+ X
B→C
fi=I2RB→C
C→D VC−VD+ X
C→D
fi=I3RC→D
D→A VD−VA+ X
D→A
fi=I4RD→A
et en ajoutant membre à membre nous obtenons :
(VA−VB) + (VB−VC) + (VC−VD) + (VD−VA) = 0
ce qui n’est rien d’autre quel’application pratique de l’équation(1.6)H E~ ·dl~ = 0, c’est-à-dire le fait que la circulation d’un champ conservatif est identiquement nulle. Il s’ensuit que le long d’un maille, nous pouvons écrire laseconde loi de Kirchhoff:
X
maille
fi= X
maille
RiIi
Maintenant que nous avons trouvé la deuxième loi de Kirchhoff pour les mailles, les mathéma-tiques nous aident à traiter des cas plus complexes.
Pour comprendre comment procéder, commençons par un exemple concret. Supposons d’avoir le circuit suivant :
18. Le vers de l’écoulement peut être choisi arbitrairement. Lors que le circuit sera résolu, si le signe du courant est positif, cela signifie qu’il est en accord avec le vers choisi. S’il est négatif, cela signifie qu’il s’écoule dans le sens opposé à celui choisi.
4.5 - Applications de la théorie à la résolution des circuits 69
R1 R2
R3
R4
R5
R6
R7
∆V IA
IB
IC
Ce circuit contient 6 branches, 4 nœuds et 7 mailles et nous pouvons certainement écrire la deuxième loi de Kirchhoff pour chacune d’elles. Nous pouvons donc écrire un système d’équations avec les lois de Kirchhoff de chaque maille et en chercher la solution. Pourquoi écrire un système d’équa-tions? Tout simplement, parce qu’elles doivent toutes s’appliquer simultanément.
Le problème qui se pose immédiatement est que ces équations ne sont pas toutes indépendantes et donc n’a aucun sens (ni du point de vue physique, ni du point de vue mathématique) écrire un système pour toutes ces équations. Nous devons donc avant tout identifier correctement le nombre minimum de relations indépendantes nécessaires pour résoudre notre circuit et écrire la deuxième loi de Kirchhoff pour ces liens. Ce n’est qu’à ce point-là que notre système sera bien défini d’un point de vue mathématique et que nous obtiendrons la bonne solution.
Pour connaître le nombre de liens indépendants dans notre circuit, nous devons nous appuyer sur lathéorie des graphes.19 En géométrie combinatoire, la théorie des graphes traite de l’étude des propriétés desgraphesdéfinis de façon non formelle comme étant une structure contenant :
— objets simples appelésnœudsousommet,
— liens(ouarêtes) entre nœuds pouvant êtrenon orientés(c’est-à-dire avec une direction mais sans un vers) ouorientés(c’est-à-dire, avec une direction et un vers défini).
dans notre cas, les nœuds sont les nœuds du circuit électrique et les connexions entre les nœuds sont représentées par les branches de la maille. De plus, le circuit électrique est représenté par un graphe orienté car les courants définissent une direction le long des branches.
Lors que notre exemple de circuit est transposé en graphique, il se transforme de la façon sui-vante :
En théorie des graphes, l’arbrea une importance particulière : il s’agit de l’ensemble des branches qui connectent tous les nœuds sans former de chemins fermés. Les branches restantes constituent lecoarbre.20Dans notre cas, arbre et coarbre sont :
19. Bien que la théorie des graphes ait beaucoup progressé récemment grâce à des applications de plus en plus sophisti-quées, son origine est très ancien et remonte à Euler qui en jeta les bases en 1736 en s’attaquant au problème des 7 ponts de Königsberg.
20. Ceux-ci constituent alors legraph complémentaire.
arbre coarbre
si nous indiquons maintenant le nombre de nœuds avecn, il est immédiatement évident que l’arbre est composé den−1branches. La première branche relie 2 nœuds, la deuxième branche a un nœud en commun avec la première et connecte un troisième nœud et ainsi de suite jusqu’au dernier nœud, d’où la relation. Si on dit r le nombre de branches, il en résulte immédiatement que le coarbre contientr−(n−1)branches, dans notre exemple6−(4−1) = 3.
Notons maintenant que si nous ajoutons une branche du coarbre à l’arbre, nous créons une maille. Si, par exemple, nous ajoutons la branche supérieure droite du coarbre à l’arbre, nous obte-nons la maille que nous avons identifié avecIB. Il est évident que le nombre de mailles que nous pouvons obtenir de cette manière (mailles essentielles) coïncide avec le nombre de branches du coarbre, c’est-à-dire :
m=r−n+ 1 (4.12)
Dans notre exemple, nous obtenons 3 mailles. La propriété importante est queles équations de la seconde loi de Kirchhoff appliquées aux mailles essentielles sont linéairement indépendantes, car dans chacune d’elles apparaît la tension d’une branche du coarbre qui n’est pas inclus dans les autres et ne peut donc pas être écrit comme combinaison linéaire des autres. Comme les mailles essentielles incluent toutes les branches et tous les nœuds, ceux-ci sont également suffisants pour résoudre complètement le circuit.
C’est ainsi qu’à partir de la relation(4.12)nous trouvons la règle de chercherr−n+ 1mailles qui ont au moins une branche non en commune avec d’autres.
Maintenant que nous avons obtenu un nombre suffisant d’équations indépendantes pour ré-soudre notre circuit, il est immédiat d’écrire les équations des trois mailles parcourues par les cou-rantsIA,IB etIC (courants de maille). Pour ce faire, il faut prendre soin d’exprimer les courants latéraux en fonction des courants de maillage selon la convention utilisée :
(R1+R5+R6+R7)IA−R5IB −R6IC = ∆V
−R5IA+ (R5+R2+R4)IB −R4IC = 0
−R6IA−R4IB +(R6+R3+R4)IC = 0
ou en terme de matrices :
(R1+R5+R6+R7) −R5 −R6
−R5 +(R5+R2+R4) −R4
−R6 −R4 +(R6+R3+R4)
IA
IB
IC
=
∆V 0 0