6.4 Comportement des matériaux dans un champ magnétique
Avant de pouvoir analyser le comportement de la matière dans un champ magnétique, nous devons encore faire quelques observations sur le comportement microscopique de la matière.
La polarisation induite par le champB~ est due à l’orientation de dipôles magnétiques microsco-piques. On peut donc appliquer le même raisonnement du §3.5.2, où cette fois le terme énergétique du dipôle vautm~ ·B~ =mBcosθ:
P(U) =Ae−kTU = 1
4πemBkTcosθ
d’où la probabilité que le dipôle soit orienté dans une fine couronne circulaire d’angle solidedΩ = 2πsinθdθ:
dP =P(U(θ))dΩ =P(U(θ))2πsinθdθ=AemBkTcosθ2πsinθdθ
Cependant, contrairement à ce qui a été fait dans le cas de la polarisation électrique, il n’est pas possible dans le cas présent de développer en série l’argument de l’exponentielle mBkTcosθ (15) car l’énergie magnétique en jeu peut être importante. Cela implique que la constante de normalisation Adoit maintenant être calculée comme suit :
A= 1
Z π 0
emBkTcosθ2πsinθdθ
Si le matériau est isotrope, hypothèse simplificatrice qui est toujours faite, la distribution présente une symétrie cylindrique autour de l’angleθ formé avec la direction de B~ et par conséquent la valeur moyenne demcosθ, la seule composante différente de zéro, est donnée par :
hmi=hmcosθi= Z π
0
mcosθemBkTcosθ2πsinθdθ Z π
0
emBkTcosθ2πsinθdθ
Cette intégrale peut être résolu par substitution avecy≡mB/kTetx≡cosθ:
hmi=m Z 1
−1
xeyxdx Z 1
−1
eyxdx
=m
cothy−1 y
≡L(y)
où la fonction :
L mB
kT
=m
cothmB kT − kT
mB
(6.6) est appeléfonction de Langevinet dont la figure ci-dessous en montre le comportement.
M
mB kT
15. Cela n’est pastoujourspossible. C’est possible pour les matériaux paramagnétiques, mais pas dans le cas des maté-riaux ferromagnétiques.
D’un point de vue macroscopique, il est préférable d’introduire un paramètre donnant une me-sure de la différence de la perméabilité par rapport au vide, un paramètre qui est appelé susceptibi-lité magnétiqueet qui est défini comme étant :
χm=µr−1
6.4.1 Diamagnétisme
Les éléments dont les atomes n’ont pas de moment magnétique propre16 ne peut être affectée par le champ magnétique que par la précession de Larmor. Par conséquent, l’interaction est faible et de signe opposé au champ magnétique, ces matériaux sont donc rejetés par le champ et on parle dediamagnétisme.
Ditnle nombre d’atomes par unité de volume, le moment magnétique dû à la précession de Larmor est exprimé selon le (6.1) par :
M =−Ze2r2 6me
Bl=−µ0Ze2r2 6me
Hl (6.7)
où par l’indicelnous entendons le champ local qui agit sur l’atome en question, à l’instar de ce qui a été fait dans le §3.2.1 pour la polarisation électrique.
En procédant de la même manière, le champ macroscopiqueH peut être considéré comme la somme du champ généré par l’atome et du champ généré par le reste de la matière. Si l’on considère le champ généré par l’atome comme celui d’une sphère uniformément magnétisée :
H=Hl+Hsphère → Hl=H−Hsphère
Le courant de magnétisation de surface nous avons vu être M~ ·n, la composante normale à laˆ surface s’écritMcosθ. La contribution de cette magnétisation au centre de la sphère est :17
dH=− 1 4π
jmag.(s) r2 dAnˆ
oùrest le rayon de la sphère entourant l’atome – que l’on peut penser de taille atomique – etdA est l’élément de surface sur la sphère. MaisdA/r2correspond à l’élément d’angle solidedΩ, donc :
dH=− 1
4πMcosθnˆ
la valeur du champ au centre de la sphère est obtenue en intégrant toute la surface, c’est-à-dire : Hsphère= et en remplaçant ce résultat par l’expression de la polarisation magnétique (6.7) nous obtenons :
M =−µ0Ze2r2
16. La raison pour laquelle certains atomes ont un moment magnétique intrinsèque différent des autres est un sujet dont l’explication ne peut être donnée que dans le domaine de la mécanique quantique appliquée aux systèmes atomiques comportant plus d’électrons. Cet argument est évidemment bien au-delà du niveau de ce cours, aussi cette affirmation doit être acceptée ici comme un fait.
17. Nous considérons la contribution au centre de la sphère parce que la sphère est suffisamment petite pour considérer la valeur médiane au centre. En revanche, à l’intérieur d’une sphère à magnétisation uniforme, nous verrons que cette valeur est constante.
6.4 - Comportement des matériaux dans un champ magnétique 123 Comme on peut le constater, le moment magnétique est dans ce cas indépendant de la température et, comme il est orienté dans le sens opposé au champ magnétique, le matériau est repoussé par le champ magnétique.
Il est évident que le moment magnétique dû à la précession de Larmor est présent dans tous les matériaux. Toutefois, dans le cas des matériaux paramagnétiques et ferromagnétiques, d’autres facteurs entrent en jeu pour masquer le diamagnétisme du matériau.
Comme le moment magnétique n’est dû qu’à la précession de Larmor, il est aligné sur le champ extérieur et – pour ce qui est dit ci-dessus – la relationB~ =µ ~H est valide. La relation (6.3) en est donc simplifiée :
H = µH−µ0M
µ0 → H(µ−µ0) =µ0M → µ0(µr−1)H =µ0M → µ0χmH =µ0M ou en fin de compte :
M~ =χmH~ (6.9)
ou l’équivalent :
µ ~N =χmB~
B~ =µ ~H =µ0(1 +χm)H~
6.4.2 Paramagnétisme
Si les atomes du matériau ont leur propre moment magnétique, mais que la structure du ma-tériau est telle qu’il n’est pas possible d’avoir des champs de haute intensité à l’intérieur, alors le moment magnétique est parallèle au champ extérieur et par conséquent ces matériaux sont faible-ment attirés par le champ magnétique. On parle donc deparamagnétisme.
Étant le moment magnétique faible, le raisonnement qui nous a conduit à la (6.8) est toujours valable même si le résultat implique le signe inverse.18 La différence dans le cas présent consiste dans la relation entre le vecteurM~ et le vecteurB~ qui doit être calculée selon la distribution statis-tique (c’est un moment magnéstatis-tique intrinsèque à l’atome et non dû à un mouvement de précession angulaire) et donc donnée par la (6.6). Dans ce cas, cependant, en raison des faibles moments ma-gnétiques en jeu, cette fonction peut être approximée au premier ordre. Sachant que le vecteur de magnétisation s’exprime en fonction du moment magnétique moyen élémentaire sous la forme M~ =nhmiavecnnombre de moments par unité de volume, les relations à utiliser dans ce cas sont les suivantes :
Hl=H+1 3M M =nhmi=m
cothmB kT − kT
mB
≃1 3nmmB
kT
en gardant à l’esprit que dans ce cas le momentM~ est parallèle àH~ car il tend à s’aligner avec lui et que la relationB~l=µ0H~lest toujours valable, nous avons :
M = 1 3nm2B
kT =1 3nµ0m2
kT Hl≡αHl
d’où :
1
αM =H+1
3M ⇒
1 α−1
3
M =H ⇒ M = 3α
3−αH
Ici encoreα≪1, donc la relationM ≃αHet toujours valable et permet de conclure que la suscep-tibilité magnétique pour un matériau paramagnétique peut s’écrire :
χm≃ nm2µ0
3kT
18. Évidemment, parce que le moment magnétique est orienté selon le champ magnétique contrairement à la précession de Larmor.
Ce résultat est conforme à la loi de Curie déterminée expérimentalement en 1895, qui stipule que la susceptibilité magnétique d’un matériau paramagnétique varie inversement à la température absolue et proportionnellement à la densité.19
6.4.3 Ferromagnétisme
Dans les matériaux ferromagnétiques, la relation entreB~ etH~ est extrêmement complexe, gé-néralement non univoque, dépend de l’histoire passée et elle est différente pour chaque matériau.
La relation entreM~ etB~ est donnée par la fonction de Langevin (6.6), qui dans le cas présent ne peut plus être approximée. Il est donc évident qu’il s’agit d’un sujet difficile à traiter de manière analytique. La relationB~ =µ0H~ est en revanche toujours valable.
Afin de poursuivre notre discussion, nous devons nous appuyer sur certains résultats expéri-mentaux. Tout d’abord, la relation (6.8) n’est pas valable. Le champ dans la matière n’est jamais négligeable, c’est pourquoi nous supposons une relation de ce type :
H~l=H~ +γ ~M → M~ = H~l−H~ γ
oùγest appelé constante de Weiss et prend des valeurs très élevées de l’ordre de103-104, ce qui nous permet de conclure que le champH~ à l’intérieur des matériaux ferromagnétiques est essen-tiellement déterminé par une magnétisation spontanée. Cette relation doit avoir solution simulta-nément à la (6.6), il est donc utile de l’exprimer en termes de la même variabley≡mB/kT, ce qui nous permet d’expliquer la dépendance de la température :20
M =Hl−H
γ = Bl/µ0−H
γ =
kT µ0y−H
γ = kT
mµ0γy−H γ Nous somme donc amenés à résoudre le système :
M =nm
cothy−1 y
M = kT
mµ0γy−H γ
(6.10)
La deuxième équation représente une ligne droite de coefficient d’angle mµkT
0γ et intercepte l’axe y en−H/γ. Les solutions de ce système, représentées par les points d’intersection des deux gra-phiques, dépendent fortement de la pente de cette ligne. La première étape consiste donc à établir l’orientation de cette ligne par rapport à la fonction de Langevin. Pour ce faire, considérons la pente duL(y)eny= 0:21
nmdL dy
y=0
≃nm 3
La valeur deγétant très élevée, il s’ensuit que la pente de la ligne droite est généralement inférieure à celle de la courbe de Langevin à l’origine. Cela donne naissance au système dont les solutions sont représentées graphiquement dans la figure suivante.
19. La dépendance de la densité provient den, le nombre d’atomes par untié de volume. Cette loi fut établie par Pierre Curie sous la forme :
χm=C̺
T
20. La considération que tous ces vecteurs sont alignés nous permet d’éliminer le signe du vecteur dans les équations suivantes.
21. Nous avons considéré la dérivée du développement en série et nous nous sommes arrêtés au premier ordre.
6.4 - Comportement des matériaux dans un champ magnétique 125 H5 H4 H3 H2H1
M
−nm nm
mB kT
H
Dans ce graphique, le champ d’induction magnétiqueB~ (et par conséquent le champ magné-tique appliquéH~) diminue au fur et à mesure que l’on avance de la droite vers la gauche. Pour les champs élevés (deH1àH2), il n’y a qu’une seule solution au système et donc la relation entreM~ etB~ est unique et linéaire. Pour la valeurH2il y a deux solutions possibles au système, dans la région entreH2etH4il existe même trois solutions possibles au système. En particulier pour la va-leurH3une des solutions possibles estM~ = 0etB~ = 0. Pour les valeurs comprises entreH4etH5
et inférieurs, c’est-à-dire pour les champs négatifs, le comportement des solutions est symétrique à l’origine.
Voyons comment ce comportement peut être interprété.
La première considération est qu’à partir d’une certaine valeur du champ magnétique, on ob-serve un phénomène de saturation. Pour des valeurs égales àH1ouH5, la magnétisation ne varie pratiquement plus et cela indépendamment du champ appliqué, qu’il soit positif ou négatif. Pour toute valeur deHcomprise entreH1etH5, il existe plusieurs valeurs possibles – toutes valables – pourM : la valeur qui représente l’état actuel du système dépend de l’histoire passée du matériau, comme nous le verrons ci-après. Pour la valeurH3, il existe trois solutions : une àH = 0et deux symétriques à 0 de signe opposé. Lorsque le champ passe deH3àH1, ces solutions se rapprochent toutes de la valeur asymptotiqueH1, en particulier à la valeurH2la solution provenant deH = 0 se confond avec celle qui est la plus proche de la valeur asymptotique.
Si on fait un graphiqueM −H l’évolution de ces solutions par rapport au champ magnétique externeH, on obtient un diagramme appelécycle d’hystérésis.
M
H a
b
c d
H5 H4 H3 H2 H1
Si nous partons de la situation où nous avons un matériau démagnétisé et aucun champ, alors notre solution est nécessairement celle indiquée parM~ = 0etH~ = 0pourH3. La courbe en pointillés est appeléecourbe de première magnétisationet décrit le comportement du moment magnétique de la substance lorsqu’un champ magnétique lui est appliqué pour la première fois.
Une fois la saturation atteinte (une condition dans laquelle le moment magnétique total n’aug-mente pas, même si le champ magnétique externe augn’aug-mente), si nous commençons à diminuer le champ, le système passe par la partie supérieure du graphique : vous pouvez remarquer qu’en ramenant le champ à zéro, le système conserve une certaineaimantation résiduelle(pointa). Si à ce point du graphique un champ magnétique est appliqué dans l’autre direction (négative), la ma-gnétisation du système peut être remise à zéro (pointb). La valeur du champ nécessaire à cette opération est appelée champ coercitif. Si nous augmentons encore le champ dans le sens négatif, nous obtiendrons finalement une saturation négative.
Si ce champ est ensuite ramené à zéro, le système passe par la partie inférieure du graphique et conserve à nouveau une certaine magnétisation résiduelle, cette fois-ci négative (pointc). Pour ramener la magnétisation à zéro, il faut appliquer à nouveau un champ coercitif, cette fois-ci positif (pointd).
En augmentant à nouveau le champ, nous obtenons à nouveau une saturation positive, nous complétons ainsi le cycle.
Puisque l’énergie d’un dipôle magnétique immergé dans un champ est donnée par le produit scalaire du moment magnétique pour le champm~ ·H,~ la surface sous-tendue par le cycle d’hystérésis correspond à l’énergie dissipée lors de l’exécution du cycle lui-même. Cette énergie est perdue par le champ magnétique et se retrouve en forme de chaleur : le matériau se réchauffe.
Étudions maintenant la solution du (6.10) à la variation de la température en maintenant tous les autres paramètres constants. Faire varier la température signifie faire varier la pente de la droite correspondant à la deuxième équation, dont la tendance qualitative pour trois températuresT1 <
Tc< T2est indiquée dans la figure suivante.
T2 Tc T1
M
−nm nm
mB kT
H
Il est clair qu’au-delà d’une certaine température, indiquée parTcet appeléeTempérature de Curie, la solution est toujours unique quel que soit le champ appliqué. Le matériau n’est plus ferroma-gnétique et se comporte plutôt comme un matériau paramaferroma-gnétique.
La température de Curie peut être calculée en remarquant que dans ce cas la pente de la droite est égale à la pente de la courbe de Langevin à l’origine, c’est-à-dire :22
kTc
mµ0γ =nm
3 → Tc= µ0nm2γ 3k .
Les mesures expérimentales confirment qu’il s’agit d’une description correcte du comportement des matériaux ferromagnétiques.
QUELQUE APPLICATION
Nous avons mentionné que le cycle d’hystérésis génère de la chaleur dans le matériau ferro-magnétique. Un autre problème peut survenir lorsque l’aimantation résiduelle n’est pas souhaitée.
Par exemple, dans les dispositifs où des contacts magnétiques sont utilisés, la présence d’une ai-mantation résiduelle en absence de champ (généré dans ce cas par un courant) peut empêcher le déclenchement d’un contact.
Toutefois, il existe plusieurs cas où la présence d’hystérésis peut être mise à profit. Un cas ty-pique est la construction d’aimants permanents. Dans ce cas, nous recherchons le cycle d’hystérésis le plus large possible car le pointaest très proche de la saturation et une fois le champ magnétique désactivé, le matériau présente une forte magnétisation résiduelle.
Une utilisation beaucoup plus sophistiquée de la magnétisation résiduelle est pour construire des supports de mémoire. Dans ces cas, la magnétisation résiduelle, dans l’une des deux états (a ouc), est utilisée pour indiquer un bit 0 ou 1. De cette façon, les informations peuvent être stockées sur des disques durs, des bandes ou les anciennes mémoires RAM en ferrite.
22. En fait, une mesure expérimentale de la température de Curie permet de calculer la valeur deγ.