9. Pour être précis, c’est l’une des formes dans lesquelles la relation de Clausius-Mossotti peut être écrite.
Alors que la seconde équation conserve sa validité également dans le cas des diélectriques, puisque le champ électrostatique reste un champ radialement symétrique même en présence de diélec-triques, la première équation doit évidemment changer de forme. En fait, la densité̺incluttoutes les charges électriques qui sont constitutives du champ, mais dans ce cas il faut aussi prendre en compte les charges liées qui se produisent dans le diélectrique. En explicitant ces dernières dans la première équation nous obtenons :
∇ ·~ E~ = ̺ ε0
= ̺e+̺p
ε0
où avec̺enous avons indiqué les charges libres et avec̺ples charges liées à la polarisation. Pour être utilisable, cette écriture nécessite la connaissance précise des charges liées, ce qui n’arrive pas souvent. En se basant sur la (3.2) cette relation peut être réécrite comme suit :
∇ ·~ E~ = ̺e−∇ ·~ P~
ε0 (3.5)
d’où :
∇ ·~ (ε0E~ +P)~ ≡∇ ·~ D~ =̺e
où nous avons défini la quantité (vecteur déplacement électrique) : D~ ≡ε0E~ +P~
En termes de ce vecteur, les équations de l’électrostatique deviennent formellement identiques à
celles du vide :
∇ ·~ D~ =̺e
∇ ×~ E~ = 0
cependant, là où les équations sans diélectriques s’appliquent au même vecteur (E) et ceci garan-~ tissant l’unicité de la solution, nous devons maintenant supporter une relation entre le vecteurE~ etD.~
Digression historique concernant le vecteurD~
Il est intéressant de faire une petite digression historique. Aux débuts de la théorie de l’élec-tromagnétisme il n’y avait pas connaissance du mécanisme de la polarisation et les seules charges connus étaient les charges libres̺e et la présence dans les équations d’un terme̺pdont on ne pouvait pas justifier l’origine n’était pas très bien vu. Pour garder donc les équations de Maxwell sous une forme simple, on choisit de définir un nouveau vecteurD~ comme étant une combinaison linéaire du champ électriqueE~et du vecteur polarisationP~.
Il y a une autre question concernant l’utilisation du vecteurD. Quand nous disons que~ P~ est proportionnelle au champ électriqueE~ et écrivons une équation du typeD~ =E~ +ε0χ ~E = ε0(1 +χ)E~ nous essayons de décrire une propriété de la matière. Mais le comportement de la matière est beaucoup plus complexe et la relation de proportionnalité entreP~etE~ne s’applique que sous certaines conditions. Qui plus est, la relation peut dépendre de la direction ou de la façon dont le champ électrique change avec le temps. En réalité, cette relation est uneapproximationet ne peut donc pas représenter une loi fondamentale de la nature. Les seules lois fondamentales sont celles qui impliquent le champ électriqueE~qui conservent leur validité dans toutes situations.
La relation entreE~ etD~ se réduit à une relation entreP~etE~ comme vu plus haut. D’une manière très générale, cette relation peut dépendre de la direction et elle est donc écrite plus correctement de la façon suivante :
3.3 - Les équations de l’électrostatique en présence de diélectriques 49
où la matrice :
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
c’est en fait un tenseur qui prend le nom detenseur de polarisation. Si les coefficients sont constants (indépendants du champ électrique et de la direction) on parle alors dediélectrique parfait. Ce n’est bien sûr pas toujours le cas : les matériaux ferroélectriques et les régimes dans lesquels la polarisa-tion ne dépend pas du champ électrique sont des exemples de diélectriques non parfaits.
Dans le cas particulier où le diélectrique est homogène et isotrope, alors la polarisation ne dé-pend pas de la direction, elle est parallèle au champ électrique et parfaitement proportionnelle à celui-ci. Dans ce cas, la matrice revient à une matrice diagonale (puisque la polarisation ne dépend pas des composantes transversales du champ, mais uniquement de la composante parallèle) et les éléments diagonaux sont tous les mêmes (car la polarisation est la même dans toutes les directions).
Dans ce cas la relation entreP~ etE~ devient une simple proportionnalitéP~ =ε0χ ~Eet vous avez : D~ =E~ +ε0χ ~E=ε0(1 +χ)E~ =ε0εrE~ =ε ~E (3.6) Si un diélectrique parfait remplit tout l’espace, les équations de l’électrostatique deviennent :
∇ ·~ D~ =̺e
∇ ×~ E~ = 0
(3.7)
et en divisant tout parε=ε0εr:
∇ ·~ E~ = ̺e
ε0εr
∇ ×~ E~ = 0
(3.8) c’est-à-dire, le champ électrique est identique au cas sans diélectrique, seulement réduit par un facteur d’échelleεr.
Nous nous intéressons maintenant au cas où le diélectrique n’occupe pas tout l’espace, mais seulement une partie. La constante diélectrique présentera maintenant une discontinuité aux inter-faces et, par conséquent, la constanteεne peut être sortie du signe d’intégral. Par conséquent, la première des (3.8) ne tient pas tandis que la seconde continue - évidemment - à être valide.
D’un point de vue physique, cela signifie que le champ électriqueE~ présentera une discontinuité en traversant la surface. En effet, si l’on considère une surface qui entoure l’interface, le flux du champ électrique n’est pas nécessairement nul (et il ne l’est pas en général) en raison de la présence de charges liées.
Si nous considérons une ligne fermée qui traverse l’interface, le champ électrique continue d’être irrotationnel car la circulation reste nulle.
Dans chaque région diélectrique individuelle, les équations générales que nous avons écrit res-tent valides. Cependant, comme elles ne peuvent pas être étendus à tout l’espace, il faudra ajouter à celles-ci des conditions aux limites appropriées permettant de lier les solutions trouvées dans les différentes régions diélectriques.
dS D~1
D~2
ε1
ε2
~dl
−~dl E~1
E~2
ε1
ε2
θ1
θ2
Considérons un petit cylindre ayant des basesdSparallèles à la surface de séparation diélectrique et à la surface latérale infinitésimale. Le flux deD~ doit être nul car il n’y a pas de charges à l’intérieur du cylindre et les charges liées sont incluses dans le vecteurD. En conséquence :~
Φ(D) =~ dS ~D1·nˆ1+dS ~D2·nˆ2=dSD⊥1−dSD⊥2=dS(D⊥1−D⊥2) = 0
oùD⊥indique la composante perpendiculaire à la surfacedS, parallèle à la normalenˆet il est pris en compte que les deux normales sont orientées dans le sens opposé (si le vecteurD~2rentre dans le cylindre, alorsD~1en sort). De cette relation on déduit que la composante deD~ normale à la surface ne subit pas de discontinuité. En rappelant la relation (3.6) il s’ensuit :
D⊥1=D⊥2 → ε1E⊥1=ε2E⊥2 → E⊥1
E⊥2 = ε2
ε1
à savoir, queen traversant la surface de séparation de deux diélectriques la composante normale à la surface du champ électrique subit une discontinuité égale au rapport des constantes diélectriques.
Considérons maintenant le chemin fermé représenté sur la figure de droite, dont les segments latéraux sont des infinitésimaux d’ordre supérieur. Suivant le raisonnement déjà effectué, puisque la circulation s’annule il s’ensuit que la composante parallèle du champ électrique ne subit pas de discontinuité :
E~ ·dl~ −E~ ·dl~ = 0 → Ek1dl−Ek2dl= 0 → Ek1=Ek2 (3.9) doncà travers la surface de séparation de deux diélectriques, la composante du champ électrique parallèle à la surface ne subit pas de discontinuité.
En divisant de membre à membre les deux équations, on obtient : Ek1
ε1E⊥1
= Ek2
ε2E⊥2
et au vu du fait queEk/E⊥ = tanθ:
tanθ1
tanθ2
= ε1
ε2
Supposons maintenant d’avoir un diélectrique polarisé à l’intérieur duquel nous faisons deux fentes, l’une parallèle au champ électrique interneE, l’autre perpendiculaire. On indique avec~ E~ le champ à l’intérieur du diélectrique et avecE~0le champ mesuré dans les fentes.
Σ S′
E~
D’après la deuxième équation de Maxwell (1.9) nous savons que la circulation calculé sur la ligne Σdoit être zéro. Mais ceci implique que la contribution du champE~ au sein du diélectrique doit être égale à celle mesurée dans la cavité E~0. Par conséquent, la mesure du champ dans la cavité fournit le champ électrique présent dans le diélectrique. Ce résultat peut également être trouvé sur la base de la (3.9). En effet, selon cette équation la composante parallèle à la surface de séparation diélectrique reste inchangé, et la composante parallèle est exactement celle qui est mesurée dans cette configuration.
3.4 - Énergie et forces électrostatiques en présence de diélectriques 51