∇ ·~ E~ −̺(x, y, z) ε0
dV = 0 puisque cela doit valoir pour n’importe quel volume :
∇ ·~ E~ = 1
ε0̺(x, y, z) (1.8)
Cette relation est l’équation de Maxwell-Gausset elle est équivalent à la loi de Gauss (et donc à la dépendance de l’inverse du carré de la distance de la loi de Coulomb) avec la seule hypothèse que théorème flux-divergence soit valide. Cette hypothèse, rappelons-le, exige que le champ vec-toriel soit dérivable sur tout le domaine considéré, ce qui n’était pas nécessaire pour la formulation intégrale de cette loi.
Remarquons-nous que souvent dans la pratique nous avons à faire à des distributions discon-tinues, par exemple sur les surfaces des conducteurs où le champ, tout en étant continu, est non différentiables.4 La loi différentielle nouvellement obtenue peut cependant être appliquée dans chacun des domaines où le champ est dérivable.
La relation (1.6) peut être mise en forme locale via lethéorème de Kelvin-Stokes. Ce théorème relie le rotationnel d’un champ de vecteurs calculé sur une surface avec l’intégral curviligne calculée sur le bord de la surface. Puisque le bord est une ligne fermée, l’intégral curviligne sur le bord coïncide avec la circulation du champ vectoriel calculée sur le bord de la surface. Dans le cas du champ électriqueE, le théorème nous dit que (nous utilisons toujours la notation “nabla” ici) :~
I E~ ·dl~ = Z
S
∇ ×~ E~
·dS~
puisque cette relation est valide indépendamment de la surface choisie, le théorème nous permet de conclure que∇ ×~ E~ = 0.
En utilisant l’identité vectorielle∇ ×~
∇F~
≡0, oùF~ est un champ de vecteurs, du théorème de Kelvin-Stokes s’ensuit que le champ électriqueE~ peut être écrit comme étant le gradient d’une fonction scalaire. Ce résultat avait déjà été trouvé en raisonnant sur la signification de la circula-tion dans un champs à symétrie radiale. La structure mathématique que nous sommes en train de développer est donc cohérente.
La relation :
∇ ×~ E~ = 0 (1.9)
s’appelleequation de Maxwell-Faraday en régime stationnaireet décrit en forme locale le fait que le champ électrique est radiale.
Nous remarquons bien ici qu’il s’agit de l’équation en régime stationnaire, car en régime non stationnaire nous aurons un terme provenant du champ magnétique qui rendra le champ électrique à rotationnel non nul.
1.3 Champs électrique de quelques systèmes de charges
Dans cette section, nous verrons comment il est possible d’exploiter le théorème de Gauss pour calculer simplement le champ électrique généré par certaines configurations de charge particu-lières. Cependant, la simplicité d’application du théorème de Gauss ne doit pas tromper. Le théo-rème de Gauss est très utile en cas de symétries spéciales mais pas en présence de configurations complexes de charges.
4. C’est parce que dans ces cas le champ électrique présente des points anguleux.
1.3 - Champs électrique de quelques systèmes de charges 9 Ces configurations peuvent naturellement être résolues simplement par intégration directe, mais nous préférons utiliser ici une approche plus “raisonnée” afin de montrer comment les principes de base peuvent être appliquées à des cas concrets.
1.3.1 Points d’équilibre dans un champ électrostatique
La première question à se poser est de savoir si une configuration d’équilibre stable est possible dans un champ électrostatique.
La réponse est non. En effet, dire que le pointP0est un point d’équilibre stable pour le champ électrostatique généré par une certaine configuration de charge signifie deux choses :
— le champ électrique enP0doit être nul (être un point d’équilibre)
— le champ électrique en tout point proche deP0doit pointer versP0, car pour chaque dépla-cement d’une charge le champ doit être tel qu’il ramène la charge versP0.
Mais si on considère une surface S incluant P0, l’intégral du champ électrique sur cette surface ne peut pas être nul car le champ est toujours dirigé vers l’intérieur deS. S’il n’y a pas de charge au point d’équilibre P0 alors le théorème de Gauss est violé, P0 ne peut donc pas être un point d’équilibre.
Par rigueur logique, il serait possible d’avoir une distribution de charge dansStelle queP0soit un point d’équilibre. Mais cette distribution de charges doit être maintenue en position par des forces autres qu’électriques (mécaniques, par exemple), par conséquent une position d’équilibre doit être garantie par des forces électriquesetmécaniques.
1.3.2 Fil infini chargé
Considérons un fil infini chargé dont la densité de charge linéaire soitλ.
Compte tenu de la symétrie du problème, supposons que le champ soit dirigé radialement vers le fil, car pour chaque contribution de charge le long du fil dans une direction, il y aura une contri-bution égale dans la direction opposée. Dans ce cas, le champ ne peut que être radial.
Considérons ensuite une surface cylindrique de Gauss de rayonrcoaxiale au fil et de longueur unitaire. Le champ étant radial, la contribution au flux provenant des deux bases du cylindre est nulle, tandis que le champE~ est perpendiculaire à la surface latérale du cylindre et donc le flux est égal au produit deEpour la surface du cylindre :
2πrE= λ
ε0 ⇒ E= λ
2πε0r (1.10)
le champ électrique diminue dans ce cas de façon inversement proportionnelle à la distancer.
1.3.3 Plan infini uniformement chargé
Considérons maintenant un plan infini uniformément chargé ayant densité de charge superfi-cielleσ. S’il n’y a pas d’autres charges, on peut supposer que le champ électrique est normal à la surface et le même de chaque côté de la surface.
Dans ce cas, la surface gaussienne sera un parallélépipède qui coupe la surface. Soit la surface des deux faces parallèles au plan chargéA.
De l’hypothèse que le champ électrique est normal à la surface suit que la contribution au flux des surfaces latérales du parallélépipède est nulle car elles sont parallèles au champ électrique. Le théorème de Gauss s’écrit donc :
EA+EA= σA ε0
en effet, le champ électrique de deux côtés est dirigé selon la normale sortante de la surface et donc les contributions au flux ont le signe concordant. Il s’ensuit que le champ électrique d’un plan infini ayant densité de charge superficielleσest :
E= σ 2ε0
comme on peut le voir, dans ce cas le champ est constant dans tout l’espace.
1.3.4 Deux plaques parallèles chargées
Le résultat précédent nous permet de calculer facilement le champ électrique de deux plaques infinies l’une à côté de l’autre ayant densité de charge opposéeσet−σ.
Comme vu dans le cas précédent, si la densité estσ le champ est normal à la surface et sortant (concorde à la normale, représentée ici en rouge). Dans le cas de densité de charge−σle champ est toujours perpendiculaire à la surface, mais cette fois-ci est discordant par rapport à la normale, puisqueentrant(en bleu). En conséquence, dans la région entre les deux plaques le champ est la somme (la contribution sortant de la surfaceσs’ajoute à la contribution entrant dans la surface−σ), tandis qu’à l’extérieur les deux contributions s’annulent exactement car le champ généré par une plaque est constante. Le fait que le champ extérieur est égal à zéro peut être déduit directement du théorème de Gauss en choisissant un parallélépipède qui entoure les deux surfaces. Le champ est alors nulle car les charges internes à la surface sont nulles (les charges positives d’un plaque sont annulées par les charges négatives de l’autre plaque).
Il s’ensuit donc :
E =
σ ε0
all’interno 0 all’esterno
(1.11)
1.3.5 Sphère uniformément chargée en volume
Supposons maintenant une sphère uniformément chargée de rayonR, densité de charge ̺et charge totaleQ. Ici, nous devons distinguer deux cas :r < Retr > R.
Dans le casr > R, considérons la surface de Gauss comme une sphère concentrique avec notre sphère chargée. Pour la symétrie du problème, le champ électrique doit être radial et donc perpen-diculaire en chaque point à la surface de Gauss. Il s’ensuit que le théorème de Gauss s’écrit :
E·4πr2= Q
ε0 ⇒ E= 1
4πε0
Q r2
Si par contrer < R, nous sommes a l’intérieur de la sphère donc la charge incluse par la surface de Gauss est4/3πr3̺, d’où le théorème de Gauss :
4πr2E= 4 3πr3 ̺
ε0 ⇒ E= ̺
3ε0
r et donc :
E=
1 4πε0
Q
r2 Champs externe
̺
3ε0r Champs interne
(1.12)
Comme vous pouvez le voir, en dehors de la sphère le champ électrique est identique à celui d’une charge ponctuelle située au centre de la sphère. Le champ électrique dans la sphère croît linéaire-ment avec le rayon de la sphère. Tenant compte du fait que̺= 3Q/4πε0r3il est simple de vérifier que les deux solutions coïncident àr = R, qui représente cependant un point anguleux pour le champ électrique.