conduc-teurs, grâce au principe de superposition nous savons que chaque conducteur contribuera à la circulation avec un termenm0I. En conséquence, la valeur de la circulation du champ d’induction magnétique dans le cas général est donnée par :
I
B~ ·dl~ =X
i
niµ0Ii
(ni=dégrée de concaténation du conducteur i-ème
Ii =courant du conducteur i-ème (5.10)
où les courants doivent être pris avec le signe positif ou négatif selon qu’ils voient la lignelcirculer dans le sens anti-horaire ou dans le sens horaire, respectivement.
Le fait que la circulation du champB~ ne soit pas défini de manière unique ne doit pas être surprenant. En fait, nous savons que le champ d’induction magnétique n’est pas conservateur.20 Et, par conséquent, le travail effectué dépend du chemin choisi.
Nous voulons maintenant formuler cette propriété deB~ sous forme locale. Pour ce faire, suppo-sons que nous n’avions qu’un seulIet considérons toute surfaceSavec la lignelcomme frontière.
Dans cette situation, la surfaceSintercepte le fil parcouru par le courantIune fois. Supposons que Ssoit orienté de manière à voir le bord circulaire dans le sens anti-horaire, de sorte que le courant Isera positif.
À partir de la définition (4.4) de densité de courant, nous pouvons alors écrire :21 I B~ ·dl~ =µ0
Z
S
J~·dS~
Nous pouvons maintenant appliquer le théorème de Kelvin-Stokes au premier membre, en
obte-nant : I
B~ ·dl~ = Z
S
∇ ×~ B~ ·dS~ =µ0
Z
S
J~·dS~
et comme il doit évidemment être valable pour chaque surfaceS, il en résulte (quatrième équation de Maxwell en régime stationnaire) :
∇ ×~ B~ =µ0J~ (5.11)
Il n’est pas étonnant que le rotationnel soit différent de zéro. En fait, le fait que le rotationnel s’an-nule est l’expression locale du fait que le champ de vecteur est radial, ce qui n’est évidemment pas le cas du champB~ en raison de la forme particulière de la force de Lorentz.
Il est utile de noter que dans les conditions de validité du théorème de Schwarz la divergence d’un rotor est nulle, dans ce cas la relation est vérifiée :
∇ ·~ (∇ ×~ B) =~ µ0∇ ·~ J~= 0
et donc pour que l’(5.11) soit valide doit être∇ ·~ J~= 0. Si nous nous souvenons de l’équation de continuité (4.6), nous voyons que cette condition est satisfaite dans le cas stationnaire.22 Mais sur la base de l’équation (4.6), nous pouvons en déduire que l’équation (5.11) n’est valide que dans le cas stationnaire, car le fait que∇ ·~ J~ 6= 0en conditions non stationnaires conduira à l’ajout d’un terme à la (5.11).
5.4 Potentiels magnetostatiques
Comme nous l’avons vu pour le champ E, les deux équations (5.8) et (5.11) déterminent de~ manière unique le champ B. Cependant, à moins qu’il ne s’avère également que~ ∇ ·~ J~ = 0, le
19. L’angle va de 0 àθsur la lignel1, mais deθà 0 sur la lignel2, où il revient en arrière 20. Cela vient du fait que la force de Lorentz n’est pas centrale, comme on le voit.
21. Nous pouvons intégrer sur toute la surfaceS, carJ~donne une contribution non nulle seulement à l’intérieur du fil conducteur.
22. C’est-à-dire∂̺∂t= 0.
champB~ n’a pas rotationnel nul et n’est donc pas conservatif. Cela implique qu’il n’est pas possible d’introduirede façon généraleun potentiel scalaire tel que∇~φ=B.~
Cependant, grâce au fait queB~ est solénoïdal et que par conséquent sa divergence est identique à zéro et en se basant sur la relation vectorielle pour laquelle le rotationnel d’une divergence est toujours nul,23 il est possible de définir un potentiel tel que son rotationnel soit le champB. Ce~ potentiel s’appellepotentiel vecteur.
Il convient de noter que l’existence de monopoles magnétiques rendrait l’équation (5.8) invalide et qu’il ne serait donc pas possible de définir un potentiel vecteur tel qu’il sera fait ici.
5.4.1 Potentiel scalaire
Comme nous le savons, nous pouvons introduire un potentiel scalaire que pour un champ ir-rotationnel, ce qui n’est pas le cas du champB. Cependant, d’après la (5.11) nous voyons que la~
“rotationnalité” du champ est concentrée dans les conducteurs parcourus du courant. Par consé-quent, il est légitime se demander s’il ne serait pas possible de trouver un potentiel scalaire en excluant la région où∇ ×~ B~ 6= 0.
Cela revient à dire que dans cette région le champ d’induction magnétique est conservatif.
Rappelons-nous qu’un champ est conservatif si l’intégrale de ligne le long d’une courbe fermée est égale à zéro quelle que soit la ligne choisie, condition qui n’est généralement pas satisfaite par le champB.~
Les mathématiques nous garantissent qu’un champ conservatif est nécessairement irrotationnel, mais pas l’implication inverse. La condition que le rotationnel s’annulle n’est qu’une condition suffisante. Si nous voulons que le champ soit conservatif, nous allons devoir ajouter une condition sur le domaine de définition :
∇ ×~ B~ = 0inΩ Ωsimplement connexe )
⇒B~ est conservatif enΩ
Le fait que le domaine doit être simplement connexe signifie que toutes les courbes fermées au sein du domaineΩdoivent pouvoir se réduire à un point tout en restant dans le domaine. Dans le cas tridimensionnel, cela signifie que nous pouvons éliminer une sphère de notre domaine,24mais pas un ensemble de “tuyaux” comme pourrait l’être une ensemble de fils conducteurs. Dans ce cas les courbes fermées ne peuvent pastoutesêtre réduites à un point avec continuité : chaque courbe qui concatène le circuit ne bénéficie pas de cette propriété.
Nous avons donc deux possibilités pour rendre le champB~ irrotationnel :
— nous pouvons exclure du domaine une sphère qui inclut complètement le circuit : le domaine de définition est donc simplement connexe et l’annulation du rotationnel garantit que le champ est conservatif, selon les mêmes considération que nous avions faites pour le champ électrostatique E. Le potentiel scalaire magnétostatique défini de cette façon aura donc les~ mêmes propriétés que le potentiel électrostatique et par conséquent B~ est conservatif et le travail ne dépend plus du chemin choisi.
— nous pouvons exclure uniquement la région du circuit pour laquelleJ~ 6= 0. Il ne sera pas possible alors de définir un potentiel au sens du potentiel électrostatique, mais il est toujours possible de définir un potentiel statique. Comme nous le verrons bientôt,ce potentiel dépendra cependant du chemin choisi.
Dans ce qui suit, nous choisirons le cas le plus général et donc nous suivrons la deuxième pos-sibilité. Nous émettons donc l’hypothèse que le champ B~ puisse en réalité être écrit en tant que gradient d’un potentiel scalaireB~ =−∇~φ(25) et multiplier par un décalage infiniment petitd~x:
B~ ·d~x=−∇~φ·d~x
23. Dans les conditions de validité du théorème de Schwarz.
24. Dans ce cas, chaque courbe peut être réduite à un point en contournant la sphère.
25. Le signe negatif est ici pour garder l’analogie avec le champ électrostatique.
5.4 - Potentiels magnetostatiques 97 De la définition de gradient il s’écoule que∇~φ·d~x=dφ, à savoir le différentielle exacte de la fontion potentiel. Nous obtenons ainsi le champB~ qui en dérive par la (5.5) :
−dφ= µ0I
oùdl~ sont les coordonnées linéaires qui identifient le circuit (sous intégrale) etdx~ représente le dé-placement infiniment petit. Or, un mouvement dedx~ au point où nous calculons le champ équivaut à déplacer le circuit de−ds~ selon le même raisonnement que dans §1.4 :
ds~ et de la proprieté du produit vectoriel mixte :
~v1×~v2·~v3=~v3×~v2·~v1=−~v2×~v3·~v1
maisdl~ ×ds~ correspond à l’élément de surface balayé pardl~ lors du déplacementds~ et que nous avons indiqué pardA, donc :~
dA~ ·(−∆~r)est l’élément de surfacedAprojeté sur la direction∆~r et par conséquent l’élément de surfacedAnperpendiculaire à∆~r.
−dφ= µ0I 4π
"I dA~n
|∆~r|2
#
l’intégrant représente l’angle solide sous lequel est vu la surfacedAnà partir du pointP. Par consé-quent, son intégrale représente la variation d’angle solide inversée de signe (en raison du signe moins dans−∆~r) sous lequel est vue la zone balayée par l’ensemble du circuit dans son déplace-ment vu depuisP:
rappelons-nous maintenant que−dφ=B~ ·d~xe la (5.10), l’integrale s’écrit donc :
−φ=
c’est-à-dire :26
φ=−µ0I
4π (Ω +n4π)
Le potentiel scalaire magnétostatique en un point générique P est donc proportionnel à l’angle solide sous-tendu par le circuit vu du pointP. Si le domaine est simplement connexe ou si nous excluons une sphère contenant tout le circuit, le degré de concaténation estn= 0et le potentiel est réduit à la formeφ=−µ4π0IΩ.
Si au lieu de cela nous sommes dans le second cas, c’est-à-dire que nous excluons uniquement le circuit du domaine et que celui-ci n’est plus simplement connexe, nous devons alors prendre en considération le fait que la courbe peut être concatenée au circuit. Chaque tour de courbe autour du circuit apporte alors une contribution de4π(27) au potentiel statique.
Dans un domaine non simplement connexe, le potentiel magnétostatique n’est plus une fonction monodrome des coordonnées et prend des valeurs différentes en fonction du chemin choisi. Même si ce potentiel n’a pas de valeur bien définie à aucun endroit de l’espace, le champB, qui est le~ seul observable physiquement, est toujours bien déterminé car le potentiel diffère d’une valeur constante et donc son gradient est nul :
B~ =−∇~φ=−∇~
−µ0I
4π (Ω +n4π)
= µ0I 4π∇~Ω
D’un pointP assez éloigné du circuit, l’angle sous-tendu correspond à la projection sur la nor-male de la surface du circuit, c’est-à-dire :
Ω≃ −S~·~r r3 il s’ensuit :
φ= µ0I 4π
S~·~r r3 ≡ µ0
4π
~ m·~r
r3 (5.12)
où nous avons défini la quantitém~ =I ~S. Ce résultat nous reviendra utile dans §5.5.
5.4.2 Potentiel vecteur
Si nous recherchons un potentiel qui n’a pas les limitations du potentiel scalaire et qui est donc valable en général dans toute l’espace, nous devons utiliser un autre point de vue.
Pour le potentiel statique, nous partions de l’idée que l’irrotationnalité du champ d’induction magnétique ∇ ×~ B~ = 0nous garantissait l’existence d’une fonction scalaire telle que −∇~φ = B.~ Cette condition, cependant, n’est pas valable partout.
Afin de définir un autre type de potentiel nous partirons de l’observation suivante, que∇·~ B~ = 0 est valide toujours et dans toutes les conditions. Nous savons d’après l’analyse vectorielle que la divergence d’un rotationnel est identiquement nulle,28si nous pouvons donc trouver une fonction A~telle que∇ ×~ A~=B, alors la deuxième équation de Maxwell est automatiquement vérifiée :~
B~ =∇ ×~ A~ ⇒ ∇ ·~ B~ =∇ ·~ ∇ ×~ A~≡0
Le champA~ est appelépotentiel vecteur. En termes de potentiel vecteur, la quatrième équation de Maxwell dans le cas stationnaire (5.11) devient :
∇ ×~ B~ =∇ ×~
∇ ×~ A~
=µ0J~ or, d’après l’analyse vectorielle :
∇ ×~
∇ ×~ A~
=∇~
∇ ·~ A~
− ∇2A~
26. La constante d’intégration peut être mise à zéro en imposant que le potentiel soit nul à l’infini.
27. C’est-à-dire, un tour complet d’angle solide.
28. Toujours dans les hypothèses du théorème de Schwarz.
5.4 - Potentiels magnetostatiques 99 L’équation :
∇~
∇ ·~ A~
− ∇2A~=µ0J~
peut être grandement simplifié si on remarque que la relation∇ ×~ A~=B~ ne définit pas de manière univoque le champB. Puisque le rotationnel d’un gradient est identiquement nul, chaque potentiel~ vecteur de la forme :
A~′ =A~+∇~f ⇒ ∇ ×~ A~′ =∇ ×~ A~ =B~ correspond au même champ induction magnétiqueB.~
Les transformations de jauge
Nous savons par l’analyse mathématique qu’une fonction admet en réalité un nombre infini de primitives, car l’intégrale indéfinie d’une fonction est définie à une constante près. Cela est évident, car sif′(x)est le dérivé def(x), alors toutes fonctionsf(x) +cauront le même dérivée f′(x).
La définition de potentiel implique que le champ soit calculé par des combinaisons particu-lières d’opérations dérivées. Il ne faut donc pas s’étonner du fait qu’ils existent plusieurs poten-tiels qui produisent le même champ après une opération de gradient ou de rotor.
Comme on peut le voir dans le cas du vecteur potentiel A, par exemple, tout ajout d’une~ fonction dont le rotationnel est nul entraîne l’apparition du même champB. Étant données que~ le rotationnel d’un gradient est identiquement nul, écrire le potentiel vecteur sous la formeA~′= A~+∇f~ assure automatiquement que le champB~ est le même. Le potentiel vecteur n’est donc pas déterminé de manière univoque, mais à une “constante” près sans affecter la physique qui, quant à elle, est contenue dans les champs.
Par conséquent, le point à retenir est que l’on peut choisir la forme du potentiel qui convient le mieux pour les calculs sans pour autant modifier la physique. Cette transformation d’un potentiel à un autre s’appelletransformation de jauge. En réalité, d’un point de vue physique le choix de la transformation à utiliser implique l’ajout de conditions supplémentaires au potentiel, conditions qui, si elles sont correctement choisies, permettent de simplifier les équations ou d’en mettre en évidence certaines caractéristiques particulières.
En électromagnétisme, quatre transformations de jauge possibles existent : 1. La jauge de Coulomb : consiste à imposer∇ ·A~= 0
2. La jauge de Lorentz : consiste à imposer la condition∇ ·~ A~+1c∂φ∂t = 0 3. La jauge de Weyl ou temporelle : consiste à imposerφ= 0
4. La jauge de rayonnement : elle consiste à imposer la jauge de Coulomb plus la jauge tempo-relle.
mis à part la première que nous utiliserons immédiatement, nous verrons l’importance des autres transformations lorsque nous parlerons de champs électromagnétiques et d’ondes.
Nous remarquerons dès à présent que le concept de transformation de jauge est très important en physique, car il se révèle lié aux symétries du système examiné.
Revenons maintenant à la quatrième équation de Maxwell dans le cas stationnaire :
∇~
∇ ·~ A~
− ∇2A~=µ0J~
et essayons de le simplifier en appliquant la jauge de Coulomb. Pour ce faire, nous appliquons la divergence au potentielA~′:29
∇ ·~ A~′=∇ ·~ A~+∇2f
Donc si nous choisissonsf de façon à avoir∇2f =−∇ ·~ A, alors~ A~′satisfera la jauge de Coulomb et la divergence sera nulle. Dans ce cas l’équation est réduite à :
∇2A~ =−µ0J~ (5.13)
29. Rappelons-nous que la divergence d’un gradient est équivalente au laplacien.
dont la solution pour les trois composants est formellement identique à la (1.4) :