1.5 Développement multipolaire
2.1.1 Champ électrostatique et distributions de charges
En électrostatique, nous considérons toujours des quantités constantes dans le temps ou sta-tiques. Si vous immergez un conducteur dans un champ électrique,1les charges vont commencer à se déplacer sous l’action du champ jusqu’à atteindre une configuration telle d’annuler le champ électrique à l’intérieur du conducteur. Concrètement, puisque les charges sont libres de se déplacer dans le conducteur la seule façon d’être en régime statique est que le champ électrique à l’intérieur du conducteur soit nul.En électrostatique, le champ électrique à l’intérieur des conducteurs est nul et donc les conducteurs représentent des surfaces équipotentielles.
Puisque le champ électrique à l’intérieur du conducteur est nul, le théorème de Gauss (1.7) ap-pliqué à n’importe quelle surfaceΣà l’intérieur du conducteur permet d’établir que la charge à l’intérieur de la surface sélectionnée est nulle. Mais la surface est arbitraire, donctoutes les charges éventuellement présentes dans un conducteur sont disposées à sa surface.
b b b
b
b
b
b b Σ
Par conséquent, ce qui se passe en pratique est que si nous immergeons le conducteur dans un champ électrique, les charges libres se déplaceront sous l’action du champ électrique jusqu’à ce qu’elles atteignent la surface du conducteur d’où elle ne pourront pas sortir.2 Lors qu’elles sont à la surface, elles se distribueront de façon telle à créer un contre-champ électrique qui annule le
1. Constante parce que nous sommes en régime électrostatiques. Un champ variable génère toute une autre série de phénomènes, que nous traiterons plus avant.
2. Pour extraire les charges du conducteur il est nécessaire de faire un travail contre les forces qui les empêchent de sortir du conducteur, appelétravail d’extraction.
champ existant à l’intérieur du conducteur. Le champ électrique à l’intérieur du conducteur est donc nul et il n’y a plus de mouvement de charges.
bbb bbb
E~ = 0 E~externe
Le temps de redistribution des charges est très court (environ10−19s) et les charges sont réparties sur une épaisseur de 1-2 Ångstrom.
Il est également facile de déduire que le champ électrique près de la surface doit être perpendi-culaire à celle-ci. S’il existait une composante tangentielle, les charges pourraient encore se déplacer le long de la surface, mais nous ne serions plus en régime électrostatique. Doncen champ électrosta-tique, près d’un conducteur le champ est normal à la surface. Ce résultat peut être trouvé analytiquement en calculant la circulation le long du chemin montré sur la figure.
E~ = 0
~dl
−~dl
Si les segments normaux à la surface de séparation sont infinitésimaux d’ordre supérieur àdl~ (ce qui arrive dans la limite de ces segments tendant à zéro), alors la circulation du champ électrique calculé le long du chemin montré est :
E~ext·dl~ −E~int·dl~ = 0 ⇒ Eextt dl−Eintt dl= 0
oùEtest la composante tangentielle à la surface de séparation. De cette rélation s’ensuit : Eextt =Eintt
à savoir quela composante tangentielle du champ électrique ne peut pas subir de discontinuité en passant d’un milieu à un autre. Dans le cas particulier où le matériel est un conducteur, il en résulte immédia-tement quela composante tangentielle du champ électrique à la surface extérieure du conducteur est nulle, donc le champ est normale à la surface.
La composante normal à la surface de séparation peut au contraire varier et ceci est évident dans le cas d’un conducteur. Dans ce cas, en effet, la composante normale passe de la valeur 0 à l’intérieur du conducteur à la valeur non nulle qu’elle a à l’extérieur. La transition entre les deux valeurs se fait directement sur la surface où, comme nous l’avons vu, les charges électriques sont concentrées.
Grâce au théorème de Gauss, nous pouvons calculer la valeur de la densité de charge à la surface d’un conducteur. SoitQla charge totale sur le conducteur etσsa densité superficielle. Considérons comme surface gaussienne un cylindre à moitié à l’intérieur de la surface conductrice.
2.1 - Distribution des charges dans le conducteurs 19
dS E~
Puisque le champ électrique à l’intérieur du conducteur est nul et les surfaces parallèles au lignes de champs ne contribuent pas au flux, le théorème de Gauss s’écrit :
E~ ·dS~ = σdS ε0
car la portion de charge intercepté par le cylindre estσdS. Il s’ensuit que le champ électrique est : E~ = σ
ε0
ˆ
n (2.1)
ayant indiquénˆ la normale à la surface. Remarquons que dans §1.3.3 nous avions trouvé pour le champ d’un plan chargé la valeur 2εσ
0n. Pourquoi le champ créé par la surface d’un plan chargéˆ est la moitié de celle produite par un conducteur, même dans la limite où la surface peut être considérée comme étant un plan? La réponse est qu’ici nous n’avons pas précisé qu’il n’y a pas d’autres charges autour. En fait afin d’assurer la condition E = 0 à l’intérieur du conducteur d’autres charges doivent exister.
La surface du conducteur génère en fait un champ 2εσ
0, mais les autres charges du conducteur sont disposées de telle sorte qu’à l’intérieur du conducteur il y a un champ 2εσ
0, qui annule le champ−2εσ0 créé par la surface du conducteur. Ce champ s’ajoute à l’extérieur en contribuant pour
σ 2ε0 +2εσ
0 =εσ
0.
Il est possible de déduire trois phénomènes à partir des caractéristiques du champ électrosta-tique, des phénomènes d’une importance pratique considérable.
INFLUENCE TOTALE ÉLECTROSTATIQUE
Considérons un conducteur creuxS à l’intérieur duquel nous plaçons un conducteurS′ ayant une chargeQ.
b b b
b
b
b
b b b b bb
b
bb b b b b
b
b
b
b b
S
Σ
S′
Considérons une surfaceΣfermée à l’intérieur du conducteur creuxS. Puisque le champ électrique enS est nul, le flux est nul et donc en est autant pour la charge. Mais la surfaceΣpeut être prise arbitrairement près de la surface interne de la cavité, par conséquent sur la surface interne du conducteur doit être présent (par “influence” électrostatique) une charge égale à−Q.
La surfaceΣpeut également être prise arbitrairement près de la surface extérieure du conduc-teurS. Étant ceci électriquement neutre une chargeQdoit donc être présente sur la surface externe.
La chargeQsur le conducteur interne se présente donc telle quelle sur le conducteur externe, qui n’est pas capable de la cacher. Ce phénomène est appeléinfluence totale électrostatique.
Si le conducteur externe estmis à terre, c’est-à-dire il est connecté avec un très grand conducteur capable d’absorber un grand nombre de charges sans varier son potentiel (par exemple la Terre), les charges positives du conducteurS pourront migrer vers celui-ci (et de la sphère on dit qu’elle se "décharge"). Dans ce cas, la charge du conducteur interne ne sera plus visible à l’extérieur et le champ électrique du conducteur intérieur sera caché. Dans ce cas, le conducteurSagit comme un écran électrostatique.
ÈCRAN ÉLECTROSTATIQUE
Considérons un conducteur, le champ électrique à l’intérieur est nul comme vu ci-dessus. Si le conducteur est creux, quel est le champ à l’intérieur de la cavité ?
Considérons une zoneS à l’intérieur du conducteur. Puisque le champ intérieur est nul, il se localise sur la surface et par conséquent le flux à traversSest aussi nul. Il résulte donc du théorème de Gauss qu’à l’intérieur de la surfaceSil n’y a pas de charges.
En théorie, il serait possible d’obtenir un nombre égal de charges positives et négatives sur la surface interne de la cavité, de manière à satisfaire le théorème de Gauss et simultanément créer un champ électrique non nul dans la cavité. Cependant, si c’était le cas les charges pourraient se dépla-cer à l’intérieur du conducteur et s’annuler mutuellement. Ceci peut être démontré analytiquement en utilisant le théorème de la circulation.
Considérons une courbeΓcomme indiqué en figure, qui est en partie contenu dans le conduc-teur. L’intégrale le long de la ligneΓ:
I E~ ·dΓ = I
conducteur
E~ ·dΓ + I
cavité
E~·dΓ
L’intégrale de la partie incluse dans le conducteur est 0 car le champ ici est nul. Si le champ à l’intérieur de la cavité n’était pas nul, la contribution de l’intégrale serait différente de zéro et serait
donc : I
E~ ·dΓ6= 0
ce qui contredirait le fait que la circulation du champ électrostatique est toujours nulle. Ainsi,dans une cavité vide à l’intérieur d’un conducteur, le champ électrostatique doit être nul.
Ces deux cas nous permettent de conclure queun conducteur – à la limite en forme de cage (cage de Faraday) – qui est mis à terre agit comme un bouclier électrostatique, isolant de l’extérieur tout ce qui se passe dans la cavité interne.
EFFET DE POINTE
Nous discuterons maintenant du champ électrique autour des pointes d’un conducteur. Dans ce cas le champ électrique autour de la pointe sera très intense, ce qui est intuitif. En effet, dans un
2.1 - Distribution des charges dans le conducteurs 21 conducteur les charges ont tendance à se déplacer aussi loin que possible de toutes les autres, et la pointe est la partie du conducteur qui est la plus éloignée de tout le reste. Plusieurs charges auront donc tendance à s’accumuler sur la pointe, où (étant la surface réduite) même une petite charge peut produire une densité de charge élevée et donc un champ électrique élevé.
Nous voyons cela analytiquement.
Q,R1
q,R2
Une pointe peut être représentée schématiquement avec deux sphères de rayon différent reliées par un fil conducteur qui les maintient au même potentiel. La plus grande des sphère a un rayon R1et la plus petiteR2.
La plus grande sphère a une chargeQet un potentiel donné par :3 φ1= 1
4πε0
Q R1
de même pour la sphère plus petite, dont la charge soitq: φ2= 1
4πε0
q R2
puisqueφ1=φ2, il s’ensuit : 1 4πε0
Q R1 = 1
4πε0
q R2 ⇒ Q
R1 = q R2
d’autre part nous avons déjà vu que le champ à la surface est proportionnelle à la densité de charge superficielle, qui est quant à elle proportionnelle à la charge totale divisée par le rayon au carré.
Nous avons donc :
E1
E2
= Q/R21 q/R22 = R2
R1
le champ électrique est donc inversement proportionnel au rayon des sphères. Puisque le raison-nement peut être appliqué aux sphères osculatrices, on peut en déduire quele champ électrique est plus intense là où la courbure est mineure, donc à proximité d’une pointe cela peut devenir très fort, jusqu’à pouvoir provoquer une décharge.