Considérons maintenant la quatrième équation de Maxwell (5.11) et séparons le composant du courant dû aux conducteurs et le composant provenant des courants atomiques et explicitant ce dernier par moyen de la (6.2) :13
∇ ×~ B~ =µ0~j =µ0(J~+~jmag.) =µ0(J~+∇ ×~ M~) =µ0~j+µ0∇ ×~ M~ qui peut être écrite dans la forme suivante :
∇ ×~ B~ −µ0∇ ×~ M~ =J~ ⇒ ∇ × B~ −µ0M~ µ0
!
=J~ Définissantvecteur champ magnétiqueH~ le terme :
H~ ≡ B~ −µ0M~
µ0 (6.3)
nous remarquons que sous la formeB~ = µ0(H~ +M~)nous mettons en évidence le fait que l’in-duction magnétique est due à deux contributions : la première provenant du champ magnétique dans la matière et l’autre par l’aimantation de la matière elle-même. En termes plus précis,le champ d’induction magnétiqueB, qui apparaît dans l’écriture de la force agissant sur les charges, est composé d’une~ contributionM~ due à la magnétisation de matière et une contribution des courants libresH~.
En termes deH~, la quatrième équation est réécrite comme suit :
∇ ×~ H~ =J~
et les équations de la magnétostatique dans la matière deviennent formellement identiques à celles
du vide :
∇ ·~ B~ = 0
∇ ×~ H~ =J~
Même s’ils ont les mêmes dimensions physiques (ils se réfèrent à la même quantité physique)B~ et H~ utilisent pourtant des unités de mesure ayant des noms différents. On dit donc que le champB~ est mesuré en Tesla et le champH~ est mesuré en Ørsted, même si les deux unités correspondent en réalité à Weber/m2.
Nous pouvons écrire pour le champ H~ une relation similaire à la (5.10). Pour ce faire, nous calculons le flux deJ~à travers d’une surface génériqueSet en utilisant le Théorème de Stokes sur
le deuxième membre : Z
S
J~·dS~ = Z
S
∇ ×~ H~ = I
l
H~ ·dl~
13. Nous indiquons avecJ~le terme indiqué précédemment avec~jcond., le courant dans les conducteurs, afin de simplifier la notation.
6.3 - Les équations de la magnétostatique dans la matière 119 mais l’intégraleR
SJ~·dS~ correspond à la somme des courants entrant dans la surfaceS, donc : I
l
H~ ·dl~ = XN
i=1
Ii (6.4)
Il est évident que pour le champH~ le raisonnement qui nous a amenés à conclure que la circulation ne dépend pas de la surfaceSchoisie, mais seulement du contourlqui le définit, garde sa validité.
Comme pour les diélectriques, les équations que nous avons écrites s’appliquent à toutes les ré-gions mais ne peuvent pas être étendues à tout l’espace car il y a des discontinuités sur les surfaces de séparation. Il est donc nécessaire d’associer ces équations aux conditions au limites tel que nous l’avons fait pour le champ électrique dans les diélectriques.
dS B~1
B~2
µ1
µ2
~dl
−~dl H~1
H~2
µ1
µ2
θ1
θ2
En gardant à l’esprit que le flux deB~ à travers une surface est nul et queH~ le long d’une ligne fermée qui n’inclut pas les courantsB~ et aussi nul, on obtient des relations :
Φ(B) =~ dS ~B1·nˆ1+dS ~B2·ˆn2=dSB⊥1−dSB⊥2=dS(B⊥1−B⊥2) = 0
oùB⊥indique la composante perpendiculaire à la surfacedS, parallèle à la normalenˆet en tenant compte du fait que les deux normales sont orientées en sens inverse (si le vecteurB~2entre dans le cylindre alorsB~1 en sort). De cette relation, nous obtenons que la composante deB~ normale à la surface ne souffre pas de discontinuité.
Considérons maintenant le chemin fermé représenté dans la figure de droite, dont les segments latéraux sont infinitésimaux d’un ordre supérieur. Selon le raisonnement précédent, comme la cir-culation doit être nulle, il s’ensuit que la composante parallèle du champ électrique ne subit pas de discontinuité :
H~ ·dl~ −H~ ·dl~ = 0 → Hk1dl−Hk2dl= 0 → Hk1=Hk2 (6.5) autrement dit que à travers la surface de séparation de deux diélectriques la composante parallèle à la surface du champ magnétique ne subit pas de discontinuité.
Nous remarquons maintenant que dans les matériaux qui ne sont pas des aimants permanents, le champ de polarisation magnétiqueM~ parallèle au champ appliquéB~ et proportionnel à celui-ci et par conséquent l’équation (6.3) nous dit queB~ etH~ sont proportionnelsB~ =µ ~H, oùµprend le nom deperméabilité magnétique. Il suit :
Hk1=Hk2→ Bk1 µ1 =Bk2
µ2 .
Le rapport de la tangente et de la composante perpendiculaire nous donne l’angle qui forme le vecteurB~ par rapport à la normale à la surface, d’où la loi de réfraction pour le champB.~
Bk1
B⊥1
B⊥2
Bk2
=tanθ1
tanθ2
= µ1
µ2
La constante de perméabilité magnétique est souvent exprimée en termes de la constante de per-méabilité magnétique du videµ=µrµ0, oùµrest un paramètre adimensionnel appeléconstante de
perméabilité magnétique relative. Dans le videµr= 1, dans l’air la valeur est pratiquement la même : µr= 1.00000037.
Si l’un des deux élément est l’air, alors appeléθ0l’angle d’incidence par rapport à la perpendi-culaire du champB~ la relation précédente est simplifiée de la façon suivante :
tanθ0
tanθ = µ0
µ = 1
µr ⇒ tanθ=µrtanθ0
Il est possible de créer des matériaux avec une perméabilité magnétique élevée et cela conduit à un certain nombre de propriétés intéressantes. A titre d’exemple, nous présentons un tableau succinct des quelques matériaux qui présentent la perméabilité relative la plus élevée.
Matériel µr
Nichel 100→600 Ferrite >640 Permalloy 8000 Mu-metal 50000 Nanoperm 80000
Metglas 106
Considérons une surface de séparation air/métal et un angle d’incidence de 5◦. tanθ=µrtanθ0= 50000×tan 5◦= 50000×0.0875 = 4374
ce qui correspond à un angle de 89,98◦. Comme le montre la figure suivante, cela signifie que les lignes de champ magnétique dans un matériau à haute perméabilité sont pratiquement parallèles à la surface de séparation et cela indépendamment de l’angle d’incidence sur la surface (l’effet est en réalité beaucoup plus marqué que dans la figure) :
µ0
µ
Le fait que dans les matériaux hautement perméables les lignes de champ magnétique soient pratiquement parallèles à la surface de séparation implique également que le champ magnétique reste confiné dans le matériau. Si le matériau a la forme d’un tube ou présente une cavité interne, le champ magnétique est absent ou très faible dans l’espace interne :
B~
C’est sur ce principe qui sont basés les écrans magnétiques, utilisés par exemple en physique des particules.14. Sur ce principe est également basée la théorie des circuits magnétiques, de la quelle nous ne parlerons pas en ce cours.
14. Un écran cylindrique en mu-métal est utilisé par exemple systématiquement pour protéger les photo-multiplicateurs afin d’empêcher les champs magnétiques externes d’affecter les trajectoires des électrons.