Capacité électrique

2.2.1 Capacité d’un conducteur isolé

Considérons un conducteur isolé dans l’espace. Si nous chargeons le conducteur avec une charge q1, elle se placera à sa surface selon une densité de charge superficielleσ(x, y, z). Le champ élec-trique créé est proportionnel à la chargeq1, comme vu dans §1.3. Le potentiel généré par ce champ s’écrit :

V −V(∞) = Z ∞

conducteur

E~ ·dl~

Si nous ajoutons maintenant une deuxième chargeq2au conducteur, le champ sera la somme du champ créé parq1etq2et de la linéarité des intégrales (et donc pour le principe de superposition) ainsi en est pour le potentiel. Par conséquent,le potentiel est proportionnel à la charge qui le génère, V ∝Q. Historiquement, cependant, la relation de proportionnalité fut écrite de façon inversée :

Q=CV (2.6)

oùCest lacapacitédu conducteur isolé.

Dans le système MKS, elle a évidemment les dimensions de [Q][V]⁻¹,Coulomb/Volt. Cette unité est appeléeFaradet elle est indiquée avec F.¹²

A titre d’exemple, et parce que nous utiliserons ce résultat par la suite, calculons la capacité d’une sphère isolée ayant une chargeQet un rayonR. Le champ électrique généré par la sphère est donné par la (1.12) :

E~ = 1 4πε0

Q r²rˆ le potentiel est donc :

V −V(∞) = Z ∞

R

E~ ·dl~ = 1 4πε0

Q R par conséquent, de la définition il s’ensuit :

C=Q

V = 4πε0R

11. Ce principe a une validité tout à fait générale et pas seulement en électromagnétisme. En général, il est étudié dans le domaine de la mécanique supérieure.

12. Cette unité porte le nom du physicien anglais Michael Faraday, qui a grandement contribué à la théorie de l’électro-magnétisme et que nous rencontrerons plus tard.

2.2 - Capacité électrique 27 Le termecapacitéa été choisi exprès pour souligner l’analogie avec l’hydraulique. En hydrau-lique, la capacité est synonyme de volume. Un récipient de grande capacité est un récipient qui peut contenir de grandes quantités de liquide et dont le niveau varie peu lorsque du liquide est ajouté, par rapport à une capacité plus petite. Dans le cas électrostatique, on dit qu’un conducteur a une grande capacité lorsque son potentiel varie peu par rapport à une variation de charge don-née. Un conducteur ayant une capacité de 1 F est un corps qui varie son potentiel de 1 Volt lorsque sa charge varie de 1 Coulomb. C’est une capacité extrêmement grande. A titre d’exemple calculons la capacité de la Terre, considérée comme un corps conducteur :

C= 4πε0R= 4·3.1416·8.854×10⁻¹²·6.4×10⁶= 712×10⁻⁶F = 712µF

La Terre en effet a une capacité extrêmement élevée, si élevée qu’elle est utilisée en tant que corps de référence où il est possible de décharger n’importe quelle charge sans que celle-ci change de po-tentiel. C’est bien ceci le concept demise à la terre, qui est très souvent fait en insérant littéralement de longues électrodes dans le sol pour disperser les charges.

2.2.2 Capacité d’un ensemble de conducteurs. Condensateurs

Considérons maintenant un conducteurS1isolé ayant une chargeQ1, celui-ci générera un champ électrique et donc un potentielV1. Approchons maintenant un conducteur déchargéS2pour qu’ils interagissent électrostatiquement. Le potentielV2(au point où se trouve le conducteurS2) est dicté par la chargeQ1présente sur le conducteurS1.¹³Cependant sur le conducteurS2y aura un phé-nomène d’influence électrostatique par le conducteurS1, notamment nous aurons des charges op-posés sur le côté faisant face àS1et des charges du même signe de l’autre côté. Cette configuration crée un champ dû à l’influence électrostatique tendant à réduire le potentielV1près du conducteur S1. Par conséquent, pour garder la même valeur du potentielV1 qu’en l’absence du conducteur S2, il est nécessaire d’avoir une charge supplémentaireQ > Q1sur le conducteurS1. En d’autres termes, la présence du conducteur S2 à proximité du conducteur chargé S1 augmente la capacité de ce dernier.

Le même raisonnement peut être appliqué si est le conducteurS2qui est chargé ou si les deux sont chargés. De manière générale les potentiels V1 et V2 sont liés aux charges présentes sur les conducteurs par les relations :







V1 =p11Q1+p12Q2

V2 =p21Q1+p22Q2

→ V1

V2

!

= p11 p12

p21 p22

! Q1

Q2

!

(2.7) et plus en général pourNconducteurs :

Vi= XN

j=1

pijQj i= 1, . . . , N (2.8) les coefficientspij s’appellentcoefficients de potentielset le fait que le système soit linéaire formalise le principe de superposition. Les coefficients dépendent de la géométrie (fixe) du système, donc lors qu’on a assigné les chargesQi les potentiels doivent être déterminés de façon unique. Ceci implique que la matrice doit être à déterminant non nul et inversible (plus spécifiquement, cette matrice est également symétrique et la relationpii ≥pij subsiste). Le système (2.8) peut alors être inversé pour obtenir les relations :

Qi= XN

j=1

cijVj i= 1, . . . , N

oùcij sont appeléscoefficients d’inductionet les coefficients sur la diagonalecii correspondent aux capacités des différents conducteurs.

13. Dans l’hypothèse d’avoir imposé l’annulation du potentiel à l’infini.

Un cas particulier d’une importance pratique considérable est celui où l’influence entre deux conducteurs est totale, c’est-à-dire lorsque toutes les lignes de champ issues d’un conducteur se terminent sur l’autre. Un système qui jouit de cette propriété est appelé condensateuret les deux conducteurs qui constituent les armatures du condensateur s’appellentélectrodes.

Si nous donnons à l’armatureS1du condensateur une chargeQ, sur l’armatureS2les charges se redistribuent par effet de l’influence électrostatique et en cas d’influence totale la charge sur la face tournée versS1sera−Q, tandis que du côté opposé sera présente une chargeQ. Si maintenant l’armature S2 est mise à la terre, la chargeQdeS2peut se disperser etS2aura maintenant une charge−Q. Dans cette situation, il est dit que le condensateur estchargé. Il est facile de démontrer que, dans cette hypothèse, la différence de potentiel entre les armatures (généralement désignée par le terme tension électriqueou simplementtension) est proportionnelle à la charge présente sur les armatures. En fait, si nous considérons le système (2.7), en substituantQ1 = −Q2 = Qnous avons : à savoir ∆V ≡ Q/C. Il a donc sens parler de capacité et de tension pour un système de deux conducteurs en influence totale.

Il existe trois configurations géométriques possibles pour avoir influence totale :

1. Sphérique. Il s’agit du cas où un conducteur est complètement contenu dans un autre, dont la forme la plus simple est une sphère, et on parle decondensateur sphérique.

En supposantS1chargé positivement avec chargeQ, appeléR1le rayon deS1etR2le rayon de la cavité deS2, dans l’espace entre les deux conducteurs le champ électrique est et donné par la (1.12) :

E(~r) =~ 1 4πε0

Q r²rˆ et donc la différence de potentiel s’écrit :

V1−V2≡∆V = 1

2. Cylindrique. Dans le cas où le conducteur intérieur se développe essentiellement le long d’une ligne et l’autre est enroulé autour de lui donnant lieu à une structure tubulaire, l’in-fluence totale est atteinte uniquement dans la limite d’une longueurlbeaucoup plus grand que les dimensions transversales. La géométrie la plus simple dans ce cas est celle où les conducteurs ont une forme cylindrique et dans ce cas on parle decondensateur cylindrique.

Dans le cas oùl ≫R1, R2, le champ électrique entre les deux conducteurs est donné par la

2.2 - Capacité électrique 29 3. Planaire. Dans le cas où les deux conducteurs se font face avec une surfaceS dont les di-mensions linéaires sont beaucoup plus grandes que la distancedqui les sépare, alors il y a une situation d’influence totale qui est autant plus précise que les surfaces deviennent des surfaces infinies. La géométrie la plus simple est quand les surfaces sont des plans et dans ce cas nous parlons decondensateur plan.

Dans ce cas, le champ électrique est donné par le champ (1.11) : E(~r) =~ σ

ε0

ˆ n= Q

Sε0

ˆ

n σ=Q S la difference de potentiel s’écrit donc :

V1−V2≡∆V = Q Sε0

Z 2 1

ˆ n= Qd

Sε0

d’où la capacité d’un condensateur plan :

C= Q

∆V =ε0S

d (2.9)

cette formule n’est pas exacte, car le champ électrique ne se termine pas brusquement à la fin des plans et, par conséquent, la densité de charge n’est pas exactement σ partout. Le calcul correct montre que la densité de charge est plus élevée sur les bords et que la capacité est légèrement supérieure à celle calculée ici. Il est utile de noter que cet effet de bord est prévisible sur la base de considérations générales sur le champ électrique. En fait, si le champ était comme dans le cas idéal, la circulation calculés le long de la ligne dl~ dans la figure suivante :

dl~

serait : I

E~ ·dl~ 6= 0

car le segment à l’intérieur du condensateur donne une contribution non nulle à l’intégrale contrairement aux trois autres.

Comme nous l’avons vu, un condensateur est constitué de deux armatures ayant charges oppo-sées. Il s’ensuit que les deux armatures du condensateur doivent s’attirer avec une certaine force : nous voulons maintenant calculer cette force dans le cas d’un condensateur plan.

Pour cela faire nous allons utiliser un principe très général qui est généralement introduit en mécanique supérieure,¹⁴ qui dans le contexte qui nous intéresse ici sera formulé de cette façon : Considérons un conducteurCdans un champ électrostatiqueE. Imaginez que vous changiez la configuration~ géométrique du conducteur d’une quantité infinitésimale (mouvement virtuel). Pour ce faire, une force externed ~F^e(force virtuelle) qui fera un travail (travail virtuel) doit être appliquée à chaque élément du conducteur:

δL^e=d ~F^e·δ~x

mais par définition, l’énergie électrostatique coïncide avec le travail effectué sur le système, donc : δL^e=d ~F^e·δ~x=δU ⇒ d ~F^e=δU

δx

14. Ce principe a été formalisé par Lagrange et nous ne l’exposerons pas dans sa forme précise ici.

d’autre part la force externed ~F^eest égale et opposée à la force électrostatique à laquelle l’élément est soumis, donc :

d ~F =−δU

δx (2.10)

Pour le condensateur plan, le mouvement virtuel consistera en l’éloignement d’une armature de δx. Suite à ce déplacement, la variation de l’énergie électrostatique par rapport au volumeSδx(¹⁵) s’écrit :

δU = (uf−ui)Sδx

Comme en dehors des armatures du condensateur le champ est 0 et à l’intérieur estσ/ε0, il s’ensuit queui= 0etuf=σ/ε0. Il s’ensuit immédiatement pour l’énergie électrostatique :

δU = ε0E² 2 Sδx et donc :

d ~F =−δU

δx =−ε0E²

2 S≡ US

la force d’attraction entre les armatures d’un condensateur est donc proportionnelle à l’énergie électrostatique du champ présent à l’intérieur du condensateur.

Nous allons faire maintenant une brève digression pour voir comment ces résultats théoriques sont appliqués dans la réalité.

Construction et utilisation d’un condenseur

À quoi un objet comme celui-ci peut-il être utile ? Il est évidemment utile pour stocker une charge confortablement.

Si par exemple nous essayons de conserver une grande quantité de charge avec une simple sphère, lorsque nous atteignons un certain potentiel la charge commencera à s’échapper et se dispersera dans l’atmosphère par des décharges électriques. Si par contre l’on prend deux très grandes surfaces conductrices, par exemple en forme de feuilles d’aluminium et qu’on les place à une très petite distance, par exemple en les séparant avec une feuille de matériel isolant, on prend le tout et on l’enroule, on obtient un condensateur très compact et de grande capacité.

C’est en fait le principe de construction de base et c’est ainsi que les anciens condensateurs radio étaient fabriqués. Aujourd’hui, bien sûr, la technique évolue et selon les caractéristiques que nous recherchons les matériaux isolants peuvent être de différents types (verre, céramique, polyester). Afin d’obtenir une capacité particulièrement élevée, la séparation entre les armatures peut être constituée par une fine couche d’oxyde obtenue par moyen électrolytique (et dans ce cas on parle decondensateurs électrolytiques).

À quoi peut être utile en pratique ? Reprenons notre analogie hydraulique et considérons un réservoir. Nous pompons de l’eau dans ce réservoir, mais le débit n’est pas constant. En même temps, différents utilisateurs prélèvent l’eau de ce réservoir de manière variable, parfois lente-ment, parfois avec des pointes de forte demande. Et la demande des utilisateurs doit être satis-faite sans changer la pression de l’eau indépendamment des fluctuations de débit qui sont en amont pour charger le réservoir.

En électronique, le condenseur a le rôle de réservoir : il permet de stocker une grande quantité de charge (eau) sans que son potentiel (pression d’eau) ne varie en fonction des demandes des utilisateurs (la charge du circuit) varie, et ceci quel que soit le courant (la pompe à eau) arrivant.¹⁶