La relation (5.1) ou, de manière équivalente, (5.2) sont évidemment suffisantes pour calculer la dynamique d’un circuit immergé dans un champ d’induction magnétique. Grâce aux lois de la mécanique, il suffit en effet de connaître la résultante des forces et des moments pour écrire les équations dynamiques. Ces quantités en termes de la IIème loi de Laplace (5.1) sont écrites :
F~ =I
I dl~ ×B~ M~ =I I
~r×
dl~ ×B~
où l’intégrale curviligne est censée être étendue au circuit. Ces relations expriment simplement le fait que la force résultante sur le circuit est la somme des forces agissant sur les éléments dl~ du circuit.
Il est utile de remarquer maintenant que lorsqu’un circuit parcouru par un courant est immergé dans un champ d’induction magnétique des phénomènes apparaissent de façon à varier le courant circulant dans le circuit et le champB~ à l’extérieur, par conséquent ces formules peuvent être plus complexes que ce qui sembleraient à première vue.
Calculons-nous la force agissant sur un segment de circuit d’extrêmesP1etP2parcourus par le courant électriqueIet immergés dans un champ uniformeB~. La force agissant sur le fil s’écrit :
F~ =I ne dépend que des extrémités du segment, nous pouvons donc en déduire que la force agissant sur un circuit fermé (une spire, par exemple) est nulle. C’est effectivement le cas :
F~ =I
en effetHdl~ = 0.30 Nous voyons donc quepour une spire, la résultante des forces est nulle, elle donc n’est soumise qu’à un moment de force qui finit par la faire tourner. Voyons en détail le cas d’une spire rectangulaire parcourue par un courant constantI.
F~1
30. C’est une intégrale de ligne située le long d’un segmentorienté.H
dl6= 0et c’est la longueur du circuit fermé
5.5 - Actions mécaniques sur les circuits parcouru par courant électrique 101 Les branches de longueurasont traversées par le même courant dans des directions opposées, de sorte que la somme des forces s’annule.31 On peut en dire autant des branches de longueur b, par conséquent la résultante des forces s’annulle. Les forcesF~1etF~2constituent une couple de forces de bras nul puisque : 1) les forces sont dirigées perpendiculairement aux lignesbet dans des directions opposées, 2) elles ne forment aucun angle avec le champB~ et sont donc alignés.
Par contre, les forcesF~3etF~4agissant sur les brasane sont pas alignées32et elles forment une couple de bras bsinθ. La force agissant sur chacun des branchesa est donnée parF = IaB, le moment du couple est donc :
M =F bsinθ=IabBsinθ=ISBsinθ
oùSest la surface de la spire. Considérant que le moment est perpendiculaire aux branchesaet au vecteurB, le moment peut être écrit :~
M~ =ISˆn×B~ ≡m~ ×B~
où nous avons défini le moment magnétique de la bobinem~ = ISn. Le nomˆ moment magnétiqueest suggéré par l’analogie avec la seconde des (1.16) dans le cas d’un dipôle électrique. En effet, ce résultat avec les (5.7) et les (5.12) nous permet de conclure queune spire parcourue par un courant se comporte comme un dipôle électrique.
La démonstration formelle de cette affirmation nécessite un complément d’étude.
d~s d ~A
~l
dl~
B~
Considérons une spire parcouru par un courantIet immergée dans un champ d’induction magné-tiqueB. Selon le principe des travaux virtuels, si nous appliquons une force~ d ~f pour effectuer un déplacement (virtuel)d~ssur un élémentdl~ du circuit, cette force doit être égal et inverse à celled ~F qui subit ce même élément de circuit en raison du champB~. Mais le travail effectué par la force vir-tuelle appliquée à l’élément du circuit est égal à la variation de l’énergie potentielle mécanique,33 Nous pouvons donc écrire :
d ~f =−d ~F =−I ~dl×B~ et pour l’énergie potentielle :
dU =dL=−
I dF~ ·d~s=−II
dl~ ×B~
·d~s par la proprieté du produit vectoriel mixte, nous puvons écrire :
dl~ ×B~ ·d~s=d~s×dl~ ·B~ =−dl~ ×d~s·B~ d’où :
dU =II
dl~ ×d~s
·B~
maisdl~ ×d~sreprésente l’élément de surfaced ~Abalayé par l’élément de circuitdl~ dans son dépla-cement virtuel, par conséquent :
dU =I Z
dΣ
d ~A·B~
31. Elles sont égales et opposées en raison du signe différent du courant.
32. Ceci parce que la spire a tourné autour d’un axe parallèle aux côtésad’un angleθpar rapport au champB.~ 33. Mécanique car cette force n’est que les déplacementsmécaniquedu circuit. Les forces dues aux variations de courant et d’induction de champ magnétique ne sont pas prises en compte dans ce contexte.
où dΣ représente la surface balayée par le circuit en raison du déplacement virtuel. Mais cette intégrale est par définition le flux deB~ à traversdΣ. Nous avons déjà montré que le flux deB~ à travers une surface ne dépend que du bord de la surface elle-même, nous pouvons donc en déduire quela variation de l’énergie potentielle magnétique est proportionnelle à la variation du flux enchaîné avec la spire:34
dU =−IdΦ(B)~
et si la surface est suffisamment petite pour pouvoir considerer le champB~ constant (comme c’est le cas d’une petite spire), la variation d’énergie potentielle s’écrit :
dU =−I ~S·B~ ≡ −m~ ·B~ oùm~ est le moment magnetique défini auparavant.
Comme déjà vu dans §1.4, le travail subi par un système générique peut toujours être décomposé en une partie due à la résultante des forces et une partie due au moment résultant, à savoir :
dL=F~ ·dl~ +M~ ·dθ~
D’autre part, le travail accompli est égal à la variation d’énergie potentielle mécanique inversée de signe, c’est-à-dire :
−dL=dU =∂U
∂ldl+∂U
∂θdθ
où le premier terme représente le dérivé directionnel deU lelongdlet le second terme, le dérivé de U par rapport à l’angleθ.
Par comparaison, nous pouvons en déduire :
F~ ·dl~ =−∂U
∂ldl M~ ·dθ~ =−∂U
∂θdθ
Or, dans la relationU = −m~ ·B~ = −mBcosθ, la dépendance de la position n’est contenue que dans le champ d’induction magnétiqueB~ tandis que la dépendance de l’angle n’apparaît qu’à traverscosθ. Il s’ensuit :
∂U
∂l dl= (dU)θ=cost.=∇~U·dl~ =−∇~(~m·B)~ ·dl~
∂U
∂θdθ=−∂
∂θ(mBcosθ)dθ=mBsinθdθ= (~m×B)~ ·dθ~ Tuojours par comparaison, nous pouvons donc écrire :
F~ =∇~(m~ ·B)~
M~ =−(~m×B) =~ B~ ×m~
(5.16)
D’après ces relations, il est évident que la résultante des forces agissant sur le spire est différente de zéro uniquement si le champB~ n’est pas uniforme dans au moins une coordonnée. Sinon, la seule force agissant sur la spire est une couple de moments m~ ×B.~ Dans un champ d’induction magnétique uniforme, une spire a tendance à tourner jusqu’à ce qu’elle soit perpendiculaire au champ.
Le résultat (5.16) est formellement identique à (1.16), la physique qui en découle est donc iden-tique. Cela nous permet d’énoncer lethéorème d’équivalence d’Ampère:
Une spire parcouru par un courant immergée dans un champ d’induction magnétique se comporte tel qu’un dipôle magnétique.
34. Le flux lié à une spire ne dépend que de la spire. Par conséquent, si la spire effectue un décalage virtuel, la différence entre le flux chaîné avant et après le déplacement est donnée par le flux lui-même à travers la surface virtuelledΣ.
5.6 - Intéractions entre circuits parcouru par un courant continu 103