Approfondissement sur la relation entre champ électrique, induction magné-

1−v²

c²

= 1 γ

qλ 2πε0r = 1

γF si on considère que∆t^′ =γ∆t, il en suit :

F^′∆t^′= 1

γF γ∆t=F∆t

c’est-à-dire,même si les deux systèmes mesurent des valeurs numériquement différentes pourF,Let∆t, les équations décrivant la dynamique restent les mêmes.

Deux points importants restent à clarifier.

Comment est-il possible que dans le système en mouvement la densité de charge augmente soit compatible avec la conservation de la charge ? Si la densité augmente, plus des charge doivent être présente dans la même partie du fil, mais le fil est initialement électriquement neutre. La réponse réside dans le fait qu’un circuit dans lequel circule un courant électrique ne peut être infiniment rectiligne, mais doit se fermer tôt ou tard. Mais alors à la branche en mouvement relatif −v par rapport à la particule de test correspond une branche en mouvement relatif+vdu côté opposé du circuit où la densité de chargediminue. Les deux effets se compensent le long du circuit⁴¹et il n’y a pas de paradoxe.

Le deuxième point concerne l’entité de l’effet relativiste. Nous avons vu que la vitesse de dérive du courant électrique est très faible, de l’ordre de2.33×10⁻⁶m/s, ce qui nous donne :

v

c =2.33×10⁻⁶

299792458 ≃10⁻¹⁴

et par conséquent la différence entre la densité de charges positives et négatives est l’ordre : ρ+−ρ−= 1−p

1−β²≃10⁻¹⁴

La question qui se pose alors est la suivante : comment une si petite différence peut-elle générer un effet aussi important à l’échelle macroscopique ? La réponse est en fin de compte simple :10⁻¹⁴et l’ordre de grandeur de l’effet surunecharge. Mais nous avons vu que dans un conducteur il y a environ10²³électrons, chacun apportant une contribution de10⁻¹⁴. Nous voyons ainsi que l’effet total devient perceptible au niveau macroscopique.

5.7.1 Approfondissement sur la relation entre champ électrique, induction ma-gnétique et principe de relativité

La relation entre le principe de relativité et le champ magnétique est importante et suffisamment intéressante pour nécessiter des approfondissements.

Considérons une chargeqà repos dans un système de référenceO. Nous savons que le champ électrique généré est radial et a la forme :

E~ = 1 4πε0

q r²ˆr

41. C’est comme si les charges “accumulées” d’un côté devenaient plus rares de l’autre.

dont les composantes cartésiennes dans le planxyle long de la directionθsont données par :

Considérons un système de référenceO^′ en mouvement relatif le long de l’axexà une vitesse de

−v, ce qui revient à dire que nous considérons un système de référence dans lequel la charge est en mouvement à vitesse de+v. Supposons pour simplifier, sans que cela nous fasse perdre en généra-lité, que l’origine des deux systèmes coïncide à l’instantt= 0. Cela nous permettra d’indiquer les coordonnées dansOsimplement avec(x, y, z, t)et dansO^′ avec(x^′, y^′, z^′, t^′). Les transformations de Lorentz entre ces deux systèmes sont données par :⁴²

 utilisant les transformations de Lorentz précédemment trouvées pour les composantes du champ électrique dansO^′:⁴³ angle que~r^′, c’est-à-dire queE~^′est toujours radiale par rapport à la chargeq.⁴⁴

Pour trouver l’intensité du champ il faut calculerE^′2=E_x^′2+E_y^′2:

évidemment, le choix du système de référence n’a rien de particulier. Ce qui compte, c’est que le champ présente une symétrie radiale et que son intensité dépend de l’angle θque la position forme par rapport à la direction du mouvement. La forme de ce champ est montrée dans la figure suivante.

42. Souvenons-nous de la notation relativisteβ≡v/cetγ≡1/p 1−β².

43. Nous négligerons l’écriture du facteur constant1/4πε0à chaque fois, car il alourdit les formules sans pour autant ajouter d’informations intéressantes.

44. Il vaut la peine de réfléchir à ce résultat. Ce que nous avons trouvé signifie que si la chargeqpasse à l’origine deO^′à l’instant¯t^′, un observateur situé dans unn’importe quel pointdu systèmeO^′voit le champ électrique généré parqradial et parfaitement centré sur l’origine. Comment l’observateur distant peut-il savoir qu’à l’instant exacte¯t^′le champ est tel qu’il est radialement centré sur l’origine ? Apparemment, il semblerait qu’il y ait une transmission instantanée d’informations, mais ce n’est pas le cas. Nous supposons que la particule se déplace avec un mouvement constant et uniforme, de sorte qu’à t¯^′elle passe par l’origineO^′et en tant que mouvement uniforme cette information est “connue”. En d’autres termes, c’est l’historique de la chargeq, connu, qui nous donne les informations dont nous avons besoin pour savoir comment le champ se trouvera à un moment donné. Pour des changements brusques de mouvement le discours est tout à fait différent, mais cette éventualité ne sera pas traitée ici.

5.7 - Champs électrostatique est magnétostatique en relativité restreinte 109

~v

Ce champ est radial, mais pas à symétrie sphérique. Ce n’est pas surprenant, car dans ce cas il existe une direction privilégiée définie par la vitesse~v. Un champ de cette forme ne peut pas être généré par une configuration de charge statique et cela peut être déduit par le fait que la circulation calculée le long de la ligne pointillée bleue ne s’annule pas. Les arcs de cercle ne contribuent pas, mais le champ le long de la ligne radiale plus proche de la perpendiculaire à~vest plus intense, par conséquent le long du trajet fermé montré la circulation deE~^′ne s’annule pas. C’est normal, car ce n’est pas un champ électrostatique.

Revenons maintenant à notre figure à la page 105 et considérons une charge en mouvement perpendiculaire au fil et plaçons nous-mêmes dans le système de référenceO^′ où le fil se déplace vers la charge.

~v

I~ E~^′

θ^′₁

θ^′₂

e1 e2

Nous pouvons voir que même si les deux électronse1ete2sont à la même distance de la charge de testq, le champ n’est pas le même. En fait, l’angle par rapport à la direction du mouvement pour l’électrone1estθ₁^′ et presque parallèle à la vitesse~v, alors que pour l’électrone2la ligne rejoignant la charge de test est presque perpendiculaire au mouvement dee2, par conséquentsin²θ^′₂>sin²θ₁^′ et le champ généré par l’électrone2au point où se trouve la charge de test est plus fort que le champ généré au même point par l’électron e1, et cela s’applique à toute paire d’électrons. Si ces deux champs sont composés de manière vectorielle une composante transversale émerge, composante qui pousse la charge de test à vitesse~ven direction perpendiculaire à son propre mouvement.⁴⁵Il y a donc une force qui agit sur la charge de test dépendant de la vitesse. Il est perpendiculaire à la vitesse a et parallèle au fil, c’est-à-dire perpendiculaire à l’axez. Siˆ B~ est un vecteur direct le long dez, alors la force est exprimée parˆ ~v×B.~

Cela montre que l’invariance de la charge électrique⁴⁶ implique l’existence de forces entre des charges en mouvement. Les champs électriques et magnétiques sont deux aspects de l’électroma-gnétisme qui découlent du fait que la physique doit être la même dans tous les systèmes de réfé-rence inertiels.

Un système de charges mobiles peut certainement être étudié en modifiant le système de réfé-rence et en transformant les équations de manière appropriée. Cependant, la manière la plus simple de décrire l’effet des courants entre eux et de ceux-ci sur les charges est d’introduire un nouveau champ de vecteur, le champ d’induction magnétiqueB.~

45. La composant perpendiculaire au fil électronique et compensée exactement par celle des ions, étant donné la neutralité électrique du fil. Il ne reste donc que la composante transversale.

46. Position implicite dans le fait que la chargeqne se transforme pas selon la loi de Lorentz, mais reste invariante.

Chapitre 6

Magnétisme dans la matière

6.1 Généralités

Comme pour les diélectriques, lorsqu’un corps est immergé dans un champ magnétique, plu-sieurs effets différents se produisent. Cela n’est pas surprenant puisque le théorème d’équivalence d’Ampére nous indique que les courants électroniques atomiques se comportent tels qu’un dipôle magnétique et que, par conséquent, chaque corps matériel doit être affecté par le champ magné-tique d’une manière ou d’une autre.

Cependant, les effets peuvent être très différents selon le matériau. En fonction des phénomènes observés, les matériaux peuvent être divisés en trois catégories :

— diamagnétiques: le matériau subit d’une faible répulsion. Les matériaux diamagnétiques les plus courants sont le mercure, l’or, le cuivre, l’argent, le bismuth, l’eau et la plupart des substances organiques. Comme nous le verrons bientôt, cet effet est dû au mouvement de précession du moment cinétique atomique dans un champ magnétique faible. Ce mouve-ment de précession génère un courant qui se comporte à son tour comme un faible dipôle orienté dans le sens opposé du champB.~

— paramagnétiques: le matériau est faiblement attiré. Des exemples d’éléments paramagné-tiques sont le calcium, l’aluminium, le magnésium, l’oxygène, le platine, le sodium et l’ura-nium. Ce sont des atomes ayant un moment magnétique permanent qui s’aligne le long du champ magnétique externe le renforçant. Le phénomène est d’intensité faible car il s’agit de forces faibles comparées aux mouvements d’agitation thermique. En fait, il est confirmé expérimentalement que le paramagnétisme augmente avec une baisse de température.

— ferromagnétiques: le matériau est fortement attiré, les forces ressentis peuvent être de l’ordre du poids du corps ou plus. Des exemples typiques de matériaux ferromagnétiques sont le fer, le cobalt, le nickel et de nombreux alliages à base de ces métaux. Pour ceux-ci, il existe des forces autres que l’interaction magnétique directe et qui sont environ 4 ordres de grandeur plus élevés. Ces forces sont telles que tous les dipôles magnétiques du matériau s’alignent parfaitement avec le champ électrique externe générant des forces très intenses. Cet effet indirect ne peut être expliqué que dans le domaine de la mécanique quantique.

Précisons immédiatement que les phénomènes de magnétisation de la matière ne peuvent pas être expliqués de manière complète et correcte par la seule mécanique classique ; ils sont en réa-lité des phénomènes quantiques. Si nous poussons l’interprétation classique jusqu’au bout, nous constatons que tous les effets sont annulés et que nul phénomène magnétique est possible. Si nous émettons l’hypothèse qu’il n’y a qu’un seul état d’équilibre thermodynamique et que notre système est dans cet état,¹alors il est facile de démontrer qu’il n’existe pas de dipôle magnétique induit par un champ externe.

1. Concrètement, nous appliquons le champ magnétique au système et attendons suffisamment de temps pour qu’il atteigne l’état d’équilibre.

Selon la mécanique statistique la probabilité qu’un système se trouve dans un état d’énergieU et proportionnel àe^−U/kT. Or, l’énergie d’une particule se déplaçant dans un champ magnétique est donnée par l’énergie potentielle habituelle plus l’énergie cinétique1/2mv², sans qu’il soit né-cessaire d’ajouter explicitement quoi que ce soit lié au champ magnétique. En fait, la force dans un champ électromagnétique est donnée parq(E~ +~v×B), le travail - qui est lié à l’énergie - est~ exprimé parF~ ·~vet se réduit en conséquence àq ~E·~vet ne dépend pas du champ magnétique.² Comme la probabilité d’être dans un état spécifique dépend uniquement de l’énergie, c’est-à-dire de la position et de la vitesse, il en résulte que celle-ci est la même indépendamment de la présence ou de l’absence d’un champ magnétique. Si nous avons alors deux systèmes, l’un dans un champ magnétique et l’autre non, la distribution des probabilités des états du système est la même dans les deux cas. Si, dans le premier système, la valeur moyenne du moment magnétique est égale à zéro, elle doit être identique pour le second système car le mouvement des particules est en moyenne le même. Par conséquent, classiquement, il ne peut pas exister un moment magnétique induit par un champ magnétique externe.

Cependant, résoudre le problème avec la mécanique classique n’est pas totalement inutile. Elle peut nous donner une vision partielle de ce qui se passe dans la matière et fournit des résultats utiles d’un point de vue concret. L’application de la mécanique classique aux problèmes du ma-gnétisme suit également la voie historique : les premiers chercheurs de phénomènes magnétiques ne disposaient que des lois classiques. Il est donc intéressant de suivre leur raisonnement.

Dans ce qui suit, nous nous baserons sur le modèle atomique de Rutherford traité selon la mé-canique newtonienne.

L’électron qui tourne autour du noyau peut être considéré comme une spire parcourue par un courant. Le courant est défini comme la quantité de charge par unité de temps et dans le cas présent la charge électrique est la charge de l’électron eet l’unité de temps est donnée par la période de révolution de l’électron autour du noyau.

Nous allons maintenant calculer la valeur du courant atomique en utilisant l’atome d’hydrogène comme modèle. Pour ce faire, nous devons calculer le temps de révolution des électrons. Nous considérons donc un électron en orbite circulaire autour d’un noyau atomique. La force ressentie par l’électron est la force de Coulomb et le deuxième principe de dynamique s’écrit :

F~ = 1 4πε0

e²

r₀² =me~a=meω0²r0= 4π² T₀² mer0

d’où le temps de révolution atomique de l’électronT0: T0= 4π

e q

πε0mer³₀

Afin de calculer cette valeur, nous devons connaître le rayon atomiquer0. Grâce au théorème du vi-riel, on sait que dans un système lié par un potentiel dépendant de l’inverse du carré de la distance la relation suivante est vraie :

2hTi=− hUi

d’où l’énergie totaleT+U =U/2, ce qui dans notre cas fournit : U = 1

8πε0

e² r₀² d’où :

r0= e² 8πε0

1 U

Or, l’énergie potentielle est équivalente au travail nécessaire pour amener l’électron de l’état lié à l’infini (oùU = 0) inversé de signe, mais cela coïncide avec le travail d’extraction.³Cette quantité

2. Cela ne doit pas nous surprendre. Nous avons déjà souligné le fait que la force de Lorentz n’effectue pas de travail.

3. C’est-à-dire, l’énergie nécessaire pour ioniser un atome d’hydrogène.

6.1 - Généralités 113

peut être mesurée de manière expérimentale et sa valeur est−21,6×10⁻¹⁹J,⁴il s’ensuit : r0= 2.567×10⁻³⁸

25.13·8.854×10⁻¹² 1

21.6×10⁻¹⁹ = 0.5×10⁻¹⁰≡0.5Å en remplaçant cette valeur dans l’expression de la période orbitale, nous obtenons :

T0= 12.566 1.602×10⁻¹⁹

p3.14·8.854×10⁻¹²·9.11×10⁻³¹·1.25×10⁻³¹= 1.52×10⁻¹⁶s ce résultat nous permet de calculer le courant atomique généré par le mouvement de l’électron :

Ia = e T0

= 1.602×10⁻¹⁹

1.52×10⁻¹⁶ ≃1mA

Le moment magnétique défini parm~ =I ~Snous donne : m=Iaπr²₀= e

T0

πr₀²

et il est dirigé perpendiculairement au plan défini par l’orbite. Le moment angulaire de l’électron défini par~l=me~r0×~vest également dirigé perpendiculairement au plan de l’orbite et il est donc dirigé le long de la même direction que le moment magnétique. Sa valeur est donnée par :

l=mer0v0=me

2πr0

T0

r0

cela comparé à l’expression du moment angulaire permet d’écrire :

~ m= e

2me

~l

autrement dit, que le moment magnétique est proportionnel et antiparallèle (en raison du signe négatif implicite danse) au moment angulaire, le facteur de proportionnalité est appeléfacteur gyromagnétique.

Ce résultat est assez général et se révèle valable également en mécanique quantique.

La conséquence immédiate de ce fait est que les moments angulaire et magnétique sont pa-rallèles est qu’un atome ayant un moment magnétique immergé dans un champ magnétique doit précéder. Généralement, le momentm~ ne sera pas aligné avec le champB, nous sommes donc dans~ la situation montrée dans la figure suivante :

B~

lsinθ

~l

~l^′ θ

Le moment magnétiquem~ est soumis à un coupleM~ = m~ ×B~ (selon la (5.16)) qui cherche à l’aligner avec le champB. Mais le fait que le champ ne soit pas parfaitement aligné sur le moment~ magnétique et que le momentm~ soit parallèle au moment angulaire~lfont de l’atome un gyroscope.

En conséquence,~let doncm~ précèdent autour deB. Supposons que, dans un intervalle de temps~

∆t, le moment angulaire passe de~là~l^′en maintenant le même angleθpar rapport àB. Si~ ωLest la vitesse de précession, l’angle de précession dans le temps∆test donné parωL∆t. La variation du moment angulaire est donc :

∆l= (lsinθ)(ωL∆t)

4. Ou -13,6 eV.

la variation du moment angulaire doit être égale au couple appliqué :⁵ d~l

dt =ωLlsinθ=m~ ×B~ d’oùωL=l/mB, ou :

ωL= eB 2me

qui s’appellefréquence de Larmor. Le fait que le moment magnétique précède reste valable également en mécanique quantique, même si l’interprétation sera alors différente.

Poursuivant notre raisonnement classique, un courant d’électrons est associé au mouvement de révolution de l’électron et le mouvement de précession du moment magnétique est associé à un courant appelé courant de Larmor.⁶ Ce courant est dû à la charge de l’électron qui se déplace de manière circulaire avec une fréquence deωL:

IL=eωL

2π = e²B 4πme

associé à ce courant, nous aurons donc unmoment orbital de Larmorqui aura une direction opposée par rapport àB~ et au moment orbital, cela dû au signe négatif contenu dans la charge électronique et qui est :⁷

mL =ILSL=− e²B

4πmeπhr²i=− e²B 4πmeπ2

3r²=−e²r²

6meB (6.1)

oùπhr²iest la surface moyenne perpendiculaire au champ magnétiqueB~ et qui vauthr²i= 2/3r². S’il s’agit d’atomes à plusieurs électrons, il faut ajouter un facteurZdans la relation ci-dessus :

mL=−Ze²r² 6me

B

L’étude du champ magnétique dans la matière ressemble en quelque sorte à celui du champ électrostatique en présence de diélectriques. Dans ce cas-là, nous avions introduit un vecteur de po-larisation électriqueP~et réécrit l’équation de Maxwell correspondante en explicitant la présence de charges de polarisation. Dans le cas présent, nous allons introduire un vecteur moment magnétique par unité de volume et une densité de charge magnétique, afin de garder l’analogie∇ ·M~ =̺m.⁸ Cependant, nous savons que les charges magnétiques n’existent pas sous une forme isolée et grâce au théorème d’Ampère nous savons qu’il s’agit des courants atomiques responsables du moment magnétique du la matière. Nous allons donc ensuite introduire la présence de courants atomiques dans les équations au lieu des charges. Ces courants étant généralement inconnus, nous devrons rechercher une relation entre ceux-ci et un vecteur macroscopique mesurable, équivalent au vec-teur de polarisation électrique, appelévecteur de polarisation magnétique. Ce qui rend le traitement du magnétisme plus complexe, c’est que ce vecteur est fortement dépendant du champ d’induction magnétiqueB. Afin de résoudre les équations nous devrons donc trouver une relation entre ce vec-~ teur et le vecteur d’induction magnétique, et c’est précisément cette relation qui sera complètement différente pour les matériaux diamagnétiques, paramagnétiques et ferromagnétiques.

5. Rien d’autre que l’application de la deuxième loi de la dynamique.

6. Courant qui se super-impose au courant orbital.

7. Ici, nous avons besoin d’une petite explication. Nous avons montré plus haut qu’un moment magnétique atomique est antiparallèle au moment cinétique et par conséquent àB. Ce résultat a une validité générale, car la valeur~ numériquedu moment de Larmor s’avère être proportionnelle àe², mais nous y plaçons tout de même un signe moins.

8. Ceci a également été le chemin emprunté historiquement.

Dans le document THÉORIE CLASSIQUE DE L ÉLECTROMAGNÉTISME. auteur : VALERIANO BARASSI (Page 115-123)