Énergie potentielle électrostatique

Un système de charges électriques agencé de manière à interagir possède une certaine énergie électrostatique d’interaction. Cette énergie est par définition équivalente autravail effectué par des forces externes pour amener toutes les charges dans la configuration donnée. Il s’ensuit immédiatement que l’énergie électrostatique peut être positive ou négative : dans le cas de deux charges d’un même signe, le travail doit être fait contre la répulsion électrostatique, la force a le même signe du dépla-cement et donc l’énergie est positive. Dans le cas de charges de signe opposé, le travail doit être effectué contre l’attraction mutuelle (la force doit retenir les charges électriques), la force a le signe opposé au déplacement et par conséquent l’énergie d’interaction est maintenant négative.

Nous considérerons pour l’instant un système discret de charges ponctuelles.

3. Nous allons ignorer ici la perturbation causée par le fil qui relie les deux sphères. D’autre part, nous sommes dans une approximation assez poussée et nous ne nous intéressons ici qu’à un résultat général.

Le positionnement de la première charge n’implique pas de travail car il n’y a pas de champ électrique. Pour déplacer la deuxième charge, le travail effectué dans le champ créé par la première par la force externe−q2E1s’écrit :

Le travail fait pour déplacer une troisième charge est la somme du travail fait dans le champ élec-trostatiqueE1 créé par la chargeq1 plus le travail fait dans le champE2 créé par la chargeq2 (et cela grâce au principe de superposition) :

L3=−

L’énergie potentielle électrostatique totale du système des trois charges est donc : U = q1q2

Cette relation peut aisément être généralisée. Si nous avons plusieurs charges électriques il faut tenir compte de tous les termes d’interaction entre les charges, donc l’énergie électrostatique d’un système deN charges ponctuelles s’écrit :

U = 1

où le facteur1/2a été introduit car la sommation prend en compte chaque terme d’interaction deux fois. En effet il n’existe aucun moyen simple d’écrire cette sommation en prenant en compte chaque terme qu’une seule fois.

Nous remarquons maintenant que la sommation peut être réécrite de la façon suivante :

U = 1

Le terme entre parenthèse représente le potentiel électrique enicréé par toutes autres charges à l’exception de la chargeielle-même (exclue de la sommation), donc l’énergie électrostatique peut aussi bien s’écrire :

cette relation peut être immédiatement généralisée au cas d’un distribution continue de charge, en obtenant :⁴

La question que l’on se pose maintenant est où se situe cette énergie électrostatique, si dans les charges, dans l’espace entre les charges ou ailleurs. Le sujet est importante car il est lié à la loi de conservation de l’énergie. Cette loi générale, formulée de cette manière, reste valable même si l’énergie disparaissait à un point et réapparaitrait dans un autre sans qu’aucun processus n’inter-vienne entre les deux points. Ce que nous voulons faire ici est d’étendre en quelque sorte le principe de conservation pour formuler une conservation de l’énergielocale. Ce que nous entendons ici par localeest que l’énergie dans un volume donné ne change que s’il y a un flux qui traverse la surface de ce volume. Il est possible de trouver dans ce cas une formulation beaucoup plus précise et dé-taillée de la conservation d’énergie. De plus, il arrive qu’en nature l’énergie est effectivement un invariante locale.

4. Bien sûr, on peut écrire des équations similaire pour la densité superficielle et linéaire.

2.1 - Distribution des charges dans le conducteurs 23 Si nous considérons le champ électrostatique, il n’y a aucun moyen de savoir où l’énergie est réellement présente. Cependant, nous montrerons que l’énergie électrostatique peut être décrite non pas en termes de charges qui la “produisent”, mais en termes du champ qu’elles créent. En effet, l’énergie électrostatique estnumériquementproportionnelle au carré du champ électrique.

Dans l’équation (2.2) la densité de charge peut être écrite par moyen de l’équation de Maxwell-Gauss (1.8) à partir de la relation entre quantités vectorielles :⁵

∇ ·~ (V ~E) = (∇~V)·E~ +V(∇ ·~ E) =~ −E²+V(∇ ·~ E)~

grâce au théorème de flux-divergence appliqué au premier membre, nous pouvons réécrire cette relation :

Maintenant, nous pouvons évaluer ces intégrales pour un volume tendant à l’infini. Si nous sup-posons que les charges sont localisées au fini, la contribution de l’intégrale du volume ne changera pas une fois qu’elle inclura toutes les charges au fini. Pour ce qui concerne l’intégrale de surface, en supposant avoir une sphère de rayonR centrée sur l’origine des coordonnées, on sait que le potentielV décroît comme 1/Ret le champ électrique comme1/R².(⁶) Puisque la surface de la sphère croît commeR²il est immédiat de vérifier que l’intégrale décroît comme(1/R·1/R²)R², à savoir1/R. Ainsi, lorsque la surface va à l’infini (R→ ∞), la contribution de l’intégrale de surface tend vers zéro. Par conséquent :

U = ε0

est ladensité d’énergie du champ électrostatique. Nous voyons donc queil est possible de calculer l’énergie électrostatique d’une distribution de charges en calculant l’intégrale d’une densité d’énergie localisée dans le champ.

Cette formule est important car nous permet de conclure que même une seule charge ponctuelle possède de l’énergie potentielle électrostatique. En effet, en considérant le champ électrique créé par la charge, nous pouvons déduire la relation :

E= 1

et si on considère un élément de volume sphérique d’épaisseurdret surface4πr², l’énergie poten-tielle électrostatique créé par cette charge et contenue dans l’espace est donnée par l’intégral :

U =

Le problème de cette intégrale est qu’elle diverge pourr→0. En fait, nous sommes partis de l’idée que l’électricité potentielle électrostatique est l’énergie d’interaction entre les différentes charges

5. Cette relation s’ensuit des propriétés des dérivées.

6. En fait, si la charge nette de la distribution est nulle, elle diminuera encore plus vite.

électriques et dans les formules précédentes nous avons n’avons pas pris en compte l’énergie d’in-teraction de la charge avec elle-même. Par contre, dans la (2.2) nous avons plutôt tenu compte de l’énergie d’interaction de chaque chargé de infinitésimale avectoutesles autres charges et par conséquent, comme dans la (2.3), cette formulation prend également en compte l’énergie qui serait nécessaire pour assembler les charges à partir d’éléments infinitésimaux.⁷

Nous sommes donc obligés de conclure que l’hypothèse selon laquelle l’énergie électrostatique est localisée dans le champ électrostatique est incompatible avec la notion de charge ponctuelle. La solution de ce problème passe nécessairement par le rejet de l’une des hypothèses qui ont été faites pour dériver cette formule, que – rappelons-nous – étaient les suivants :

— L’existence de charges ponctuelles,

— La théorie de l’électricité est valable à toutes les distances,

— conservation d’énergie locale.

La notion de charge ponctuelle et la conservation de l’énergie en forme locale sont bien établies expérimentalement, donc nous sommes obligés d’admettre que la théorie classique de l’électricité n’est plus valide à des distances très petites (et donc il n’est pas licite de faire la limiter→0). En fait, la théorie classique de l’électromagnétisme doit être corrigée à petites distances pour prendre en compte les effets quantiques, ce qui donne lieu à une nouvelle théorie dont toutefois le traitement est en dehors du cadre de ce cours.

APPLICATION PRATIQUE DU CONCEPT D’ÉNERGIE POTENTIELLE ÉLECTROSTATIQUE

Nous verrons maintenant comme le simple principe de l’énergie électrostatique peut être appli-qué à des cas concrets, permettant nous de calculer des paramètres macroscopiques du système.

Nous allons considérer l’énergie électrostatique du réseau de Bravais du chlorure de sodium. Ce réseau consiste en un alternance d’atomes de chlore et sodium s’attrayant mutuellement jusqu’à se toucher. Lors qu’ils se touchent, une force répulsive leur empêche de se rapprocher encore. Nous ferons l’hypothèse simplifiant de considérer les atomes comme étant des sphères rigides dont la distance, mesurée par des moyens spectroscopiques, est d’environ 2.81 Å.

La question que nous nous posons est la suivante : combien d’énergie faut-il fournir au système pour qu’il se dissocie complètement en ions? Par définition cette énergie est équivalente à la cha-leur de vaporisation, mais elle est aussi égal à l’énergie électrostatique contenue dans le réseau de Bravais.⁸Cette valeur a été mesurée être 8.07 eV par molécule.

Nous allons donc calculer l’énergie d’interaction électrostatique d’un ion avec tous les autres.

Puisque nous sommes intéressé par l’énergie par molécule, nous n’aurons pas besoin du facteur 1/2.⁹

L’énergie d’interaction entre un ion et ses proches s’écrit en tenant compte que la charge d’un ion correspond à la charge élémentairee:

U = 1 Comme nous pouvons le constater, l’ordre de grandeur est déjà correct.

Prenons maintenant comme référence un atome de sodium (chargé positivement) et considé-rons tous les atomes proches à droite et à gauche le long une ligne horizontale. La contribution à l’énergie électrostatique par cette ligne est :

U1= 1

7. Il convient de noter d’ailleurs que là où l’énergie d’interaction peut être positive ou négative, les relations (2.2) et (2.3) sont toujours positives.

8. Car c’est exactement l’énergie requise pour former les molécule et les positionner à partir de l’infini.

9. Comme vu précédemment, l’énergie par ion doit être divisé par 2. Cependant, nous sommes intéressé ici à l’énergie par molécule, nous devons donc réellement compter chaque contribution deux fois, d’où le fait que le facteur1/2n’est plus nécessaire.

2.1 - Distribution des charges dans le conducteurs 25 Pourquoi l’écrivons-nous de cette façon? Le numérateur 2 est dû à la présence de deux termes (à droite et à gauche de notre atome de sodium) dont la contribution à la sommation est la même. Le premier terme de la sommation est négatif car il provient des atomes de chlore négatives à distance a, suivis par les atomes de sodium à distance2aest ainsi de suite. La sommation s’avère être une série harmonique alternée dont la somme estln 2, nous avons donc :

U1=− 1

Considérons maintenant la ligne tout juste en haut. L’atome de chlore le plus proche se trouve à distancea, les atomes des sodium suivants sont à distance√

2, les suivants à distance√

5et ainsi

Cette série converge à la valeur0.440917,(¹⁰) mais nous avons 4 lignes de telle sorte : celle en haut, celle en bas, avant et derrière l’atome de référence. Le résultat totale pour ces termes est donc :

U2= 1 Le principe du calcul est maintenant clair. Si nous nous arrêtions ici le résultat serait :

U1+U2=−1.859 1 4πε0

e²

a =−1.859·5.12eV ≈ −9.51eV

Le calcul comprenant tous les atomes (que nous ne poursuivrons pas ici) fournit la valeur : U1+U2=−1.747·5.12eV ≈ −8.94eV

Cette valeur est légèrement supérieure à celle déterminée expérimentalement. Ceci est dû au fait qu’en réalité les atomes sont légèrement compressibles et que l’énergie dépensée dans la compres-sion est rendue à nouveau disponible lorsque les ions s’éloignent, par conséquent l’énergie requise pour la vaporisation est légèrement inférieure à celle calculée avec cette méthode. Si nous prenons également en compte l’énergie cinétique des vibrations cristallines, alors l’accord est parfait.

Ce calcul nous montre que le concept d’énergie électrostatique a une réelle importance et montre aussi que la plus part de l’énergie d’un cristal ionique de type NaCl est effectivement de nature électrostatique.