(ou pôle) à la négative, alors qu’en réalité ce sont les électrons qui se déplacent dans la direction opposée. Cela vient du fait qu’aux débuts on croyait que les porteurs de courant étaient des charges positives, alors qu’aujourd’hui nous savons que ce sont les électrons à se déplacer.
4.2 Densité de courant et équation de continuité
Considérons maintenant un conducteur à l’intérieur duquel il existencharges électriques par unité de volume, chacun ayant une chargeq. Pour les électrons,q=−e.
Comme nous l’avons vu, la présence d’un champ électrique externe superpose à l’agitation ther-mique un mouvement dont la vitesse a la même direction du champ électrique, et ayant sens concorde ou discorde au champ selon le signe de la charge. La vitesse de dérive peut donc être considérée un champ vectoriel.
Si nous faisons l’abstraction de moyenner les mouvements chaotiques au niveau des particules, nous pouvons considérer un tube de flux généré par la surface dS, formant éventuellement un angleθavec la vitesse. La chargedqqui dans l’unité de tempsdtpasse à travers de la surfacedSest alors évidemment donnée par le nombre de charges contenues dans un cylindre de basedScosθet de hauteurvddt:
dq=nq ~dS·~vddt=nqdSnvddt dSn≡dScosθ La quantité de charge qui passe dans le tube de flux par unité de temps est :
dI = dq
dt =nq ~dS·~vd≡J~·dS~ où nous avons défini le vecteur :
J~≡nq~vd (4.3)
qui représente évidemment une densité de courant électrique et dont les dimensions physiques se révèlent être Coulomb sur second sur mètre carré. La relation est donc valide :
I= Z
S
J~·dS~ (4.4)
Afin d’avoir une idée des vitesses dont nous parlons, considérons un conducteur de cuivre cy-lindrique de rayon 1 mm traversé par un courant de 1 A. Dans ce cas, la surface estS = πr2et donc :
dI=J~·dS~ =nq ~dS·~vd=nqvdπr2 → vd= I nqπr2
Nous avons déjà calculé dans §4.1 le nombre d’électrons libres dans le cuivre, environ 8,5×1023électrons / cm3
= 8,5×1028électrons / m3. Par conséquent : vd= I
nqπr2 = 1A
8.5×1028électrons/m3·1.16×10−19C·3.1415·10−6m2 = 2.33×10−6m/s À titre de comparaison avec la valeur de la vitesse moyenne de l’agitation thermique, également calculé dans §4.1, nous remarquerons que même avec toutes les approximations faites, la valeur vd ≪vT (3)
En absence de champ électrique, en raison de l’agitation thermique, les électrons se déplacent de manière aléatoire et frappent constamment les atomes du réseau cristallin, ils sont donc en équilibre thermique avec ceux-ci.
3. Remarquons aussi qu’il s’agit d’une vitesse extrêmement faible, qui est d’environ 2 millièmes de millimètre par se-conde. Comment est-il possible que lorsque vous appuyez sur un interrupteur, la lumière s’allume instantanément ? Car ce qui produit l’effet est le champ électrique, qui se propage rapidement, à vitessec. En d’autres termes, les électrons dans le conducteur commencent à bouger tous en même temps et il n’est pas nécessaire d’attendre qu’un électron se déplace réellement d’un bout du conducteur à l’autre.
Lorsque un champ électrique est présente, un électron qui sort avec une vitessevT d’une col-lision est accéléré par le champ électrique (le long de la direction du champ) et dans la colcol-lision suivante cédera l’énergie en excès. L’augmentation de vitesse due au champ électrique est expri-mée par la conservation de la quantité de mouvement :4
∆~v=~vf−~vT =~a∆t= f~
m∆t=−e ~E me
∆t
où∆test le temps moyen entre deux collisions. La vitesse de dérive entre deux collisions est donnée par la valeur moyenne de∆~v, à savoir~vd= ∆~v/2, d’où :
Or, nous avons vu que la vitesse de dérive est beaucoup plus petite que le mouvement d’agitation thermique, donc~vT ≈~vf et l’intervalle entre deux collisions successives (donnée parλ/∆t, avec λchemin moyen libre) est sensiblement indépendante du champ électrique appliqué. Il en résulte que~vd∝E. Cela nous permet de conclure que~ le courant électrique dans un conducteur est proportion-nel en norme et en direction au champ électrique appliqué. En conséquence, la même chose peut être dite pour la densité de courant. Indiquant avecqla charge :
J~=nq~vd =
Ce modèle simplifié est appelémodèle de Drudeet a été formulé par Paul Drude en 1900.
Si le courant est transporté par différents types de porteurs, et en particulier par des porteurs positives et négatives, la densité de courant totale est évidemment donnée par la somme des deux :
J~=J~++J~−=n+q+~v++n−q−~v−
si on remarque maintenant qu’entre les porteurs positifs et négatifs il y a un changement de signe dans la charge et dans la vitesse,5les deux contributions sont en accord, elles sont parallèle et donc s’additionnent.
Nous avons dit au début de ce cours que la conservation de la charge électrique est une loi fondamentale de la nature à laquelle aucune exception n’a jamais été trouvée. Maintenant, nous pouvons formaliser ses conséquences.
Considérons une surfaceSfermée dans laquelle il existe une chargeQ(t)à une instante donnée t.Si dans un certain intervalle de tempsdtla charge à l’intérieur de la surface diminue dedQ, alors pour le principe de conservation de la charge électrique on peut dire qu’une chargedQdoit être passée à travers la surfaceSpendant le tempsdt, ce qui revient à dire qu’un courant sortant de la surface doit s’écouler:
−dQ dt =
Z
S
J~·dS~
D’autre part, nous savons que la charge électrique peut être exprimée en termes d’une densité de charge :6
Q(t) = Z
V
̺(x, y, z, t)dV
4. La variation de vitesse est le produit de l’accélération fois l’intervalle de temps, et l’accélération à travers de laf~=m~a.
La force appliquée est donnée par le champ électrique, qui estf~=−e ~E.
5. Les charges positives et négatives sont dirigées dans des directions opposées par le même champ électrique.
6. Et s’il s’agit de charges ponctuelles isolées, la densité sera une distribution discrète.
4.2 - Densité de courant et équation de continuité 61
par conséquent, comme nous calculons le courant à travers une surface fixe : dQ
dt = Z
V
∂
∂t̺(x, y, z, t)dV
En appliquant le théorème flux-divergence à la densité de courant, nous avons : Z
S
J~·dS~ = Z
V
∇ ·~ J~=− Z
V
∂̺
∂tdV
et comme cette relation doit être valide pour chaque volume arbitraire il s’ensuit que les fonctions sous intégrale doivent être égales, d’où :
∇ ·~ J~+∂̺
∂t = 0 (4.6)
cette relation est appelééquation de continuité du courantet représente la formalisation mathématique du principe de conservation de la charge électrique.
En conditions stationnaires toutes les grandeurs électriques sont indépendantes du temps, dans ce cas particulier :
∇ ·~ J~= 0 à partir de laquelle, par intégration sur un volume arbitraire :
Z
V
∇ ·~ J d~ V= Z
S
J~·dS~ = 0
Un champ de vecteur qui bénéficie de cette propriété est appelésolénoïdal. Considérons maintenant un fil conducteur, celui-ci peut être considéré lui-même un tube de flux élémentaire du fait que les vitessesvdsont nécessairement parallèles à la surface du conducteur.7
S1
I~1 S2
~I2
S3
En appliquant la relation (4.6) dans le cas stationnaire à ce tube de flux : Z
S1
JdS~ 1+ Z
S2
JdS~ 2+ Z
S3
JdS~ 3= 0
Par définition,~vdest parallèle à la surface latéraleS3, par conséquent la contribution de la surface S3est nulle. Il s’ensuit :
Z
S1
JdS~ 1+ Z
S2
JdS~ 2=I~1+I~2= 0
à savoir que les courants~I1et~I2provenant des deux sections sont égaux et opposés. La direction des courants est supposée être la même pour les deux sections, alors nous pouvons établir queen conditions stationnaires, le courant qui traverse deux sections de n’importe quel conducteur est le même.8
Cette conclusion peut être généralisée au cas où plusieurs conducteurs convergent en un point N (point qui est appelénœud) :
7. Cela provient directement du fait que les charges ne peuvent pas quitter le conducteur.
8. Les contributions sont opposés car la normale aux surfacesdS1etdS2sont opposés. Lors que nous considérons que concrètement le courant s’écoule toujours dans la même direction, et donc prenons le sens inversé de la normale pour l’une de deux surfaces, il s’ensuit que le courant qui traverse les deux surfaces est le même.
I1
I2 I3
I4
N S
et en fait si nous choisissons la surfaceSpour calculer le flux deJ~, nous avons : Z
S
J~1dS+ Z
S
J~2dS+ Z
S
J~3dS+ Z
S
J~4dS= 0
doncI1+I2+I3+I4= 0. Ce résultat constitue la première loi de Kirchhoff des circuits électriques et se formule en disant queen conditions stationnaires la somme algébrique des courants entrants et sortants dans un nœud est nulle, avec la convention que les courants soient considérés avec un signe différent selon qu’ils sont entrants ou sortants.
Cette loi a une importance fondamentale dans la résolution des circuits électriques etcorrespond à la conservation de la charge électrique.