Olympiodore doit donc montrer que l’arc-en-ciel est circulaire, puisqu’il a la forme d’un demi-cercle ou moins. Partant du cas où le soleil est sur l’horizon, il décompose la démonstration en différents points :
152 Ibid., p. 244.6-11. 153 Ibid., p. 244.11-22. 154 Ibid., p. 244.22-28.
155 Aristote, « De Sensu », 439b16-440a-15 et 440a30-440b-25, in Petits traités d’histoire naturelle, éd. R. Mugnier, Paris : CUF, Les Belles Lettres, 1953, p.29-30 et 31-32.
156 Olympiodore, op. cit., p. 244.28-32. 157 Ibid., p. 244.32-245.3.
_ La démonstration comporte plusieurs lacunes, mais il est clair qu’Olympiodore cherche à démontrer l’unicité du point M sans passer par le théorème d’Apollonius, pour un point K différent du centre de l’horizon :il part d’un demi-cercle HMN de diamètre HN, il
choisit un point Λ sur le demi-cercle (et non plus P comme chez Aristote), choisit sur le diamètre un point K, différent du centre du diamètre, tel que HK > KN, puis trace HM, MK et HΛ, ΛΚ. Il démontre par
l’absurde que HM/MK n’est pas égal à HΛ/ΛK159. Olympiodore pose ainsi un jalon pour la suite de la démonstration.
_ Ensuite, il lui faut montrer pour quelle raison l’arc-en-ciel présente une forme circulaire, puis pourquoi il s’agit précisément d’un demi-cercle. Olympiodore part de définitions différentes de celles de la démonstration précédente :
Le point K est maintenant le centre de l’horizon, où se trouve placé l’œil, H est le soleil et MN le nuage. Au point K, l’angle est obtus, précision importante puisqu’elle détermine la position de l’arc-en-ciel opposée à celle du soleil par rapport au sujet percevant et rappelle celle qui se trouvait dans la démonstration de la forme du halo. Le point Π est le pied de la hauteur issue de l’angle M.
Comme chez Aristote, pour obtenir la forme de l’arc, il faut faire tourner la droite HM autour de l’axe HΠ, un cône de révolution de sommet H se forme ainsi par assemblage de triangles semblables, le cas est quasiment le même que pour le halo, il reprend donc le même type de démonstration reposant sur les hauteurs des triangles pour expliquer les positions respectives du soleil, de l’observateur et de l’arc160.
159 Ibid., p. 245.23-246.12 : « ἐὰν ᾖ ἡµικύκλιον καὶ ἀχθῇ δι’αὐτοῦ ἡ διάµετρος καὶ ἐπὶ τῆς διαµέτρου ληφθῇ τι σηµεῖον, ὃ µή ἐστι κέντρον ἡµικυκλίου, ἀπὸ δὲ τοῦ συµείου ἐκείνου ἀχθῇ τις εὐθεῖα ἐπὶ τὴν περιφέρειαν καὶ ἀπὸ τῆς περιφερείας ἀχθήσεταί τις εὐθεῖα ἐπὶ τὸ πέρας τῆς διαµέτρου, ὡς ἐπὶ τὸ ζεῦξαι τὴν διάµετρον καὶ τὴν ἀπὸ τοῦ σηµείου ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἀχθεῖσαν εὐθεῖαν, ὥστ’εἶναι δύο εὐθείας ἐν αὐτῷ τῷ ἡµικυκλίῳ, ἄλλαι δύο εὐθεῖαι οὐ συσταθήσονται λόγον ἔχουσαι τὸν αὐτὸν ταῖς προτέραις ». 160 Ibid., p. 246.12-p. 247.22 : « τούτου τοῦ λήµµατος προληφθέντος ἀποδείκνυσιν ὁ φιλόσοφος τὴν αἰτίαν, δι’ἣν κυκλοτερὴς φαίνεται ἡ ἶρις καὶ διὰ τί ἡµικύκλιον, τὸν τρόπον τοῦτον· (…) καὶ ποιεῖ τὸ τρίγωνον τὸ ΚΜΗ ἀµβλεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τὸ Κ γωνίαν. ὅτι γὰρ ἀναγκαίως ἀµβλεῖά ἐστιν αὕτη, δῆλον, ἐπειδὴ µεταξύ ἐστιν ἡ ὄψις τοῦ τε ἡλίου καὶ τοῦ νέφους, ὑψηλότερον δὲ φαίνεται τὸ νέφος τοῦ ἡλίου διὰ τὸ τὸν ἥλιον πρὸς τῷ ὁρίαοντι εἶναι τέως· ἄλλως τε καὶ ὑπὸ µεγίστης εὐθείας ὑποτείνεται τῆς ΜH, ἥτις ἐστὶν ἀνάκλασις (…). Αἱ γὰρ καθετοι πᾶσαι τῶν τριγώνων ἐφ’ἓν σηµεῖον πεσοῦνται τὸ Π, ὅπερ ἐστὶ κέντρον τῆς ἴριδος· ἐκτὸς γὰρ τῶν τριγώνων πίπτουσιν αἱ κάθετοι αὐτῶν ἐπὶ τὸ Π σηµεῖον. Οὕτω µὲν οὖν κυκλικὸν σχῆµα ἀπολαµβάνει ἡ ἶρις ».
_ Olympiodore doit maintenant expliquer pourquoi la portion de cercle considérée est un demi-cercle. Il rappelle ici que l’observateur est placé au-dessus, le cercle du schéma représentant alors la surface de l’horizon sur terre, le triangle KMH se trouve donc dans un plan qui est le « sol de l’horizon » et Π est le centre de l’arc : l’arc, c’est-à-dire plus exactement le cône de révolution, coupe l’horizon en deux perpendiculairement (ὀρθῶς), selon l’explication d’Aristote161. Ensuite Olympiodore se réfère à un autre cône, le cône visuel des géomètres : puisque les rayons tombent sur le nuage en cône, ils sont aussi réfléchis en cône, c’est une première raison qui fait que l’arc est circulaire. Puisque l’horizon est semi-circulaire, il empêche les rayons de l’œil d’aller vers le bas : Olympiodore veut dire qu’ils ne peuvent pas plonger dans le sol, ils sont arrêtés par la terre, l’horizon n’est pas semi-circulaire, il s’agit d’une demi-sphère, puisqu’il est vu par le dessus162. Olympiodore a décomposé en deux temps la démonstration d’Aristote.
_ Comme il l’avait fait plus haut pour le halo, Olympiodore doit maintenant réfuter les contradicteurs d’Aristote, qui semblent placer l’œil à équidistance du soleil et du nuage en utilisant les explications qu’il avait données en introduction. Il y a ainsi deux possibilités163 : soit il faut prendre des horizons différents, soit il faut considérer que K est un point autre que le centre du diamètre où se trouve le centre de l’horizon. K « à la fois est et n’est pas le centre », puisqu’il correspond au centre O du troisième cercle dans la précédente explication, mais ne coïncide pas avec le centre de l’horizon appelé Z sur cette figure. Il montre d’abord par l’absurde que si K est le centre de l’horizon, si l’égalité des angles d’incidence et de réflexion est vérifiée, le rayon visuel se réfléchit vers l’œil du sujet percevant, le nuage se comporte comme un miroir, dans lequel l’observateur se voit164. Dans cette hypothèse, le 161 Ibid., p. 247.22-247.27 : « διὰ τί δὲ ἡµικύκλιον, ἀποδεικνύουσιν οὕτω· τὸ γὰρ ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐνεγράψαµεν τὸ ΚΜΗ τρίγωνον, ταὐτὸν δ’εἰπεὶν τὸ ἐµβαδὸν τοῦ ὁρίζοντος ἐκβαλλόµενον ὡς ἐπὶ τὸ κέντρον τῆς ἴριδος τὸ Π τέµνει δίχα τὸν κύκλον τὸν ἐκ τῶν τριγώνων γινόµενον. Καὶ ἐνταῦθα ἡµικύκλιον φαίνεται ἡ ἶρις· συµβαίνει γὰρ τὸ ἡµικύκλιον τῆς ἴριδος ὀρθῶς ἐφεστάναι τῷ ὁρίζοντι ». 162 Ibid., p. 247.27-248.5 : « ἔστι δὲ τοῦτο καὶ φυσικῶς νοήσαι· ἐπειδὴ γὰρ ἀπὸ τοῦ ὄµµατος αἱ ὄψεις κωνοειδῶς ἐκπέµπονται, ὡς ποιεῖν κῶνον µέγαν τὴν µὲν κορυφὴν ἔχοντα πρὸς τῷ ὄµµατι, τὴν δὲ βάσιν πρὸς τῷ ὁρατῷ, δῆλον ὅτι καὶ ἐπὶ τοῦ νέφους κωνοειδῶς προσπίπτουσι καὶ πρὸς τὸ νέφος· καὶ ἡ µὲν κορυφὴ τοῦ κώνου γίνεται τὸ ὄµµα, βάσις δὲ τὸ νέφος. ἐπειδὴ οὖν κωνοειδῶς καὶ κυκλοτερῶς προσπίπτουσιν αἱ ὄψεις τῷ νέφει, τούτου χάριν κυκλοτερὴς ἡ ἶρις φαίνεται. ἐπειδὴ κωνοειδῶς προσπίπτουσαι κωνοειδῶς καὶ ἀνακλῶνται πρὸς τὸν ἥλιον, διὰ τοῦτο µὲν κυκλοτερής· ἡµικύκλιον δ’ἐπειδὴ ὁ ὁρίζων κωλύει καὶ τὰς ἀκτῖνας τοῦ ὄµµατος χωρεῖν ἐπὶ τὸ κάτω ». 163 Ibid., p. 248.7-17 : « Φέρε δ’ἡµεῖς ἀπορήσωµεν πρὸς τὸ ὑπ’αὐτοῦ εἰσηµένον θεώρηµα. ἐπειδὴ γὰρ κέντρον εἶπε τὸ Κ τοῦ ὁρίζοντος, δῆλον ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Κ πρὸς τὸ ΜΝ νέφος προσπίπτουσα εὐθεῖα τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Κ. Καὶ ἴσον ἔσται τὸ διάστηµα τὸ ἀπὸ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τὸ ὄµµα τῷ διαστήµατι τῷ ἀπὸ τοῦ ὄµµατος ἐπὶ τὸ νέφος, ὅπερ ἄτοπον. Εἴρηται δὲ τούτου ἡ ἐπίλυσις ἐν τῷ περὶ τῆς ἅλω λόγῳ, ἔνθα διαφόρους ὁρίζοντας ἐλάβοµεν. ῥητέον δὲ καὶ νῦν ἑτέραν ἐπίλυσιν, ὅτι τὸ Κ καὶ κέντρον ἐστι καὶ οὐ κέντρον· κέντρον µὲν τοῦ παντός, ἐπειδὴ ὅπου ἂν ᾖ τὸ ὄµµα, ἐν κέντρῳ ἐστίν, οὐ κέντρον δὲ τοῦ ὁρίζοντος· οὐ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΚ τῇ ΚΜ. Μήποτε οὖν ὁ φιλόσοφος πρὸς τὸ πᾶν ἀπιδὼν κέντρον ἐκάλεσε τὸ Κ ». 164 Ibid., p. 248.18-26 : « ὅτι γὰρ οὐκ ἔστι τὸ Κ τοῦ ἐκκειµένου ὁρίζοντος κέντρον, δῆλον ἐντεῦθεν· εἰ γὰρ ἦν κέντρον, ἐκβαλλοµένη ἐπ’εὐθείας ἡ ΚΜ καὶ διάµετρος ἂν ἐγίνετο τοῦ ὁριζοντος· οὐκοῦν ἡµικύκλια ἂν ἦσαν τὰ
nuage est réduit au seul point M et se comporte comme un miroir placé de façon tangente au cercle. Puisque KM a été défini comme le diamètre (il s’agit en fait d’un rayon) du cercle, les angles formés avec la tangente sont droits. Dans la mesure donc où la réflexion se fait à angles égaux, le rayon visuel doit revenir à son point de départ.
Alors que dans le cas où K n’est pas le centre mais le point O de la figure de l’introduction qui utilise l’hypothèse des trois cercles, KM (c’est-à-dire KB sur cette figure) n’est pas le diamètre du cercle de l’horizon du soleil, il ne forme donc pas des angles droits avec la tangente au point M (c’est-à-dire B) et donc le rayon peut se réfléchir et tomber avec un angle de réflexion égal à son angle d’incidence sur le soleil165.
Il reprend plus loin la démonstration en restant plus près du texte d’Aristote :
Dans cette démonstration, Π n’est plus le centre de l’arc qui est O, mais devient le pôle du cercle et Olympiodore se concentre sur la démonstration de la position de Π sur le diamètre, mais non sur le cercle. Il en donne deux démonstrations, une qui est le fait des détracteurs d’Aristote et qui prend donc l’hypothèse absurde d’une égale distance de l’œil au soleil d’une part et au nuage de l’autre, puis en livre une qui lui est propre et lui permet de montrer qu’un tel positionnement de Π est possible si le point K n’est pas le centre du diamètre166.
Olympiodore doit enfin expliquer comme Aristote que quand le soleil est plus haut sur l’horizon, l’arc-en-ciel forme moins d’un demi-cercle. Il ne propose pas de démonstration géométrique, mais se contente d’expliquer que l’arc est coupé par l’horizon et de le faire comprendre en reprenant les points définis pour la figure précédente167. En effet, Olympiodore rappelle que l’horizon n’est pas fixe, mais, suivant l’enseignement de Ptolémée, τµήµατα. Εἰ δὲ ἡµικύκλια ἦσαν, ἴσαι ἂν ἦσαν αἱ γωνίαι αἱ πρὸς τῇ περιφερείᾳ γινόµεναι ὑπὸ τῆς ΚΜ. Καὶ ἐπειδὴ ἡ ἀνάκλασις πρὸς ἴσας γίνεται γωνίας, ἴσαι δ’εἰσὶν αἱ πρὸς τῇ ΜΚ ἀνακλάσεις, πρὸς τὸ Κ γενήσεται καὶ οὐ πρὸς τὸ Η, τούτεστι πρὸς αὐτὸ τὸ ὄµµα, ὡς ἑαυτὸν ἐνοπτρίζεσθαι ἐν τῷ νέφει ὥσπερ ἐπὶ τῶν κατόπτρων, καὶ οὐ πρὸς τὸν ἥλιον, ὡς γίνεσθαι τὴν ἶριν. ὥστε οὐκ ἔστι κέντρον τὸ Κ, εἴ γε µὴ ἐπ’αὐτῷ γενήσεται ἡ ἀνάκλασις ». 165 Ibid., p. 248.26-249.1 : « εἰ δὲ µὴ κέντρον τοῦ ὁρίζοντος τὸ Κ, ἐπεζεύχθη δ’ἀπ’αὐτοῦ πρὸς τὴν περιφέρειαν εὐθεῖα ἡ ΚΜ, ἐκβαλλοµένη ἡ ΚΜ οὐ γενήσεται διάµετρος τοῦ κύκλου. ἐπειδὴ δ’οὐκ ἐστι διάµετρος, οὐ τµηθήσεται ὁ κύκλος εἰς ἡµικύκλια, ἀλλ’εὑρεθήσεται θάτερον ἔλαττον ἡµικυκλίου. ἐπειδὴ οὖν εἰς ἄνισα τέτµηνται, αἱ πρὸς τῇ περιφερείᾳ γινόµεναι γωνίαι ὑπὸ τῆς ΚΜ ἄνισοι εὑρεθήσονται· ἡ µὲν γὰρ ἀµβλεῖα, ἡ δὲ ὀξεῖα. ἐπειδὴ οὖν ἄνισοί εἰσιν, ἡ δὲ ἀνάκλασις πρὸς ἴσας γίνεται, οὐ γενήσεται ἀνάκλασις πρὸς αὐτάς. Οὐκοῦν οὐ γίνεται ἀνάκλασις πρὸς τὸ Κ, τουτέστι πρὸς τὸ ὄµµα, ἀλλ’ἐκπεµποµένη ἡ ΚΜ καὶ ψαύουσα κύκλου, τουτέστι τοῦ ὁρίζοντος ἤτοι τοῦ ἐκεῖσε νέφους, καὶ ἀνακλωµένη ποιεῖ ἴσην γωνίαν ἄλλην τῇ ὑπὸ ΚΜΣ, τὴν ὑπὸ ΚΜΗ. Οὐκοῦν ἐπειδὴ αἱ ὑπὸ ΚΜΣ, ΚΜΗ ἴσαι εἰσίν, ἄνισοι δὲ αἱ ὑπὸ ΚΜΣ, ΚΜΘ, πρὸς µὲν τὸ Η γενήσεται ἡ ἀνάκλασις, ὑφ’ἧς γίνονται αἱ ἴσαι γωνίαι· πρὸς δὲ τὸ Κ οὐ γενήσεται, ἐπειδὴ ἀνίσους πεποίηκε γωνίας ἡ ΚΜ ». 166 Ibid., p. 255.19-258-5. 167 Ibid., p. 260.16-261.6.
prend six positions chaque jour, donc Aristote a raison de dire que l’horizon « s’enfonce » (καταπίνεται) quand le soleil est au zénith et l’arc-en-ciel ne peut pas se former168. Sur ce point également, Olympiodore prend soin de défendre Aristote.