A – Olympiodore et les déviances d’Alexandre d’Aphrodise

Le commentaire d’Olympiodore s’ouvre sur un arrière-plan polémique : il se propose de réfuter la thèse d’Alexandre d’Aphrodise selon laquelle certains phénomènes sont causés par ἔµφασις et d’autres par ὑπόστασις67, mais également une autre thèse qui attribue certains phénomènes à la réflexion (ἀνάκλασις) et d’autres à la réfraction (διάκλασις). Olympiodore accuse Alexandre d’Aphrodise de surinterpréter la phrase d’Aristote « πάντα γὰρ ἀνάκλασις ταῦτ’ἐστιν. ∆ιαφέρουσι δὲ τοῖς τρόποις καὶ ἀφ’ὧν, καὶ ὡς συµβαίνει τὴν ἀνάκλασιν γίγνεσθαι πρὸς τὸν ἥλιον ἢ πρὸς ἄλλο τι τῶν λαµπρῶν⁶⁸ ». Il prétend que les phénomènes sont appelés ἀνακλάσεις par homonymie, mais diffèrent selon le genre (κατὰ τὸ γένος), ce qui est manifestement forcer le texte⁶⁹. D’après Olympiodore, un certain Aphrodisien⁷⁰, enseigne non

67 Olympiodore, In Meteor., III. 2., p. 209.20-25 : « καὶ γὰρ ταῦτα τὰ τέσσαρα ἐπιχειρήµατα ἔχουσί τινα κοινωνίαν πρὸς ἄλληλα, οὐ µόνον ὅτι ἐκ τῆς ἀτµιδώδους ἀναθυµιάσεως ὑπάρχουσιν, ὡς ἄν τις ὑπολάβοι, <ἀλλὰ καὶ> ὅτι κοινῶς κατ’ἔµφασιν γίνονται καὶ οὐ καθ’ὑπόστασιν, εἰ καὶ τὰ µάλιστα τῷ Ἀλεξάνδρῳ δοκεῖ τινὰ µὲν αὐτῶν καθ’ὑπόστασιν γίνεσθαι, τινὰ δὲ κατὰ ἔµφασιν ». L’opposition κατ’ἔµφασιν / κατ’ὑπόστασιν, « en apparence » / « en réalité », n’est pas utilisée dans les Météorologiques, mais apparaît dans le traité d’Aristote,

Du monde, 4, 21, 395a29.

68 Aristote, Météorologiques, III-IV, éd. P. Louis, Paris : CUF, Les Belles Lettres, 1982, 372a18-20.

69 Olympiodore, op. cit., p. 225.11-24 : « Ἰδοὺ αὐτὸς Ἀριστοτέλης, ὦ Ἀλέξανδρε, βοᾷ, ὅτι ταῦτα πάντα κατὰ ἀνάκλασιν γίνονται. Πῶς οὖν σὺ λέγεις ὅτι τούτων τὰ µὲν κατὰ ἀνάκλασιν γίνονται, τὰ δὲ κατὰ διάκλασιν ; † καὶ εἰς ὁµώνυµον ἀνάκλασιν, καὶ πάντα µὲν λέγονται ἀνάκλασις ταῦτα κατὰ γένος· διαφέρουσι δέ, ὅτι τὰ µὲν ἀνάκλασει γίνονται, τὰ δὲ διακλάσει. Τοῦτο δ’ἠπατήθη ἐκ τοῦ εἰπεῖν τὸν Ἀριστοτέλην, ὅτι διαφέρουσι τοῖς τρόποις. ἐνόµισε γὰρ αὐτὸν λέγειν, ὅτι διαφέρουσι τῷ τὰ µὲν κατὰ ἀνάκλασιν γίνεσθαι, τὰ δὲ κατὰ διάκλασιν. † µὴ νοµίσῃς τὸ ἐπαγόµενον τὸ καὶ ἀφ’ὧν καὶ οἷς συµβαίνει, τουτέστι τὸ ἐφ’ἅ. ὃ γὰρ λέγει Ἀριστοτέλης, τοῦτ’ἔστιν, ὅτι διαφέρουσι τοῖς τρόποις τὰ κατὰ ἔµφασιν γινόµενα, ἀφ’ὧν µὲν γὰρ γίνονται λαµπρῶν, ὅτι τὰ µὲν ἀπὸ τοῦ ἡλίου µᾶλλον ἢ ἀπὸ τῶν ἀστέρων. ∆ιαφέρουσι δὲ πάλιν ἐφ’ἃ γίνονται νέφεσι, τῷ τὰ µὲν αὐτῶν ἐν ὁµαλοῖς καὶ ὁµοιοµερέσι γίνεσθαι νέφεσι, τὰ δὲ ἀνωµάλοις καὶ ἀνοµοιοµερέσιν, ὡς εἴρηται ».

70 Alexandre d’Aphrodise rapporte en effet que certains savants professaient cette opinion, cf. C. B. Boyer, art.

cit., p. 383-384 : « Philippus, the associate of Plato, he says, adduced in support of the theory the observation that as one approaches the rainbow, it also appears to approach, and that as an observer moves from side to side, so also does the bow move sideways in the same sens. This is precisely what takes place in the production of mirror-images. Were the rainbow seen by direct transmission, the opposite would take place : as the observer moves to the right, the object seen directly appears to go toward the left, and vice versa. Alexander cites others, qui autem circa Gemonum et Aelium sunt, who similarly use this argument in support of the reflection hypothesis : To those who approach the rainbow, it appears to approach ; to those who withdraw, it also appears to withdraw » ; Ibid., pp. 385-386 : « Della Porta, in his De refractione of 1593, reported categorically that it was Philippus Menaedeus (or Menedeus) who first gave an explanation of the rainbow based on refraction (…). Of more consequence is the fact that whereas Philippus was cited by Alexander in support of the reflection theory, della Porta refers to the observation of Philippus to confirm his own bizarre refraction theory. It is not entirely

seulement que l’arc-en-ciel est produit par διάκλασις alors que le halo l’est par ἀνάκλασις, mais aussi que la forme de l’arc est produite par ἔµφασις (en apparence) alors que ses couleurs le sont par ὑπόστασις (en réalité)71.

Pour Olympiodore qui suit de près Aristote, tous ces phénomènes sont uniformément causés κατ’ἔµφασιν et par un phénomène d’ἀνάκλασις. Il le démontre en deux parties, la première, traitée brièvement, prouve qu’il ne s’agit pas d’ὑπόστασις mais d’ἔµφασις. La seconde, montrant qu’il s’agit d’ἀνάκλασις et non de διάκλασις, est beaucoup plus longue car Olympiodore se livre là à un exposé complet d’optique géométrique.

a - Ἔµφασις ou ὑπόστασις ?

Il s’agit de déterminer si le halo est une image réelle ou une image artificielle, une illusion d’optique. Les arguments en faveur du fait que le halo se produit κατ’ἔµφασιν, c’est-à-dire que l’image produite n’a pas de réalité propre sont les suivants :

_1^er argument : la source de lumière et le halo sont toujours disposés en cercles concentriques, si le halo se produisait selon une ὑπόστασις, le soleil ou la lune ne devrait pas toujours être autour du centre du halo, mais selon les diverses dispositions de lieu dans lesquelles se trouve la vue (ὄψις), ou selon l’inclinaison de la terre. Olympiodore donne comme contre-exemple l’éclipse de soleil qui se produit κατ’ὑπόστασιν. La formation du halo nécessite que soient réunies un certain nombre de conditions⁷².

_ 2^e argument : si ces phénomènes se produisaient κατ’ὑπόστασιν, il faudrait que les nuages ne cessent pas d’être en mouvement autour du soleil et de la lune, ce qui n’est pas le cas. Ils n’ont pas de substance propre et ont besoin de la source de lumière pour se former⁷³.

_ 3^e argument : les nuages et l’air sont des substances trop instables pour constituer réellement, κατὰ ἀλήθειαν (= κατ’ὑπόστασιν), une forme mathématique parfaite, une telle forme se produit plutôt par ἔµφασις, Olympiodore indique que l’argument est courant74.

clear whether or not della Porta regarded Philippus, the associate of Plato, and Philippus Menaedeus as one and the same persone ; but available evidence definitely supports such an identification. (…) Then, too, a list by Suidas of the works of Philippus includes treatises on optics and meterology ». En rapprochant le texte d’Alexandre d’Aphrodise de la Souda, ce Philippe peut être identifié comme le disciple de Platon, Philippe d’Oponte à qui la Souda attribue deux traités d’optique et deux de catoptrique, cf. A. Merker, « Aristote et l’arc-en-ciel : enjeux philosophiques et étude scientifique », Archive for History of Exact Sciences, 56 (2002) p. 187. cf. Alexandre, In Meteor., p. 142.24 ; p.151.26 ; 152.18.

71 Olympiodore, op. cit., p. 210.15-18 : « ἐνταῦθα δὲ γενόµενος ὁ Ἀφροδισιεύς, οὐκ οἶδα τί παθών, τὴν µὲν ἶριν λέγει γίνεσθαι κατὰ διάκλασιν, τὴν δ’ἅλω κατὰ ἀνάκλασιν. Καὶ οὐ µόνον εἰς τοῦτο ἁµαρτάνει, ἀλλὰ καὶ τῆς ἴριδος τὸ µὲν σχῆµα λέγει κατὰ ἔµφασιν εἶναι, τὸ δὲ χρῶµα κατὰ ὑπόστασιν ».

72 Ibid., p. 210.23-31. 73 Ibid., p. 210.31-34. 74 Ibid., III. 2., p. 210.34.38.

b – Ἀνάκλασις ou διάκλασις ?

Olympiodore procède en deux temps, il se propose d’abord de rechercher si la vision est brisée en cas d’ἀνάκλασις et de διάκλασις. Il en donne deux exemples : la réflexion est le phénomène qui se produit quand l’observateur regarde dans un miroir : la vue est brisée. Cela est manifeste car on voit ce qu’on ne peut pas voir normalement, à savoir ce qui se trouve derrière nous⁷⁵. De même, le dégradé de couleur qui s’observe autour d’une lampe, semblable aux couleurs de l’arc-en-ciel, est-il produit par réflexion. Olympiodore évoque une échelle des couleurs allant de la brillance jusqu’au noir, comme étant un affaiblissement de la brillance d’une source de lumière : la lumière parvenant encore peu affaiblie aux yeux produit la couleur écarlate, puis à mesure qu’elle s’affaiblit, le vert, puis le pourpre, jusqu’à son affaiblissement complet qui engendre le noir⁷⁶. Cet affaiblissement de la vision, lié ici à la réflexion, est ainsi à l’origine des différentes couleurs de l’arc-en-ciel. Ces deux phénomènes sont destinés à montrer que la vue est brisée lorsque se produit la réflexion.

Pour montrer qu’il y a également brisure de la vision dans le cas de la réfraction (διάκλασις), Olympiodore rapporte l’expérience célèbre d’Archimède, relatif à l’objet placé dans un vase que l’on remplit d’eau, qui se trouve dans l’épitomé pourtant très succinct de Damianos de Larisse⁷⁷. Peut-être les deux auteurs l’ont-ils puisée à la même source.

Ayant montré que les deux phénomènes se produisent par brisure de la vision, Olympiodore donne trois différences entre la réflexion et la réfraction, d’inégale importance.

α – Différence « physique ».

La première différence est « physique » : dans le cas de la réflexion, l’observateur et la chose vue se trouvent dans le même plan et le miroir est placé en face d’eux deux, alors que, dans le cas de la réfraction, le « miroir », c’est-à-dire en réalité le dioptre, limite entre deux milieux différents, se trouve entre l’observateur et la chose vue⁷⁸.

75 Ibid., p. 211.3-9 : « οὕτως ἐν κατόπτρῳ ἐνορῶντες ὁρῶµεν πολλάκις, ἐφ’ἃ µὴ βλέποµεν, δηλονότι τῆς ὄψεως ἀνακλωµένης πρὸς αὐτὰ ἀπὸ τοῦ κατόπτρου. ἀλλ’ἐκεῖνα πάλιν ὁρῶµεν, ἃ µὴ δυνάµεθα ἰδεῖν, ὡς δηλοῦσι τὰ ὀπισθοφανῆ. † κάτοπτρα γὰρ ὀπίσθια λεγόµενα µὴ δυνάµενα χωρὶς κατόπτρου θεάσασθαι, δηλονότι διὰ τὸ κλώµενον τῆς ὄψεως ὡς πρὸς ἐκεῖνα γίνεται αὐτῶν ἡ ἀντίληψις ». 76 Ibid., p. 211.9-15 : « Πρὸς δὲ τούτοις κἀκ τούτου δῆλον, ὅτι ἐπειδὴ πολλάκις περὶ λύχνον ὁρῶµεν πρασινοειδῆ χρώµατα. Τὸ γὰρ λαµπρὸν τὸ ἐκ τοῦ φωτὸς προσγενόµενον τῇ ὄψει µήπω ἀµυδρωθὲν φοινικοῦν χρῶµα ποιεῖ· ἐπεὶ δὲ ἀµυδρούµενον ὁδεύει ἐπὶ τὸ µέλαν, καὶ τὰ χρώµατα δείκνυσιν. Οὕτω γοῦν µετὰ τὸ φοινικοῦν εὐθὺς πράσινον. εἶθ’ ἁλουργὸν χρῶµα δείκνυσιν ὡς ἤδη ἐξασθενῆσαν, ἢ καὶ ἴριδος σχῆµα, ἐπὰν ἀµελέστερον κατανοήσωµεν ». 77 Ibid., p. 211.18-23 : « ἄλλως τε καὶ Ἀρχιµήδης αὐτὸ τοῦτο δείκνυσιν, ὅτι κλᾶται ἡ ὄψις, ἐκ τοῦ δακτυλίου τοῦ ἐν ἀγγείῳ βαλλοµένου. ἐὰν γὰρ δακτύλιον ἐµβάλῃς ἐν ἀγγείῳ µὴ ἔχοντι ὕδωρ, οὐ φανήσεται σοι διὰ τὸ ἐπιπροσθεῖν τὸ σῶµα τοῦ ἀγγείου· εἰ δ’ἐµβάλῃς ὕδωρ, παρ’αὐτὰ φανήσεται τῆς ὄψεως ἐπὶ τὸ ὕδωρ προσπιπτούσης δίκην ἐνόπτρου καὶ ἐπὶ τὸν δακτύλιον † κυκλουµένου κατὰ διάκλασιν ». 78 Ibid., p. 211.24-29.

β – Différence « mathématique ».

La réflexion se réalise à angles égaux et la réfraction à angles obtus. Olympiodore est donc mieux renseigné que Damianos et, contrairement à ce dernier, le commentateur essaie de prouver cette différence au moyen de démonstrations géométriques.

(1) La réflexion. Étudiant la brisure de la vision dans le cas de la réflexion, Olympiodore livre une démonstration en deux parties de l’égalité des angles d’incidence et de réflexion. D’abord il présente un fait d’expérience facile à vérifier dans la vie quotidienne : si l’on considère trois points, l’un étant la chose vue, l’autre celui qui voit, le troisième sur le miroir, si l’on échange la place de la chose vue et de la personne qui voit, l’angle est le même (on suppose que le point considéré du miroir reste fixe)⁷⁹. Puis il énonce le principe physique qui explique l’égalité des angles : la nature ne fait rien en vain, elle choisit donc le chemin le plus court pour aller de l’œil au miroir puis à l’objet, et ce chemin le plus court est justement celui que réalise le rayon visuel quand son trajet se fait à angles égaux. Si les angles sont inégaux, le chemin est plus long⁸⁰. Enfin, Olympiodore se propose de démontrer ce principe géométriquement :

Hypothèses : AB : droite (miroir), Γ : l’observateur, ∆ : l’objet visible, Ε : le point où la vue est courbée. Traçons les droites ΓΕ et E∆.

Il faut démontrer que l’ange AEΓ est égal à l’angle ∆ΕΒ. Olympiodore procède par l’absurde : soit Z un autre point du miroir, sur lequel tombe la vision à angle inégal. Traçons les droites ΓΖ, Ζ∆, les angles formés sont inégaux : ΓΖΑ est plus grand que ∆ΖΕ. Olympiodore doit alors démontrer que la somme des droites ΓΖ et Ζ∆ est plus grande que la somme des droites ΓΕ et Ε∆. Traçons la perpendiculaire à AB issue de ∆, elle rencontre AB au point H et se poursuit jusqu’à Θ, de sorte que ∆Η = ΗΘ. Les angles au point H sont égaux (il s’agit d’angles droits). Traçons ΘΖ et ΘΕ81. Puisque ∆Η = ΗΘ, que l’angle ∆ΗΕ égal à

79 Ibid., p. 211.30-212.4 : « ὅτι ἡ ἀνάκλασις κατὰ ἴσας γίνεται γωνίας, δῆλον, ὅτι ἐπειδὴ τριῶν σηµείων ὄντων, ἑνὸς µὲν ἔνθα ἐστὶ τὸ ὁρῶµενον, ἑτέρου δὲ ἔνθα τὸ ὁρῶν, καὶ ἄλλου πάλιν ἔνθα τὸ κάτοπτρον, εἰ ἀµείψουσι τὸ ὁρώµενον ἐκεῖσε ἔνθα ἦν τὸ ὁρῶν, ἡ αὐτὴ πάλιν γενήσεται γωνία ἥτις καὶ πρότερον ἦν, ὅτε ἦσαν ἐν τοῖς οἰκείοις τόποις, καὶ οὔτε µείζων οὔτε ἐλαττων, δῆλον δ’ὅτι τοῦ κατόπτρου κατὰ τὸν ἀντικείµενον τόπον φυλαττοµένου [δέ] ».

80 Ibid., p. 212.4-13 ; ed. J. Henderson, in Greek Mathematics, II, Loeb : Harvard, 1941, p. 496-498 : « Ἐπειδὴ γὰρ τοῦτο ὡµολογηµένον ἐστὶ παρὰ πᾶσιν, ὅτι οὐδεν µάτην ἐργάζεται ἡ φύσις οὐδὲ µαταιοπονεῖ, ἐὰν µὴ δώσωµεν πρὸς ἴσας γωνίας γίνεσθαι τὴν ἀνάκλασιν, πρὸς ἀνίσους µαταιοπονεῖ ἡ φύσις, καὶ ἀντὶ τοῦ διὰ βραχείας περιόδου φθάσαι τὸ ὁρώµενον τὴν ὄψιν, διὰ µακρᾶς περιόδου τοῦτο φανήσεται καταλαµβάνουσα· εὑρεθήσονται γὰρ αἱ τὰς ἀνίσους γωνίας περιέχουσαι εὐθεῖαι, αἵτινες ἀπὸ τῆς ὄψεως [περιέχουσαι] φέρονται πρὸς τὸ κάτοπτρον κἀκεῖθεν πρὸς τὸ ὁρώµενον, µείζονες οὖσαι τῶν τὰς ἴσας γωνίας περιέχουσῶν εὐθειῶν ». 81 Ibid. p. 212.13-213.3 ; ed. J. Henderson, in Greek Mathematics, II, Harvard : Loeb, 1941, p. 498-500 : « Ὑποκείσθω γὰρ τὸ κάτοπτρον εὐθεῖά τις ἡ ΑΒ καὶ ἔστω τὸ µὲν ὁρῶν Γ, τὸ δ’ὁρώµενον τὸ ∆, τὸ δὲ Ε σηµεῖον τοῦ κατόπτρου, ἐν ᾧ προσπίπτουσα ἡ ὄψις ἀνακλᾶται πρὸς τὸ ὁρώµενον, ἔστω, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ, Ε∆. Λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνία ἴση ἐστι τῇ ὑπὸ ∆ΕΒ. Εἰ γὰρ µή ἐστιν ἴση, ἔστω ἕτερον σηµεῖον τοῦ κατόπτρου, ἐν ᾧ E ^B H A Z ∆ Γ Θ

l’angle ΘΗΕ et que HE est un côté commun aux deux angles, le triangle HΘΕ est égal au triangle ∆ΗΕ et les deux autres angles sont respectivement égaux l’un à l’autre (Euclide, i, 4). C’est pourquoi ΘΕ = Ε∆82.

De même, puisque H∆ = ΗΘ et l’angle ∆ΗΖ = ΘΗΖ, et que HZ est un côté commun aux deux triangles ∆ΗΖ et ΘΗΖ, le triangle ZH∆ est égal au triangle ΘΗΖ. C’est pourquoi ΘΖ = Ζ∆. Et puisque ΘΕ = Ε∆, EΓ leur est aussi égale. C’est pourquoi la somme des droites ΓΕ et Ε∆ est égale à la somme des droites ΓΕ et ΕΘ, donc ΓΘ est égale à la somme des droites ΓΕ, Ε∆. Et puisque dans tout triangle la somme de deux côtés est toujours plus grande que le côté restant (Eucl., i, 20), dans le triangle ΘΓZ, la somme des côté ΘΖ, ΖΓ est plus grande que le côté ΓΘ83.

ΓΘ = ΓΕ + Ε∆, ΘΖ + ΖΓ > ΓΕ + E∆. Or ΘΖ = Ζ∆, donc Ζ∆ + ΖΓ > ΓΕ + Ε∆. ΓΖ, Ζ∆ forment des angles inégaux, donc la somme des droites formant des angles inégaux est plus grande que la somme des droites formant des angles égaux⁸⁴. La preuve est substantiellement la même que celle d’Héron, à laquelle renvoie Damianos.

(2) La réfraction. Contrairement à son passage sur la réflexion, où Olympiodore se proposait de démontrer « διὰ γραµµικῆς ἀποδείξεως » que les angles selon lesquels la vue est brisée sont égaux, concernant la réfraction, il explique qu’il va « montrer » que les angles formés sont obtus (δείξοµεν, πῶς καὶ ἡ διάκλασις κατὰ ἀµβλείας γίνεται γωνίας85) :

προσπίπτουσα ἡ ὄψις πρὸς ἄνισους γωνίας ἀνακλᾶται, τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ, Ζ∆. δῆλον, ὅτι ἡ ὑπὸ ΓΖΑ γωνία µείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ∆ΖΕ γωνίας. Λέγω, ὅτι αἱ ΓΖ, Ζ∆ εὐθείαι, αἵτινες τὰς ἀνίσους γωνίας περιέχουσιν ὑποκειµένης τῆς ΑΒ εὐθείας, µείζονές εἰσι τῶν ΓΕ, Ε∆ εὐθειῶν, αἵτινες τὰς ἴσας γωνίας περιέχουσι µετὰ τῆς ΑΒ. ἤχθω γὰρ κάθετος ἀπὸ τοῦ ∆ ἐπὶ τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Η σηµεῖον καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ’εὐθείας ὡς ἐπὶ τὸ Θ. Φανερὸν δὴ ὅτι αἱ πρὸς τῷ Η γωνίαι ἴσαι εἰσίν· ὀρθαὶ γὰρ εἰσι. καὶ ἔστω ἡ ∆Η τῇ ΗΘ ἴση, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΖ καὶ ἡ ΘΕ. Αὕτη µὲν ἡ κατασκευή ».

82 Ibid., p. 213.3-8 ; ed. J. Henderson, in Greek Mathematics, II, Harvard : Loeb, 1941, p. 500 : « ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ∆Η τῇ ΗΘ, ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ∆ΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΗΕ γωνίᾳ ἴση ἐστί, κοινὴ δὲ πλευρὰ τῶν δύο τριγώνων ἡ ΗΕ, [καὶ βάσις ἡ ΘΕ βάσει τῇ Ε∆ ἴση ἐστι, καὶ] τὸ ΗΘΕ τρίγωνον τῷ ∆ΗΕ τριγώνῳ ἴσον ἐστί, καὶ <αἱ> λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις εἰσὶν ἴσαι, ὑφ’ἃς αἱ ἴσαι πλευπαὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἡ ΘΕ τῇ Ε∆ ».

83 Ibid., p. 213.8-16 ; ed. J. Henderson, op. cit., p. 500-502 : « πάλιν ἐπειδὴ τῇ ΗΘ ἴση ἐστὶν ἡ Η∆ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ∆ΗΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΗΖ ἴση ἐστί, κοινὴ δὲ ἡ ΗΖ τῶν δύο τριγώνων τῶν ∆ΗΖ καὶ ΘΗΖ, [καὶ βάσις ἄρα ἡ ΘΖ βάσει τῇ Ζ∆ ἴση ἐστί, καὶ] τὸ ΖΗ∆ τρίγωνον τῷ ΘΗΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΖ τῇ Ζ∆. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΕ τῇ Ε∆, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΓ. ∆ύο ἄρα αἱ ΓΕ, Ε∆ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΘ ἴσαι εἰσίν. ὅλη ἄρα ἡ ΓΘ δυσὶ ταῖς ΓΕ, Ε∆ ἴση ἐστί. Καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς µείζονές εἰσι πάντῃ µεταλαµβανόµεναι, τριγώνου ἄρα τοῦ ΘΖΓ αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΘΖ, ΖΓ µιᾶς τῆς ΓΘ µείζονές εἰσιν ».

84 Ibid., p. 213.16-21 ; ed. J. Henderson, op. cit., p. 502 : « ἀλλ’ἡ ΓΘ ἴση ἐστὶ ταῖς ΓΕ, Ε∆· αἱ ΘΖ, ΖΓ ἄρα µείζονές εἰσι τῶν ΓΕ, Ε∆. ἀλλ’ἡ ΘΖ τῇ Ζ∆ ἐστὶν ἴση· αἱ ΖΓ, Ζ∆ ἄρα τῶν ΓΕ, Ε∆ µείζονές εἰσι. Καί εἰσιν αἱ ΓΖ, Ζ∆ αἱ τὰς ἀνίσους γωνίας περιέχουσαι· αἱ ἄρα τὰς ἀνίσους γωνίας περιέχουσαι µείζονές εἰσι τῶν τὰς ἴσας γωνίας περιεχουσῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι ». 85 Ibid., p. 213.9-214.9 : « Φέρε δὲ δείξωµεν, πῶς καὶ ἡ διάκλασις κατὰ ἀµβλείας γίνεται γωνίας. Ὑποκείσθω γὰρ ὕδωρ εἶναι τὸ ΑΒ, τὸ δὲ ὁρῶν τὸ Γ, αἱ δὲ ἀκτῖνες αἱ τῷ ὕδατι προσπίπτουσαι ἀπὸ τῆς ὄψεως αἱ ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΓΑ, ΓΒ ἐπ’ἄπειρον. Καὶ ἀπὸ τῶν ΑΒ σηµείων, ἔνθα αἱ ἀκτῖνες προσπίπτουσι τῶ ὕδατι, ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς γωνίας τῇ ΑΒ ἡ ∆Α καὶ ἡ ΕΒ· αὗται δ’ἔστωσαν νοηταί. Φανερὸν δή, ὅτι αἱ ἀκτῖνες οὔτε ἐπ’εὐθείας χωροῦσι διὰ τὸ ἐµποδίζεσθαι ὑπὸ τοῦ ὕδατος (οὐ γὰρ ἀνεκλῶντο, εἰ ἐπ’εὐθείας ἐχώρουν ἐν τῷ ὕδατι), οὔτε µὴν πρὸς ὀρθὰς κλῶνται· τί γὰρ τὸ ἀναγκάζον ; λείπεται πρὸς λοξὰς γωνίας κλᾶσθαι. Οὐκοῦν ἀπὸ τῶν ΑΒ σηµείων µεταξὺ τῶν ἐπ’εὐθείας ἐκβεβληµένων καὶ τῶν Α∆, ΒΕ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ’εὐθείας αἱ ΑΖ, ΒΗ. Φανερόν, ὅτι αὗται λοξὰς γωνίας περιεχουσι, καὶ εἰσιν ἀπὸ τῆς ὄψεως πεµπόµεναι αἱ ἀκτῖνες καὶ διεισδύνουσαι ἐν τῷ ὕδατι. Κατὰ λοξὰς ἄρα γωνίας γίνεται ἡ διάκλασις ».

Soient AB une étendue d’eau, Γ l’observateur, et ΓΑ et ΓΒ des rayons visuels tombant dans l’eau. Traçons les perpendiculaires à AB, A∆ et EB. Les rayons, entravés par l’eau, ne se propagent pas en ligne droite, ni à angle droit, mais à angle « oblique » (πρὸς λοξὰς γωνίας), à partir des points A et B, ils se propagent entre la ligne droite et les perpendiculaires Α∆ et BE, en ΑΖ et BH.

La démonstration vise à montrer que le rayon visuel passant à travers un dioptre est réfracté suivant un angle obtus, pour cela, il montre que l’angle de réfraction est compris entre la droite tracée dans le prolongement du rayon visuel à l’intérieur de l’eau et l’angle droit par rapport au dioptre (la normale au plan, segments A∆ et BE). Les angles ainsi produits sont dits « obliques » λοξάς, c’est-à-dire obtus, équivalent d’ἀµβλείας. Olympiodore n’évoque pas les mesures des angles de réfraction faites par Ptolémée

γ – « Autre » différence.

La troisième différence entre réflexion et réfraction consiste en ce que l’objet vu par réflexion paraît plus petit qu’il ne l’est en réalité, alors que l’objet vu par réfraction paraît plus grand : en effet, dans le cas de la réflexion, les rayons visuels convergent sur l’objet, alors que dans le cas de la réfraction ils divergent⁸⁶. Pour le cas de la réfraction, Olympiodore prend deux exemples : une petite pierre plongée dans l’eau paraît être grande, le soleil vu à travers le brouillard semble plus grand⁸⁷. Olympiodore met ces exemples au service de la thèse aristotélicienne : si l’arc-en-ciel ou le halo étaient produits par réfraction, le soleil paraîtrait plus grand au milieu de l’arc-en-ciel, la lune plus grande à cause du halo, or ce n’est pas le cas, donc ils sont produits par réflexion et non par réfraction. S’ils étaient causés par la réfraction, ils se produiraient entre nous et le soleil, en réalité ils se situent à l’opposé, deuxième preuve qu’ils n’ont pas lieu par réfraction d’après Olympiodore⁸⁸.

86 Ibid., p. 214.10-17 : « Αὕτη οὖν δευτέρα ἐστι διαφορὰ διακλάσεως καὶ ἀνακλάσεως, ὅτι ἡ µὲν πρὸς ἴσας γωνίας γίνεται, ἡ δὲ πρὸς ἀµβλείας. ἔστι δὲ καὶ ἑτέρα τρίτη διαφορά, ὅτι ἐπὶ µὲν τῆς ἀνακλάσεως ἔλαττον φαίνεται τὸ ὁρώµενον, ἐπὶ δὲ τῆς διακλάσεως µεῖζον. ἡ δὲ αἰτία τούτου ἐστιν, ὅτι ἐπὶ µὲν τῆς ἀνακλάσεως συνάγονται αἱ ἀκτῖνες πρὸς τὸ ὁρώµενον, ἐπὶ δὲ τῆς διακλάσεως διαχέονται. καὶ ὅτι µείζον φαίνεται τὸ ὁρώµενον ἐπὶ τῆς διακλάσεως δῆλον ». 87 Ibid., p. 214.17-25 : « ἰδοὺ γὰρ τὰ ἐν ὕδασιν ὁρώµενα λιθίδια µεγάλα δοκεῖ εἶναι, καὶ ὅσῳ ἐν βάθει κεῖνται, τοσούτῳ µείζονα δοκοῦσιν· ἀλλὰ καὶ ὁ ἥλιος ἀνίσχων δι’ὁµίχλης θεωρούµενος µείζων εἶναι δοκεῖ. Τούτων οὕτως έχόντων κατασκευάσωµεν, ὅτι κατὰ ἀνάκλασιν ταῦτα γίνονται καὶ οὐ κατὰ διάκλασιν, οὕτως· εἰ γὰρ κατὰ διάκλασιν ταῦτα ἐγίνοντο, ἔδει τὸν ἥλιον µείζονα φαίνεσθαι ἐπὶ τῆς ἴριδος καὶ τὴν σελήνην ἀπὸ τῆς ἅλω. ἀλλὰ µὴν οὐ φαίνονται µείζονες ἑαυτῶν· οὐκ ἄρα κατὰ διάκλασιν γίνονται, ἀλλὰ κατὰ ἀνάκλασιν. ἔπειτα δ’εἰ κατὰ διάκλασιν ἐγένοντο, ἐχρῆν εἶναι µεταξὺ τὴν ἶριν καὶ ἅλω τοῦ ἡλίου καὶ τῆς ἡµετέρας ὄψεως. ἀλλὰ µὴν ἐν τῷ ἐναντίῳ εἰσὶ τόπῳ· οὐκ ἄρα κατὰ διάκλασιν γίνονται, ἀλλὰ κατὰ ἀνάκλασιν ». 88 Ibid., p. 214.25-28. Γ A Β Η E ∆ Ζ

Olympiodore dresse une typologie des milieux susceptibles de produire un phénomène de réflexion : l’air, le brouillard, l’eau et les miroirs. Il énumère pour chaque milieu un certain nombre de phénomènes qui sont selon lui causés par la réflexion et non par la réfraction :

_ dans l’air, Olympiodore se réfère à un phénomène arrivé à Antiphéron de Tarente : sa vision était tellement faible qu’elle était repoussée par l’air qui se comportait alors comme un miroir, il voyait donc son propre reflet dans l’air⁸⁹. L’exemple est traité plus longuement chez Alexandre d’Aphrodise⁹⁰.

_ dans le brouillard : il cite le fait, déjà mentionné, qu’il est possible de voir des couleurs d’arc-en-ciel autour de la fumée noire, flamme fuligineuse d’une lampe. Il critique la validité d’un exemple donné par Aristote et met en avant le sien propre comme plus adapté⁹¹. Si les montagnes paraissent plus grandes à travers le brouillard et que leur pied semble émerger de l’eau à cause du même brouillard, ce phénomène est dû à la réfraction et non à la réflexion comme le pensait Aristote⁹². Olympiodore avait déjà cité le phénomène plus haut pour préparer cette explication du passage. C’est le seul point sur lequel Olympiodore remet en cause l’enseignement d’Aristote.

_ dans l’eau : il souligne que ce milieu ne produit pas seulement le phénomène de réfraction. Il est vrai que la surface de l’eau peut se comporter comme un miroir. Olympiodore indique comme exemple le fait que le soleil se reflète dans l’eau. Puisque celle-ci est à la fois continue et séparée en gouttes, parfois elle ne reflète que la couleur (à cause de la séparation en gouttes), parfois la couleur et la forme (à cause de sa continuité)⁹³.

89 Ibid., p. 230.13-18 : « ἀπὸ µὲν ἀέρος, ὥσπερ γέγονεν Ἀντιφέροντι τῷ Ταραντίνῳ οὕτω· οὗτος γὰρ ἀσθενεῖς ἔχων τὰς ὄψεις ἐκ τοῦ βαδίζειν αὐτὸν ἡ ἐκπεµποµένη αὐτοῦ ὄψις ψαύουσα τοῦ ἀέρος, ὡς κατὰ ἀντιτύπου τινὸς φεροµένη, δι’ἐσχάτην ἀσθένειαν ἀνεκλᾶτο πρὸς αὐτὸν. Καὶ ἐδόκει εἴδωλον ὁρᾶν αὐτῷ προσέχον διὰ τὸ ἐνοπτρίζεσθαι αὐτὸν ἐν τῷ ἀέρι καὶ ὁρᾶν ἑαυτόν ».

90 Alexandre d’Aphrodise, In Meteor., Γ. 4., p. 147.31-148-30.

91 Olympiodore, op. cit., p. 232.21-30 : « Παράδειγµα νῦν λέγει τῆς ἐκ τῆς ἀχλύος γινοµένης ἀνακλάσεως οὐκ ἀκριβές. Σηµεῖον γάρ, φησίν, ὅτι ἐκ τῆς ἀχλύος γίνεται ἡ ἀνάκλασις, ὅτι ἕωθεν τὰς ἄκρας τῶν ὀρέων, τουτέστι τὰ ἀκρωτήρια µείζονα ὁρῶµεν καὶ οἷον ἐπινηχόµενα τῇ θαλάττῃ ἀνεσπασµένα τῆς ῥίζης [τε] αὐτῶν. Καὶ ὅτι τὰ ἄστρα περὶ τὸν ὁρίζοντα µεγάλα ὁρώµενα, ταῦτα διακλάσεώς έστιν, οὐκ ἀνακλάσεως, ὦ Ἀριστότελες. Τὰ γὰρ δι’ὑγροῦ µείζονα φαινόµενα ἐκεῖνα κατὰ διάκλασιν ὁρᾶται. ἤ φαµεν, ὅτι ἔθος αὐτῷ καταφρονεῖν τῶν παραδειγµάτων. Αὐτὸς γὰρ πού φησι· ‘Ληπτέον δὲ βέλτιον τοὺς ὅρους’. Οὐκοῦν µᾶλλον παράδειγµα ληπτέον τῆς γινοµένης ἐκ τῆς ἀχλύος ἀνακλάσεως τῆν περὶ τοὺς λύχνους φαινοµένην ἶριν, ὡς εἴρηται ». 92 Ibid., p. 232.30-233.10 : « ἀλλ’ἐπειδὴ λόγος ἡµῖν γέγονε περὶ τῶν ἀκρωτηρίων, ζητητέον, ποίῳ λόγῳ φαίνονται ὡς ἀνεσπασµένα καὶ ἐπινηχόµενα τῇ θαλάττῃ ἕωθεν. ἐπειδὴ γὰρ ἀχλὺς κέχυται περὶ ταύτην (ἔστι γάρ, ἥτις ἐστὶ δίυργος), µᾶλλον δὲ περὶ τὰς ῥίζας αὐτῶν ἤπερ περὶ τὰ ἄκρα φαινοµένη, ἡ ἀκτὶς ἀπὸ τοῦ ὄµµατος ὥσπερ τις εὐθεῖα ἐπάνω τοῦ ὕδατος τῆς θαλάσσης προσπίπτει τῇ ἀχλύϊ ἐκείνῃ τῇ ὕδατώδει, ἥτις ἐστὶ πρὸς τῇ ῥιζῃ τοῦ ἀκρωτηρίου. Καὶ ἐπειδὴ κἀκείνη δίυγρός ἐστι, παράκειται δὲ καὶ τὸ ὕδωρ τῆς θαλάσσης, λανθάνει ἡ ὄψις διὰ τὴν ὁµοιότητα καὶ οἴεται καὶ αὐτὴν τὴν ἀχλὺν ὕδωρ. ἐπειδὴ πρὸς τῇ ῥίζῃ τοῦ ὄρους ἐστὶν ἡ ἀχλύς, ἀπατωµένη νοµίζει ἐπάνω τοῦ ὕδατος εἶναι τὸ ὄρος ».

93 Olympiodore, In Meteor., III. 3., p. 230.21-25 : « ἀλλὰ µὴν καὶ ἀπὸ ὕδατος ἀνάκλασις γίνεται καὶ οὐ µόνον διάκλασις συνεχοῦς τε ὄντος καὶ εἰς ῥανίδας διαιρεθέντος. ὁρῶµεν γὰρ πολλάκις τὸν ἥλιον ἐν ὕδατι συνεχοῦς τε αὐτοῦ ὄντος καὶ διῃρηµένου· ἀλλὰ ποῦ µὲν τὸ χρῶµα µόνον, ποῦ δὲ καὶ τὸ χρῶµα καὶ τὸ σχῆµα ».

Olympiodore prépare discrètement son exposé relatif à l’arc-en-ciel, qui requiert des gouttes séparées se comportant comme autant de petits miroirs.

_ dans les corps lisses, durs et transparents (« ἀπὸ στερεοῦ καὶ λείου καὶ διαφανοῦς σώµατος94 ») c’est-à-dire les miroirs : attribuant la réflexion comme cause à certains phénomènes qui se produisent dans les milieux transparents, il est amené à faire de cette caractéristique des corps diaphanes une propriété des miroirs.

Olympiodore est un fidèle gardien de la théorie d’Aristote suivant lequel le halo et l’arc-en-ciel étaient produits par réflexion et non par réfraction comme certains détracteurs le prétendent. Cependant, Olympiodore est obligé de donner tort à Aristote sur certains types de phénomènes que la recherche postérieure a attribué sans contestation possible à la réfraction.

Il ajoute trois éléments sur la genèse de ces phénomènes : _ le miroir doit être doté de trois caractéristiques, il est « πυκνὸν καὶ λεῖον καὶ διαφανές⁹⁵ » : dense pour ne pas laisser passer la lumière ; lisse et homogène de sorte qu’il ne se divise pas en plusieurs parties, « diaphane », pour que l’image de la chose vue y apparaisse. Les deux premières caractéristiques sont toujours présentes dans les traités d’optique géométrique, par exemple chez Héron⁹⁶, la troisième est une discrète tentative pour rattacher l’exposé à la théorie visuelle du De anima.

_ dans les miroirs de petite taille, la forme de la source de lumière n’apparaît pas, mais seulement sa couleur, puisqu’il n’y a pas la place. Le phénomène s’observe avec les gouttes d’eau, d’où la désignation de l’objet reflété comme τὸ λαµπρόν. Le principe est affirmé par Aristote dès le début du chapitre des Météorologiques, mais sous une forme plus générale (absence de la référence à une source de lumière).

_ l’objet brillant qui est vu est obscurci (ἀµαυρόν) à cause du nuage qui l’entoure ou à cause de l’affaiblissement progressif de la vision qui finit par ne plus percevoir que du noir. Le principe permet à Aristote d’expliquer les couleurs de l’arc-en-ciel et a déjà été évoqué plus longuement parmi les propriétés de la réflexion (il employait le verbe ἀµυδρόµενον).

94 Ibid., p. 230.13. 95 Ibid., p. 219.9-16 : « ἐπειδὴ γὰρ τῇ προτεραίᾳ ἐδιδάχθης, ὅτι ἀνακλᾶται ἡ ὄψις, δεῖ οὖν πρὸς ὃ γίνεται ἡ ἀνάκλασις, τουτέστι τὸ ἔνοπτρον, πυκνὸν εἶναι καὶ λεῖον καὶ διαφανές. Πυκνὸν µέν, ἵνα ὡς πρὸς ἀντίτυπον ἡ ὄψις φεροµένη µὴ διεισδύνῃ, ἀλλ’ἀνακλᾶται καὶ φέρεται πρὸς τὸ ὁρώµενον· λεῖον δὲ καὶ ὁµαλόν, ἵνα µὴ διαχῆται τραχέος ὄντος τοῦ κατόπτρου καὶ διαιρῆται, ἀλλ’ἵνα µένῃ συνεχής· διαφανὲς δέ, ἵνα ἐκεῖσε ἐµφαίνηται τὸ εἴδωλον τοῦ ὁρατοῦ ».

96 Héron, op. cit., p. 322 : « Politorum enim corporum natura existit in superficies ipsorum spissas esse. Specula

igitur ante politionem quidem habebant aliquas raritates, quibus radii incidentes non poterant repelli. Poliuntur autem attritione, quatenus loca rara impleantur a subtili substantia. Deinde sic incidentes radii spisso corpori repelluntur ».

Soucieux de la cohérence de son exposé, Olympiodore énumère les propriétés du miroir, en prenant toujours soin d’expliquer en quoi elles s’appliquent dans le cas de l’arc-en-ciel et du halo.

D’après le savant d’Alexandrie, les faits donnent raison à Aristote, il se propose donc de montrer que le Stagirite était bon géomètre et de répondre aux critiques qui ont été adressées à ses démonstrations géométriques⁹⁷, puis reprend brièvement les démonstrations d’Aristote pour montrer qu’elles sont correctes.