Le passage consacré par Aristote à la forme de l’arc-en-ciel est très difficile à interpréter, car très interpolé. Les insuffisances de ses démonstrations ont été pointées depuis longtemps121. Il comprend l’étude de deux cas : lorsque le soleil est sur l’horizon (1), puis lorsque le soleil est au zénith (2).
(1a) Aristote doit démontrer que, lorsque le soleil est à l’horizon, l’arc-en-ciel forme un demi-cercle. Le passage comporte plusieurs interpolations probables. L’une de ces interpolations, identifiée par Tannery, très longue et assez confuse, utilise un théorème des lieux plans, dit d’Apollonius, postérieur à Aristote, et semble extérieure à la démonstration. La deuxième démonstration relative au cas du soleil au zénith en fait l’économie, alors qu’Aristote écrit qu’il procède de la même manière, ce qui conforterait l’hypothèse de Tannery. Si l’interpolation utilisant le théorème d’Apollonius est mise à part et que l’on garde
120 Olympiodore, op. cit., p. 222.29-223.3 : « Πάλιν ζητητέον, τί δήποτε κρίκος φαίνεται ἡ ἄλως καὶ µὴ τύµπανον συνεχές. ἢ ῥητέον, ὅτι ἡ κατὰ κάθετον ἐκπεµποµένη ἀκτὶς ἀπὸ τοῦ ὄµµατος πρὸς τὴν σελήνην ἐντὸς οὖσα καὶ δυναµικωτάτη τῶν ἄλλων πασῶν δίεισι τὸ πάθος ἀκλάστως. ὡσαύτως δὲ καὶ πλησίον αὐτῆς ἐκπεµποµένης εὐθεῖαι ἔρχονται ἄκλαστοι. Καὶ τούτου χάριν ἐν τῷ µέσῳ, ἐν ᾧ διέρχονται αἱ ἀκτῖνες ἄκλαστοι, οὐχ ὁρᾶται ἡ ἔµφασις, ἀλλὰ τὸ ἀληθές· αἱ δ’ἐξωτέρω τῆς καθέτου πεµπόµεναι ἀκτῖνες καὶ διαχεόµεναι ἀσθενέστεραι γίνονται. Καὶ οὐ δύνανται διεξελθεῖν τὸ νέφος, ἀλλὰ κλῶνται, καὶ διὰ τοῦτο ἔµφασις γίνεται κρικοειδής ».
121 F. Poske, « Die Erklärung des Regenbogens bei Aristoteles », in Zeitschrift für Mathematik und Physik,
Historisch-literarische Abtheilung, XXVIII (1883) pp. 134-38 ; P. Tannery, “Aristote, Météorologie, livre III, ch. 5”, Revue de philologie, IX (1886) pp. 38-46 ; Th. Heath, Mathematics in Aristotle, Oxford : Clarendon Press, 1949, pp. 181-190 ; Plus près de nous, A. Merker s’est attachée à expliquer le choix que fait Aristote de l’ὄψις externe pour ses explications du halo et de l’arc-en-ciel alors que cette thèse est contraire à sa théorie. Cf. « Aristote et l’arc-en-ciel : enjeux philosophiques et étude scientifique », Archive for History of Exact Sciences, 56 (2002) pp. 183-238 et « La théorie de l’arc-en-ciel dans les Météorologiques d’Aristote (III, 2-5) » in Chr. Cusset (éd.), La Météorologie dans l’antiquité : entre science et croyance, actes du Colloque International interdisciplinaire de Toulouse, 2-3-4 mai 2002, (Mémoires / centre Jean Palerne, 25), Saint-Étienne : Publications de l’Université de Saint-Étienne, 2003, pp. 317-330.
en tête le fait que pour toute la fin du texte, l’interpolation recouvre le texte original, la démonstration d’Aristote peut être reconstituée122. Le résultat est le suivant :
Figure du Paris. gr. 1853, f. 164r : Le rayon visuel issu de K et tombant sur le nuage en M se réfléchit vers le soleil. Si l’on fait tourner le triangle HMK autour du diamètre HK, on obtient un cône de révolution. Soit O le pied de la hauteur issue de M. L’arc-en-ciel est donc le lieu des points constitués par la section de la sphère de l’horizon A produite par une sphère de centre O et de diamètre MN. Il s’agit donc de l’arc de cercle de diamètre OM coupant la sphère A. Reconstituée de cette façon, la démonstration présente une grande similitude avec celle du halo et avec la seconde partie de la démonstration sur la forme de l’arc-en-ciel quand le soleil est au zénith. Il est possible de penser que la démonstration du halo influence la démonstration de l’arc-en-ciel par sa brièveté, par l’utilisation intuitive qu’elle fait de la figure, et surtout par le fait qu’elle considère les angles d’incidence et de réflexion123 en utilisant les longueurs des segments qui en forment les côtés124.
122 Aristote, Métérologiques, cité d’après A. Merker, « Aristote et l’arc-en-ciel… », art. cit. pp. 210-212 et 216 : « ἔστω γὰρ ἐπ’ἀνατολῆς πρῶτον, οὗ τὸ Η. καὶ ἀνακεκλάσθω ἡ ΚΜ ἐπὶ τὸ Η, καὶ τὸ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω ἐν ᾧ ἡ Α, τὸ ἀπὸ τοῦ τριγώνου ἐν ᾧ τὸ ΗΚΜ. κύκλος οὗν ἡ τοµὴ ἔσται τῆς σφαίρας ὁ µέγιστος. ἔστω ὁ ἐφ’ᾧ Α. διοίσει γὰρ οὐδὲν ἂν ὁποιονοῦν τῶν ἐπὶ τῆς ΗΚ κατὰ τὸ τρίγωνον τὸ ΚΜΗ ἐκβληθῇ τὸ ἐπίπεδον. [Αἱ οὖν ἀπὸ τῶν Η Κ ἀναγόµεναι γραµµαὶ ἐν τούτῳ τῷ λόγῳ οὐ συσταθήσονται τοῦ ἐφ’ᾧ Α ἡµικυκλίου πρὸς ἄλλο καὶ ἄλλο συµεῖον· (…) δεδοµένης οὖν περιφερείας ἐφάψεται τὸ Μ. ἔστω δὴ αὕτη ἐφ’ἧς τὰ Ν Μ· ὥστε ἡ τοµὴ τῶν περιφερειῶν δέδοται. πρὸς ἄλλῃ δέ γε ἢ τῇ ΜΝ περιφερείᾳ ἀπὸ τῶν αὐτῶν σηµείων ὁ αὐτὸς λόγος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὐ συνίσταται (…)]. ἐὰν οὖν περιαγάγῃς τὸ ἡµικύκλιον τὸ ἐφ’ᾧ τὸ Α περὶ τὴν ἐφ’ᾗ Η Κ Π διάµετρον, αἱ ἀπὸ τοῦ ΗΚ ἀνακλώµεναι πρὸς τὸ ἐφ’ᾧ τὸ Μ ἐν πᾶσι τοῖς ἐπιπέδοις ὁµοίως ἕξουσι, καὶ ἴσην ποιήσουσι γωνίαν τὴν ΚΜΗ· καὶ ἣν ποιήσουσι δὲ γωνίαν αἱ ΗΜ καὶ ΜΠ ἐπὶ τῆς ΗΠ, ἀεὶ ἴση ἔσται. τρίγωνα οὖν ἐπὶ τῆς ΗΠ καὶ ΚΠ ἴσα τῷ ΗΜΠ καὶ ΚΜΠ συνεστήκασι. Τούτων δὲ αἱ κάθετοι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σηµεῖον πεσοῦνται τῆς ΗΠ καὶ ἴσαι ἔσονται. πιπτέτωσαν ἐπὶ τὸ Ο. κέντρον ἄρα τοῦ κύκλου τὸ Ο, ἡµικύκλιον δὲ τὸ περὶ τὴν ΜΝ ἀφῄρηται ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος » ; Ibid., pp. 222-226 : « Soit en effet d’abord l’astre à son lever, au point H, que la droite KM se réfléchisse vers H, et que soit étendu le plan dans lequel se trouve A, et qui est celui issu du triangle HKM. La section de sphère sera alors un cercle, à savoir un grand cercle. Qu’il soit celui qui est désigné par A ; il n’y aura en effet aucune différence quel que soit le plan que l’on étende à partir du triangle KMH, parmi les plans qui contiennent la droite HK. [Les lignes menées à partir des points H et K ne se combineront alors pas dans ce rapport en joignant des points différents du demi-cercle A. Le point M touche donc une circonférence donnée. Que celle-ci soit la circonférence NM ; par conséquent la section des circonférences est donnée. Or dans un même plan et à partir des mêmes points, le même rapport ne se constitue pas contre une autre circonférence que MN (…)]. Si donc on fait tourner le demi-cercle A autour du diamètre HKΠ, les lignes issues de H et K et réfléchies contre M seront disposées semblablement dans tous les plans, et formeront l’angle KHM égal. Et l’angle que feront HM et MΠ sur HΠ sera toujours égal. Ainsi, des triangles égaux aux triangles HMΠ et KMΠ ont été constitués sur ΗΠ et seront égaux. Qu’elles tombent sur le point O. O est donc le centre du cercle, et un demi-cercle, celui autour du diamètre MN est sectionné par l’horizon ».
123 Cependant, l’ecthèse, c’est-à-dire la description de la figure, suffit à prouver qu’Aristote n’utilise pas le principe d’égalité des angles d’incidence et de réfraction : KM est un rayon du cercle, soit H’K’ la tangente au cercle passant par M, alors KM est perpendiculaire à H’K’, l’angle KMK’ est un angle droit. Les points H et M
(1b) Après avoir reconstitué la démonstration d’Aristote en l’expurgeant de la très longue interpolation qu’elle comporte, il faut étudier l’utilité de cette interpolation qui fait partie du texte que les commentateurs avaient sous les yeux. Cette partie du texte est manifestement postérieure à l’époque d’Aristote puisque l’interpolateur y utilise le théorème des lieux plans, dit aussi théorème d’Apollonius125. C’est à la circonférence du cercle d’Apollonius, qui n’est jamais représentée dans les manuscrits d’Aristote, que fait référence le début de l’interpolation126.
L’interpolateur fait ensuite une vérification par l’absurde : il montre que pour un point P différent de M, le théorème d’Apollonius n’est pas vérifié. Dans le cas présent, P a été choisi de manière à ce que ΠP soit plus petite que ΠΜ et l’interpolateur ajoute que la démonstration peut s’effectuer de la même manière avec un point qui crée un segment plus grand que ΠΜ. L’utilité de l’introduction du théorème d’Apollonius dans la démonstration est discutable dans la mesure où il l’opacifie plus qu’il ne l’éclaire127. En outre, seule l’utilisation de ce théorème introduit la notion de rapport de longueur entre les rayons incidents et les
sont sur le cercle A, donc l’angle HMK est un angle aigu. L’angle H’MK est un angle droit, donc l’angle H’MH est un angle aigu. Donc H’MH, l’angle d’incidence est inférieur à l’angle KMK’ l’angle de réflexion.
124 Ibid., p. 223 : « Il aurait certes été plus court de ne considérer que les triangles isométriques HMK, et d’abaisser les hauteurs issues de M sur le diamètre HK. Peut-être que le fait que le point O tombe en dehors du triangle HMK (car l’angle en K est obtus) a-t-il poussé à cette solution détournée ; il est aussi possible qu’une sorte d’attraction opérée par la première démonstration du halo soit la cause de ce léger détour. Il faut d’ailleurs noter que cette première démonstration du halo soit la cause de ce léger détour. Il faut d’ailleurs noter que cette première démonstration influe encore autrement sur la manière dont la démonstration présente est menée : elle permet de l’abréger. Ici Aristote ne se donne plus la peine de préciser que toutes les hauteurs sont dans un même plan, ni que l’unicité de ce plan est due aux angles droits que forment toutes ces hauteurs avec la base des triangles. Cela a été fait dans le cas du halo, et il est inutile de le repréciser ».
125 Ibid., p. 212, n. 97 : « pour deux points fixes A et B donnés, et pour un rapport donné entre deux segments de droites inégaux, tout point M tel que AM / BM soit identique au rapport donné est situé sur la circonférence d’un cercle, dit ‘cercle d’Apollonius’ ».
126 Aristote, Météorologiques, cité à partir d’A. Merker, art. cit., pp. 212-213 : « ∆εδοµένης οὖν περιφερείας ἐφάψεται τὸ Μ. ἔστω δὴ αὕτη ἐφ’ἧς τὰ Ν Μ· ὥστε ἡ τοµὴ τῶν περιφερειῶν δέδοται. Πρὸς ἄλλῃ δέ γε ἢ τῇ ΜΝ περιφερείᾳ ἀπὸ τῶν αὐτῶν σηµείων ὁ αὐτὸς λόγος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὐ συνίσταται. ἐκκείσθω οὖν τις γραµµὴ ἡ ∆Β, καὶ τετµήσθω ὡς ἡ ΜΗ πρὸς ΜΚ ἡ ∆ πρὸς Β, µείζων δὲ ἡ ΜΗ τῆς ΚΜ, ἐπείπερ ἐπὶ τὴν µείζω γωνίαν ἡ ἀνάκλασις τοῦ κώνου· ὑπὸ γὰρ τὴν µείζω γωνίαν ὑποτείνει τοῦ ΚΜΗ τριγώνου. Μείζων ἄρα καὶ ἡ ∆ τῆς Β. Προσπεπορίσθω οὖν πρὸς τὴν Β, ἐφ’ἡς τὸ Ζ· ὥστ’εἶναι ὅπερ τὴν ∆ πρὸς τὴν Β, τὴν ΒΖ πρὸς τὴν ∆. εἶτα ὅπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν ΚΗ, ἡ τὸ Β πρὸς ἄλλην πεποιήσθω τὴν ΚΠ, καὶ ἀπὸ τοῦ Π ἐπὶ τὸ Μ ἐπεζεύχθω ἡ τὸ ΜΠ. ἔσται οὖν τὸ Π πόλος τοῦ κύκλου, πρὸς ὃν αἱ ἀπὸ τοῦ Κ γραµµαὶ προσπίπτουσιν· ἐσται γὰρ ὅπερ ἡ Ζ πρὸς ΚΗ, καὶ ἡ Β πρὸς ΚΠ, καὶ ἡ ∆ πρὸς ΠΜ » ; « Le point M touche donc une circonférence donnée. Que celle-ci soit la circonférence NM ; par conséquent la section des circonférences est donnée. Or dans un même plan et à partir des mêmes points le même rapport ne se constitue pas contre une autre circonférence que MN. Soit donc proposée une certaine ligne ∆Β ; qu’elle soit divisée de sorte que la ligne ∆ soit à la ligne B comme MH est à MK. Mais MH est plus grande que KM, puisque la réflexion du cône se fait sur le plus grand angle ; MH sous-tend en effet le plus grand angle du triangle KMH. ∆ est donc plus grande que B. Qu’on ajoute à B la ligne Z, en sorte que la ligne B + Z soit à ∆ ce que ∆ est à B. Ensuite, qu’il soit fait que ce que Z est à KH, B le soit à une autre ligne KΠ, et qu’à partir de Π jusqu’à M soit jointe la ligne MΠ. Π sera alors le pôle du cercle contre lequel tombent les lignes issues de K ; car ce que Z est à KH, B le sera à KΠ, ainsi que ∆ à ΠM ».
127 A. Merker, art. cit., p. 227 : « Ce qui est apporté par cette interpolation, c’est manifestement la détermination du point Π comme centre du cercle des lieux plans, et de ΠΜ comme rayon de ce cercle. On admettra facilement que cela n’a aucune nécessité vis-à-vis de la démonstration de la forme de l’arc-en-ciel ».
rayons réfléchis128. Différents auteurs modernes ont pris ce rapport de longueur pour une loi physique qui serait un substitut de la loi des angles égaux qui est à la base de la réflexion. Certains ont même voulu en conclure que cette loi était connue d’Aristote129, D’autres, s’appuyant notamment sur la figure accompagnant la démonstration sur la forme du halo, pensent qu’il ne la connaissait pas130. Il semble que l’interpolation plus tardive ait pour fonction de faciliter l’équivoque et d’induire le lecteur à penser qu’Aristote respectait ce principe d’égalité des angles. Les copistes auraient ainsi tenté de « mettre à jour » le texte d’Aristote, phénomène courant avec les textes mathématiques.
(2) Aristote examine ensuite la forme de l’arc-en-ciel, lorsque le soleil est au-dessus de l’horizon. Il forme alors un arc de cercle inférieur au demi-cercle131. La figure du manuscrit
128 A. Merker, art. cit., p. 226 : « cette tentative de démontrer l’unicité du point M pour un rapport donné entre deux segments de droite met en avant une notion qui n’a pas de pertinence dans la théorie aristotélicienne de l’arc-en-ciel : la notion du rapport entre le rayon incident et le rayon réfléchi, alors que la seule considération pertinente pour la théorie de l’arc-en-ciel est celle de la longueur totale du chemin de réflexion ».
129 A. M. Sayili, “The Aristotelian Explanation of the Rainbow”, in Isis, XXX (1939) p. 76, a émis l’hypothèse qu’Aristote la connaissait, mais n’avait pas besoin de l’appliquer précisément dans son explication : « He [Aristotle] knows that there is a law according to which reflection takes place, but he does not know, and also, perhaps does not feel the need of knowing the specific form of the law itself » ; C. B. Boyer, « Aristotelian References to the law of Reflection », in Isis, 36 (1945-46), partage ce point de vue car Aristote utilise des considérations analogues en acoustique et en mécanique. Son absence surprenante dans cette démonstration s’expliquerait par la distinction nette faite par Aristote entre deux types de réflexion, celle qui a lieu dans un miroir, tel qu’on le conçoit de nos jours et celle qui a lieu dans les gouttes d’eau du nuage, miroirs si petits qu’ils n’ont la capacité de réfléchir que les couleurs et non les formes. Cette deuxième catégorie de réflexion ne nécessiterait pas de respecter la loi des angles égaux, c’est pourquoi les démonstrations d’Aristote y contreviennent si manifestement : « However, the apparent inconsistency is more readily understandable if one keeps in mind Aristotle’s clear-cut distinction between two types of reflection. The rainbow is explained as a reflection, not from a smooth mirror, but from a cloud. Hence the light of the sun is « seen on the uneven mirror », and the reflection in this case is of the type that causes color rather than images. Probably he thought the strict mathematical law held only for images (…).The quantitative principle in such cases therefore is not explicitly stated ; but considerations in analogous acoustic and mechanical situations make it clear that the optical law was indeed known. », p. 93.
130 F. Poske, « Die Erklärung des Regenbogens bei Aristoteles », in Zeitschrift für Mathematik und Physik,
Historisch-literarische Abtheilung, XXVIII (1883) pp. 134-38. A. Merker, art. cit., p. 204-205, à propos de la figure accompagnant l’exposé sur le halo dans les manuscrits : « La figure est insatisfaisante dans la mesure où elle pourrait aussi illustrer un texte qui a affirmé que les segments n’étaient pas seulement égaux entre eux de manière séparée de part et d’autre du cercle de réflexion, mais aussi que les segments du côté de A étaient égaux aux segments du côté de B. Le texte n’interdit pas cette possibilité mais les données physiques suffisent à l’exclure, puisque l’œil est nettement plus proche du nuage que ne l’est le soleil. Une figure plus correcte correspondrait à celle-ci, qui a l’avantage d’exclure toute possibilité de voir dans l’explication d’Aristote l’application du principe d’égalité des angles d’incidence et de réflexion par rapport au plan du miroir. On voit en effet que toute la démonstration d’Aristote repose non sur des considérations portant sur l’égalité des angles que font les segments avec le plan du miroir, mais sur l’égalité de leurs longueurs. ».
131 Aristote, Météorologiques, cité à partir de A. Merker, art. cit., p. 217-218 : « Πάλιν ἔστω ὁ ὁρίζων µὲν ἐφ’οὗ τὸ ΑΚΓ, ἐπανατεταλκέτω δὲ τὸ Η, ὁ δ’ἄξων ἔστω νῦν ἐφ’τὸ ΗΠ. Τὰ µὲν οὖν ἄλλα πάντα ὁµοίως δειχθήσεται ὡς καὶ πρότερον, ὁ δὲ πόλος τοῦ κύκλου ὁ ἐφ’ᾧ Π κάτω ἔσται τοῦ ὁρίζοντος τοῦ ἐφ’ᾧ τὸ ΑΓ, ἀρθέντος τοῦ ἐφ’ᾧ τὸ Η σηµείου. ἐπὶ δὲ τῆς αὐτῆς ὅ τε πόλος καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ὁρίζοντος νῦν τὴν ἀνατολήν· ἔστι γὰρ οὗτος ἐφ’ᾧ τὸ ΗΠ. ἐπεὶ δὲ τῆς διαµέτρου τῆς ΑΓ τὸ ΚΗ ἐπάνω, τὸ κέντρον εἴη ἂν ὑποκάτω τοῦ ὁρίζοντος πρότερον τοῦ ἐφ’ᾧ τὸ ΑΓ, ἐπὶ τῆς ΚΠ γραµµῆς. ἐφ’οὗ τὸ Ο. ὥστ’ἔλαττον ἔσται τὸ ἐπάνω τµῆµα ἡµικυκλίου τὸ ἐφ’ᾧ ΨΥ· τὸ γὰρ ΨΥΩ ἡµικύκλιον ἦν, νῦν δὲ άποτέτµηται ὑπὸ τοῦ ΑΓ ὁρίζοντος. Τὸ δὴ ΩΥ ἀφανὲς ἔσται αὐτοῦ, ἐπαρθέντος τοῦ ἡλίου· ἐλάχιστον δ’, ὅταν ἐπὶ µεσηµβρίας· ὅσῳ γὰρ ἀνώτερον τὸ Η, κατώτερον ὅ τε πόλος καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἔσται » ; « De nouveau, soit l’horizon désigné par AKΓ, soit le point H élevé
Paris. Gr. 1853 est fautive, car l’arc de cercle ΩΨ est mal orienté et ΨΟ qui devrait être la hauteur issue de Ψ sur HΠ n’est manifestement pas perpendiculaire à HΠ. La figure fournie par H. P. D. Lee est plus conforme à l’exposé :
Aristote, Météorologiques, (Paris. gr. 1853), t. II, ed. P. Louis, Belles Lettres, p. 24 :
Aristote, Meteorologica, ed. H. P. D. Lee, Loeb, 1952, p. 279 :
L’exposé d’Aristote n’est pas exempt de contradiction. Ainsi, plus le soleil se rapproche de son zénith, plus la partie visible de l’arc-en-ciel est petite, ce qui ne peut se comprendre que si la longueur totale du chemin de réflexion est toujours la même. Cependant, les couleurs de l’arc-en-ciel sont liées à l’affaiblissement de l’émission visuelle proportionnelle à sa longueur, ceci serait le principe physique auquel Aristote fait allusion. Dans le cas de l’arc-en-ciel (contrairement à celui du halo), des chemins de réflexion de longueurs différentes sont possibles.