Olympiodore établit une liste de sept différences entre le halo et l’arc-en-ciel qui résume leurs diverses particularités105 :
Le halo : L’arc-en-ciel :
_ a la forme d’un cercle complet, _ n’excède jamais un demi-cercle, _ se trouve le plus souvent autour de la lune,
rarement autour du soleil,
_ se trouve le plus souvent autour du soleil, rarement autour de la lune,
_ apparaît le plus souvent la nuit, rarement le jour,
_ apparaît le plus souvent le jour, rarement la nuit,
_ apparaît lorsque l’astre est au zénith, rarement à l’horizon,
_ apparaît lorsque l’astre est à l’horizon, rarement au zénith, et plus à l’occident qu’à l’orient,
_ est unique, _ est double,
_ est monochrome : blanc, _ est tricolore : φοινικοῦς (rouge écarlate), πράσινος (vert) et ἁλουργής (violet, pourpre),
104 Ibid., p. 216.23-217.19 : « ἀλλ’ἵνα τῆς τοιαύτης αὐτὸν ἐλευθερώσωµεν ὑπονοίας, ἑτέρᾳ τινὶ χρησώµεθα καταγραφῇ. Οὐ γάς, ὡς ἐκεῖνοί φασι, τὰς ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ παντὸς ἐπὶ τὸν ἥλιον προσπιπτούσας εὐθείας ἴσας εἶναι ταῖς ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὸ νέφος προσπιπτούσαις εἶπεν Ἀριστοτέλης· τοῦτο γὰρ λίαν ἀνόητον. Οὔτε γὰρ τὸ κέντρον τοῦ παντὸς λαµβάνει, ἀλλὰ κέντρον ἕτερον ἑτέρου κύκλου νοητοῦ, ἐξ οὗ αἱ προσπίπτουσαι τῷ νέφει καὶ τῷ ἡλίῳ ἴσαι εἰσίν. Εἰλήφθω γὰρ ὁρίζων τοῦ νέφους κύκλος ὁ ΑΒΓ, κέντρον δὲ τοῦ παντὸς τὸ Ζ. ἔξωθεν δὲ τοῦ νέφους γεγράφθω ἄλλος κύκλος ὁ ΚΛΜ ἐµπεριέχων τὸν κύκλον τοῦ νέφους· καὶ ἔστω οὗτος ὁ ὁρίζων τοῦ ἡλίου ἤγουν ἡλιακὴ σφαῖρα. Καὶ µεταξὺ τοῦ ὁρίζοντος τοῦ ἡλίου ἕτερος ὁρίζων γεγράφθω νοητὸς ἐφαπτόµενος τῶν δύο ὁριζόντων, τοῦ τε νέφους καὶ τοῦ ἡλίου, καὶ ἔστω τούτου κέντρον τὸ Ο. Καὶ ἀπὸ τοῦ Ο κέντρου ἤχθωσαν εὐθεῖαι ἐφαπτόµεναι τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ὅς ἐστι τοῦ νέφους, καὶ τοῦ ΚΛΜ ὅς ἐστι τοῦ ἡλίου. Φανερόν, ὅτι αὗται αἱ εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν ἡ ΟΒ καὶ ἡ ΟΚ καὶ αἱ λοιπαί· ἀπόκεντροι γάρ εἰσι. ∆ῆλον ἄρα, ὅτι ταύτας λέγει Ἀριστοτέλης ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσας εἶναι καὶ πρὸς τὸν ἥλιον καὶ πρὸς τὸ νέφος· ἐκεῖνοι δὲ κατηγόρουν τοῦ φιλοσόφου ὡς τὴν ΖΒ τῇ ΖΚ ἴσην λέγοντος, ὅπερ οὐκ ἦν ἀληθές. ὡς γὰρ πρὸς τὸν νοητὸν ὁρίζοντα λέγει ταῦτα, † ὅνπερ ὁρίζοντα διὰ ἄφατον συντοµίαν ὡς ἐφαπτόµενον τῶν δύο ὁριζόντων. Ταῦτά εἰσι τὰ προτέλεια τῶν µελλόντων λέγεσθαι περὶ ἅλω καὶ ἴριδος. ἐπὶ τούτοις καταπαύσωµεν τὴν παροῦσαν θεωρίαν ». 105 Ibid., p. 217.27-218.35.
_ se forme quand les nuages sont semblables et ont des parties semblables.
_ se forme quand les nuages sont dissemblables et ont des parties dissemblables.
Cette liste est importante, car elle est l’enseignement le plus important que Psellos retient du commentaire d’Olympiodore et, par son intermédiaire, elle se répand dans le monde grec où se manifeste aux XIe et XIIe siècles une véritable vogue de traités de météorologie.
B - Le halo.
Après ces rappels, Olympiodore en vient plus précisément au cas du halo. Aristote décrit ce phénomène comme étant un cercle complet apparaissant autour de la lune. L’explication, très brève, qu’il donne de sa forme circulaire est purement géométrique106. La démonstration repose sur le postulat que les lignes visuelles brisées (par la réflexion) sont toujours égales entre elles, puisque « la vue se réfléchit de la même manière de tous les côtés », c’est-à-dire que non seulement la longueur du chemin parcouru par le rayon visuel est toujours la même, mais aussi que les rayons incidents sont égaux entre eux, de même que les rayons réfléchis. Il n’est pas question d’un rapport constant entre la longueur des rayons incidents et des rayons réfléchis et encore moins de l’égalité des angles d’incidence et de réflexion sans doute inconnue d’Aristote107. Seuls les points du miroir vérifiant ces égalités
106 A. Merker, « Aristote et l’arc-en-ciel : enjeux philosophiques et étude scientifique », Archive for History of
Exact Sciences, 56 (2002) pp. 203-204 : « Πῶς µὲν οὖν ἔχοντος τοῦ ἀέρος γίγνεται ἡ ἀνάκλασις, εἴρηται. ἀνακλᾶται δ’ἀπὸ τῆς συνισταµένης ἀχλύος περὶ τὸν ἥλιον ἢ τὴν σελήνην ἡ ὄψις· διὸ οὐκ ἐξ ἐναντίας ὥσπερ ἶρις φαίνεται. Πάντοθεν δὲ ὀµοίως ἀνακλωµένης ἀναγκαῖον κύκλον εἶναι ἢ κυκλου µέρος· ἀπὸ γὰρ τοῦ αὐτοῦ σηµείου πρὸς τὸ αὐτὸ σηµεῖον αἱ ἴσαι κλασθήσονται ἐπὶ κύκλου γραµµῆς ἀεί. ἔστω γὰρ ἀπὸ τοῦ σηµείου ἐφ’ ᾧ τὸ Α πρὸς τὸ Β κεκλασµένη ἥ τε τὸ ΑΓΒ καὶ ἡ τὸ ΑΖΒ καὶ ἡ τὸ Α∆Β· ἴσαι δὲ αὗται τε αἱ ΑΓ ΑΖ Α∆ ἀλλήλαις, καὶ αἱ πρὸς τὸ Β ἀλλήλαις, οἷον αἱ ΓΒ ΖΒ ∆Β· καὶ ἐπεζευχθω ἡ ΑΕΒ, ὥστε τὰ τρίγωνα ἴσα· καὶ γὰρ ἐπ’ἵσης τῆς ΑΕΒ. ἤχθωσαν δὴ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΑΕΒ ἐκ τῶν γωνιῶν, ἀπὸ µὲν τῆς Γ ἡ τὸ ΓΕ, ἀπὸ δὲ τῆς Ζ ἡ τὸ ΖΕ, ἀπὸ δὲ τῆς ∆ ἡ τὸ ∆Ε. ἴσαι δὴ αὗται· ἐν ἴσοις γὰρ τριγώνοις· καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ πᾶσαι· πρὸς ὀρθὰς γὰρ πᾶσαι τῇ ΑΕΒ, καὶ ἐφ’ἓν σηµεῖον τὸ Ε συνάπτουσι. κύκλος ἄρα ἔσται ἡ γραφοµένη, κέντρον δὲ τὸ Ε. ἔστι δὴ τὸ µὲν Β ὁ ἥλιος, τὸ δὲ Α ἡ ὄψις, ἡ δὲ περὶ τὸ ΓΖ∆ περιφέρεια τὸ νέφος ἀφ’οὗ ἀνακλᾶται ἡ ὄψις πρὸς τὸν ἥλιον » ; « On a dit l’état dans lequel se trouve l’air quand la réflexion se produit. Or la vue se réfléchit à partir de la vapeur condensée autour du soleil ou de la lune : c’est pourquoi le halo n’apparaît pas à l’opposé de l’astre comme l’arc-en-ciel. Mais la vue se réfléchissant pareillement de tous les côtés, il est nécessaire que le halo soit un cercle ou une partie de cercle : car à partir d’un même point en direction d’un même point, des lignes égales se fléchiront toujours sur une ligne circulaire. Soit en effet du point A vers le point B les lignes brisées AΓΒ, ΑΖΒ, Α∆Β ; or les lignes ΑΓ, ΑΖ, Α∆ sont égales entre elles, tandis que les lignes vers B le sont aussi entre elles, par exemple ΓΒ, ΖΒ, ∆Β. Qu’on joigne la ligne AEB, ce qui a pour conséquence que les triangles sont égaux ; et en effet, ils s’appuient sur la ligne AEB, qui est égale pour tous. Qu’on abaisse des perpendiculaires sur la ligne AEB à partir des angles, de l’angle Γ la perpendiculaire ΓΕ, de l’angle Z la perpendiculaire ZE, de l’angle ∆ la perpendiculaire ∆Ε. Elles sont certes égales : car elles sont dans des triangles égaux ; et elles sont toutes dans un seul plan, car elles sont toutes à angles droits avec la ligne AEB, et elles se rattachent toutes à un seul point, le point E. La ligne tracée sera donc un cercle, et le point E est son centre. Le point B est le soleil, le point A est la vue, la circonférence ΓZ∆ est le nuage à partir duquel se réfléchit la vision vers le soleil ».
107 Le nuage est placé beaucoup plus près de l’œil que du soleil, il ne peut donc y avoir égalité des angles d’incidence et de réflexion dans cette explication. A. Merker, art. cit., en déduit qu’Aristote ne connaissait pas la loi d’égalité des angles d’incidence et de réflexion. Il est également possible d’avancer que, comme Aristote fait
peuvent donner lieu à une image réfléchie, c’est pourquoi les points du nuage extérieurs au cercle ainsi dessiné ne peuvent pas provoquer une réflexion de l’image du soleil. Le halo est donc circulaire. Pour expliquer cette démonstration, Olympiodore procède par étapes :
_ Deux triangles parfaitement égaux entre eux (semblables) ont des hauteurs égales108. Pour démontrer cette évidence, il
utilise le théorème 26 du premier livre des Éléments d’Euclide109.
_ Il montre ensuite comment le halo peut être circulaire110 : ces triangles semblables entre eux ont une base non seulement égale, mais commune.
Dans le cas du halo, cette base commune à tous les triangles est le segment qui relie l’œil à la lune, qui est leur plus grand côté. Le sommet opposé à ce côté est un point du nuage. Comme les triangles sont égaux entre eux et ont la même base, les hauteurs tracées depuis le sommet opposé sont égales et tombent toutes sur un même point de la base, elles sont donc les rayons d’un cercle formé par les sommets de ces triangles opposés à la base. A ce point du raisonnement, Olympiodore, comme Aristote, ne prouve pas que les hauteurs se trouvent dans un même plan.
Pour cela, il aurait eu besoin de rappeler le théorème 5 du livre XI des Eléments d’Euclide111, comme le fait Alexandre d’Aphrodise dans son commentaire112, mais Olympiodore l’utilise lui aussi plus loin dans son exposé lemmatique113. Ainsi le halo est-il circulaire.
reposer son explication sur la longueur des lignes visuelles, il n’a pas besoin de raisonner sur les angles, dès lors cette explication ne préjuge pas de sa connaissance de cette loi.
108 Olympiodore, op. cit., p. 219.23-220.13.
109 Ibid., p. 220.6-11 : « δέδεικται γὰρ ἐν τῷ κστ θεωρήµατι τοῦ πρώτου βιβλίου τῆς Στοιχειώσεως, ὅτι ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκάτερον ἑκατέρου καὶ µίαν πλευρὰν µιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἔχει, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ ».
110 Ibid., p. 220.13-221.20.
111 Euclide, Eléments, vol. 4, livres XI-XIII « géométrie des solides », trad. B. Vitrac, Paris : PUF, 2001, XI, 5, p. 118 : « Si une droite est élevée à angles droits avec trois droites se touchant l’une l’autre sur leur section commune, les trois droites sont dans un plan et un seul ».
112 Alexandre d’Aphrodise, op. cit., p. 145.1-4 : « ἐὰν γὰρ εὐθεῖα πλείοσιν εὐθείαις πρὸς ὀρθὰς κατὰ ἓν σηµεῖον ᾖ, ἀνάγκη τὰς εὐθείας τὰς οὕτως οὔσας τῇ µιᾷ πρὸς ὀρθὰς ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ πάσας εἶναι, ὡς παρ’Εὐκλείδῃ δέδεικται ἐν τῷ ἑνδεκάτῳ τῶν Στοιχείων ».
113 Olympiodore, op. cit., p. 229.14-22 : « ἴσαι δὴ αὖται· ἐν ἴσοις γὰρ τριγώνοις (τοῦτο δ’εἶπεν, ἐπειδὴ δέδεικται, ὅτι ἐν ἴσοις τριγώνοις ἴσαι εἰσὶν αἱ κάθετοι) καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ πᾶσαι. ∆έδεικται γὰρ ἐν τῷ τετάρτῳ θεωρήµατι τοῦ ια’ βιβλίου τῆς Στοιχειώσεως, ὄτι ἐὰν εὐθεῖά τις εὐθείαις τισὶ τεµνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς τοµῆς ἐπισταθῇ καὶ τῷ ἑνὶ αὐτῶν ἐπιπέδῳ, ἴσαι εἰσὶ πᾶσαι αἱ κάθετοι ». Le numéro du théorème est erroné, il s’agit du théorème 5, le théorème 4 ne convient pas : Euclide, Eléments, vol. 4, livres XI-XIII « géométrie des solides », trad. B. Vitrac, Paris : PUF, 2001, XI, 4, p. 114 : « Si une droite est élevée à angles droits avec deux droites se coupant l’une l’autre sur leur section commune, elle sera aussi à angles droits avec le plan [passant] par elles ».
Olympiodore reprend donc la substance de la démonstration d’Aristote. Toutefois, il réutilise rapidement le raisonnement tenu précédemment qui contredit sa démonstration : les rayons visuels tombant sur le nuage sont tous égaux car ils ne tombent pas tous dans le même plan (le nuage a une profondeur), donc le rayon tombant perpendiculairement au nuage n’est pas le plus petit114, mais la démonstration repose sur des triangles égaux en tout point, dès lors, si les rayons tombant sur le nuage même égaux entre eux ne forment pas le même angle avec la droite reliant l’œil à la lune, la principale hypothèse de la démonstration est invalidée, à moins de concevoir le halo comme un ensemble de cercles placés à différentes distances de l’œil, ce qu’Olympiodore ne dit pas explicitement. Il montre d’ailleurs plus loin ce qui advient des rayons visuels qui tombent perpendiculairement au nuage.
Olympiodore tient mieux compte des données physiques qu’Aristote, puisqu’il prend soin de préciser que les triangles considérés ne sont pas isocèles, contrairement aux schémas qui accompagnent la démonstration d’Aristote dans les manuscrits, puisque la distance entre la lune et le nuage est beaucoup plus grande que celle qui existe entre l’œil et le nuage115, ce qui ne contredit pas la démonstration, mais la fait entrer en contradiction avec la loi d’égalité des angles qu’il a pourtant redémontré soigneusement plus haut.
_ Enfin il démontre que le halo a toujours la forme d’un cercle. Comme a été étudié précédemment le cas où les hauteurs tombent à l’intérieur des triangles considérés, Olympiodore montre que le halo est également circulaire dans le cas où les hauteurs tombent à l’extérieur.
D’abord, il montre que c’est le cas lorsque les côtés du sommet à partir duquel la hauteur est tracée forment un angle aigu116 (il avait en effet discrètement mentionné lors de la précédente démonstration que l’angle considéré était obtus).
Ensuite il montre que ce n’est pas possible dans le cas du halo, car cela contredit les données physiques : le côté sur lequel tombe la hauteur, c’est-à-dire la droite qui va de l’œil 114 Ibid., p. 220.35-221.4 : « δῆλον, ὅτι αἱ ἀπὸ τοῦ ὄµµατος ἐπὶ τὰ νέφη αἱ ΟΓ, Ο∆, ΟΖ, ΟΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ὡς δέδεικται τῇ προτεραίᾳ, ἐπειδὴ οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πίπτουσι· διαφέρουσι γὰρ ἀλλήλων τὰ νέφη τῇ θέσει, ὡς εἴρηται, καὶ διὰ τοῦτο οὐκ ἔστιν ἐλάττων ἡ κάθετος καὶ αἱ πρὸς τῇ καθέτῳ τῶν πλαγίων ». 115 Ibid., p. 221.5-6 : « Μείζους δ’αὗται εἰσιν αἱ ἀπὸ τοῦ νέφους πρὸς τὴν σελήνην τῶν ἀπὸ τοῦ ὄµµατος ἐπὶ τὰ νέφη ». 116 Ibid., p. 221.22-222-1 : « ἀλλ’ἐπειδὴ συνεχρησάµεθα ἐν τῇ ἀποδείξει, ὅτι αἱ κάθετοι ἐντὸς πίπτουσι τῶν τριγώνων (ἐπὶ τὴν βάσιν γὰρ τὴ αὐτὴν καὶ ἐπὶ τὸ αὐτὸ σηµεῖον), οὐκ ἀπεδείξαµεν δ’εἰ ἐκτὸς πίπτουσι, φέρε καὶ τοῦτο ἀνάγκαις δείξωµεν. ὅτι γάρ εἰσι τρίγωνα, ὧν αἱ κάθετοι ἐκτὸς πίπτουσι, δῆλον. ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἀνίσους ἔχον τὰς πλευράς, καὶ ἀπὸ τῆς Β κορυφῆς ἤχθω κάθετος ἡ Β∆. Λέγω, ὅτι ἡ Β∆ ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. Εἰ γὰρ µή, πιπτέτω ἐντὸς καὶ ἤχθω ἐπὶ τὸ Ε σηµεῖον. Φανερόν, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΕΓ ὀρθὴ γωνία ἐστί· πᾶσα γὰρ κάθετος ἐπ’εὐθεῖαν πίπτουσα τὰς ἐφεξῆς ὀρθὰς γωνίας ποιεῖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΕ γωνία µείζων ὀρθῆς, ἀµβλεῖα γάρ ἐστιν· ἡ γὰρ µείζων αὐτὴν πλευρὰ ὑποτείνει ἡ ΑΒ. Τριγώνου ἄρα τοῦ ΒΕΓ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΓΒ, ΒΕΓ δύο ὀρθῶν µείζονές εἰσιν, ὅπερ ἄτοπον. Οὐκ ἄρα ἐντὸς πεσεῖται ἡ Β∆ κάθετος, ὅπερ ἔδει δεῖξαι ».
au soleil, est toujours plus grande que celles qui relient le nuage à l’œil ou au soleil, l’angle à partir du sommet duquel la hauteur est tracée est donc obtus117. Olympiodore réinvestit ici des faits mentionnés à dessein dans la démonstration précédente. Cette démonstration nécessitait des considérations sur les longueurs relatives des différents côtés des triangles considérés, c’est pourquoi il a rappelé plus haut les données physiques qui fournissent ces informations (éloignement de l’œil au nuage, et au soleil), bien qu’elles contredisent de fait la loi d’égalité des angles d’incidence et de réflexion. Olympiodore a donc montré, fût-ce au mépris des acquis de l’optique géométrique, que, pour tout triangle vérifiant les conditions physiques, la hauteur tombe à l’intérieur du triangle et que le halo se trouve entre l’observateur et le soleil.
Il revient ensuite sur le fait que le halo est causé par réflexion et non par réfraction malgré la position du nuage servant de miroir entre le soleil et l’observateur. En effet, il avait mentionné en tant que différence physique le fait que dans la réfraction le dioptre se trouvait entre l’observateur et l’objet, ce qui tendrait à prouver que le halo est causé par réfraction. Cependant, indique Olympiodore, la lune et l’observateur sont dans un plan, le nuage dans un autre plan118, ce qui revient à considérer que les petites gouttes qui forment le nuage se comportent comme des miroirs perpendiculaires au nuage119.
Olympiodore explique pourquoi le halo n’a pas la forme d’un disque, mais d’un anneau : de tous les rayons visuels, celui qui tombe perpendiculairement au nuage est le plus fort (principe d’optique physique faux, mais très utilisé dans les textes d’optique antiques), il 117 Ibid., p. 222.1-21 : « ἐπειδὴ οὖν ἐδείξαµεν, ὅτι δυνατὸν κάθετον ἐκτὸς γωνίας πεσεῖν, φέρε δείξωµεν, ὅτι τῶν προκειµένων γωνιῶν ἐντὸς πίπτουσιν αἱ κάθετοι. ἐπειδὴ γὰρ ἐδείχθη, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ ὄµµατος ἐπὶ τὴν σελήνην ἐπιζευγνυµένη κάθετός ἐστι βάσις πάντων τῶν γεγενηµένων τριγώνων ἐκ τῶν πεµποµένων ὄψεων ἀπὸ τοῦ ὄµµατος ἐπὶ τὸ νέφος καὶ τὸν ἥλιον, αἱ δὲ ἀπὸ τοῦ ὄµµατος µέχρι τοῦ νέφους ἐλάττονές εἰσι τῶν ἀπὸ τοῦ νέφους ἐπὶ τὸν ἥλιον ἐκπεµποµένων, συµβαίνει σκαληνὰ γίνεσθαι τὰ τρίγωνα ἀνίσους ἔχοντα τὰς πλευράς. Οὐκοῦν ἐπειδὴ µεγίστη µέν ἐστι ἡ βάσις, ἐλάττων δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄµµατος ἐπὶ τὸ νέφος, µέση δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ νέφους πρὸς τὴν σελήνην, εὑρεθήσεται ἀµβλεῖα µὲν γωνία ἡ ἐν τῇ ἀνακλάσει γινοµένη, ἣν ὑποτείνει ἡ βάσις, ὀξεῖα δὲ ἡ πρὸς τῷ ὄµµατι καὶ τῆς σελήνης. Οὐκοῦν ἡ ἀπὸ τῆς ἀµβλείας γωνίας ἀγοµένη κάθετος ἐντὸς πεσεῖται τοῦ τριγώνου. ἔστι γὰρ τρίγωνον σκαληνὸν τὸ ΑΒΓ, µείζονα µὲν ἔχον τῆν ΑΓ, ἐλάττονα δὲ τὴν ΑΒ. Λέγω, ὅτι ἐὰν ἀπὸ τῆς Β γωνίας ἀχθῇ κάθετος, ἐντὸς πεσεῖται τοῦ τριγώνου. Εἰ γὰρ µὴ ἐντός, πιπτέτω ἐκτὸς καὶ ἔστω ἡ ΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΑ. ὀρθὴ ἄρα ἐστῖν ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΒ µείζων ὀρθῆς· ἀµβλεῖα γάρ ἐστιν· ὑποτείνει γὰρ αὐτὴν ἡ µείζων πλευρὰ ἡ ΒΕ. Τριγώνου ἄρα τοῦ ΕΑΒ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΕΑ, ΕΑΒ δύο ὀρθῶν µείζονές εἰσιν, ὅπερ ἄτοπον. Οὐκ ἄρα ἐκτὸς πεσεῖται ἡ ΒΕ κάθετος· ἐντὸς ἄρα πεσεῖται, ὅπερ ἔδει δεῖξαι ». 118 Ibid., p. 222.21-29 : « Πάλιν ἄξιόν ἐστι ζητῆσαι, πῶς κατὰ ἀνάκλασιν λέγεται εἶναι ἡ ἅλως, καίτοι ἐχρῆν κατὰ διάκλασιν αὐτὴν λέγειν γίνεσθαι, εἴπερ µεταξὺ φαίνονται τὰ ἔνοπτρα, τουτέστι τὰ νέφη, τοῦ τε ὄµµατος καὶ τοῦ λαµπροῦ. ῥητέον, ὅτι οὔκ εἰσι µεταξύ. ∆εῖ γὰρ νοῆσαι τὸ ὄµµα καὶ τὸ λαµπρόν, τουτέστι τὴν σελήνην ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ ὄντα (κάθετος γὰρ ἦν ἡ ἐπιζευγνύουσα αὐτὰ εὐθεῖα), ἐν δὲ ἄλλῳ ἐπιπέδῳ εἶναι τὰ νέφη πέριξ τοῦ λαµπροῦ· τὴν δὲ ὄψιν ἐκπεµποµένην ὡς πρὸς τὰ νέφη ἀνακλᾶσθαι ὡς πρὸς τὴν σελήνην ».
119 A. Merker, art. cit., p. 202 : « Pourtant, du fait que le halo apparaît, à la différence de l’arc-en-ciel, sur un nuage qui se trouve entre l’œil et l’astre et non plus face à eux deux, on peut se demander si sous le terme unique de « réflexion » ne se cache pas ici la notion de réfraction, sans qu’Aristote l’ait identifiée sous un terme propre. Mais (…) il semble tout à fait possible de considérer que le miroir responsable de la réflexion ne se trouve pas entre l’astre et l’œil mais face à eux deux : car ce n’est pas le plan du nuage lui-même dans son entier qui est le plan du miroir, mais les multiples plans minuscules des particules de brume dont il est formé ; or ceux-ci peuvent très bien être conçus comme perpendiculaires au plan du nuage dans son ensemble ».
passe donc à travers le nuage sans subir la réflexion, de même pour les rayons qui sont proches de ce rayon perpendiculaire : dans cette zone, la réflexion n’a pas lieu. En revanche, les rayons conduits plus loin de la perpendiculaire, c’est-à-dire divergeant davantage par rapport à elle, s’affaiblissent et ne peuvent pas traverser le nuage, mais sont brisés, et à cause de cela l’image réfléchie, le halo, a la forme d’un anneau120. Olympiodore ne donne pas d’explication pour la couleur du halo à ce moment de son commentaire, il traite la question rapidement en même temps que celle de la couleur de l’arc-en-ciel.