CHAPITRE 3. Problématique et cadre général du travail
IV. Le cadre expérimental du travail
IV.2. Les variables étudiées
Etudier l’étude autonome c’est d’abord s’intéresser au topos de l’élève et l’examen du topos suppose que l’on s’occupe du travail des élèves suivant différents lieux et différents temps d’étude. Une
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première catégorie des variables, que l’on qualifiera d’institutionnelles29, porte donc sur les différents
lieux d’étude (en classe, à la maison, dans d’autres dispositifs, etc.) et sur les moments d’étude (moment de révision, moment de résolution d’exercice, moment de contrôle, etc.)30.
Une deuxième catégorie de variables, que l’on qualifiera d’épistémiques, porte sur les objets mathématiques que les élèves sont censés étudier suivant ces différents lieux et différent temps d’étude.
Mais étudier l’étude autonome amène aussi, presque inévitablement, à s’intéresser aux dispositions personnelles des élèves et à leurs gestes d’étude31 et par conséquent, à se demander si ceux-ci sont
différents suivant les parcours scolaires, les établissement et les milieux socioculturels, et si ces différences interviennent dans la réussite/échec des élèves. Cela constitue une troisième catégorie de variables que l’on qualifiera d’éducatives et socioculturelles.
IV.3. La mise en place de la démarche expérimentale
Nous avons rencontré les professeurs, nous leur avons présenté notre projet et demandé de nous accepter dans leurs classes afin d’y mener nos observations. Lors de la première entrevue, nous avons fixé la date des observations, la classe à observer, etc. en fonction de certains critères pédagogiques et didactiques, et nous avons réalisé un entretien avec les professeurs.
Nous avons mené nos observations en assistant à toutes les séances de l’enseignement de la partie concernée du programme. Elles ont débutées fin janvier 2003 et ont duré jusqu’à la fin de l’année scolaire. Les classes entières ont été généralement enregistrées à l’aide d’un petit magnétophone portable, posé sur le bureau du professeur. Par contre, pendant les heures de module et d’aide individualisée, suivant le fonctionnement habituel de chaque professeur, le magnétophone a été passé au professeur et les enregistrements ont été réalisés à l’aide d’un micro-cravate relié au magnétophone pour conserver sa mobilité habituelle dans la salle et accéder à ses interventions concernant les élèves individuellement. Nous avons pris des notes tout au long des séances et des questions pour lui poser après la séance. Nous avons également noté tout ce qui avait été écrit au tableau par le professeur ou
29 Il s’agit des variables institutionnelles au sens où ce sont des moments et des lieux d’étude institutionnellement
désignés. Ce qui veut dire que, pour un élève donné, les temps et les lieux d’étude ne sont sans doute pas limités à ceux reconnus par l’institution comme étant plus ou moins importants, plus ou moins légitimes.
30 Notons que cette catégorie de variable est celle qui fait souvent l’objet des travaux sociologiques lorsqu’ils se
proposent d’étudier ce qu’ils appellent « le travail scolaire » des élèves. (Barrère, 1997 ; Félix, 2002 ; Perrenoud, 1994)
31 C’est la démarche principalement mise en œuvre par Félix (2002) dans sa thèse. S’inscrivant dans l’approche
anthropologique, elle propose d’étudier les gestes d’étude des élèves en termes de techniques pour accomplir certains types de tâches dans le cadre du travail à la maison (faire les exercices, réviser la leçon, préparer le contrôle…).
par un élève. Pour les séances de module et d’aide individualisée dans certaines classes, nous avons pu nous déplacer pour observer et prendre des notes concernant le travail des élèves.
IV.3.1. Le contrat de recherche
Nous avons expliqué aux professeurs notre objet de recherche comme étant un travail sur l’aide et sur le travail personnel des élèves et nous avons précisé que notre présence ne perturberait pas le cours normal de la classe, ne demanderait pas beaucoup de temps et serait limitée à la réalisation de quelques entretiens auprès des élèves et à l’enregistrement des séances.
Ils étaient tous volontaires et se réjouissaient de pouvoir collaborer pour une recherche portant sur un problème qui est au cœur de leurs soucis professionnels. Cependant, dans une classe nous n’avons pas eu la possibilité de mettre en place tout notre projet de recherche en raison du retard dans le programme lié à l’absence totale du cours pendant deux semaines. Finalement, dans cette classe notre travail est resté limité à l’observation et à l’enregistrement des séances et au questionnaire proposé aux élèves.
Nous avons présenté aux élèves la raison de notre présence dans leur classe, précisé le temps que nous comptions passer avec eux. Nous avons souligné que notre recherche n’avait pas du tout l’objectif de les juger, ni de juger leur professeur mais de voir comment ça se passe, quels sont les problèmes réels qu’ils rencontrent dans leur travail mathématique, etc. Nous avons également précisé le fait que différents acteurs concernés par une recherche conservent toujours leur anonymat.
Nous nous sommes rendu compte au cours de nos observations que cette petite présentation a eu des effets assez favorables et a permis notamment une coopération plus facile avec les élèves, lorsque par exemple, nous leur avons demandé de venir nous témoigner de leur travail mathématique ou lorsque nous leur avons demandé de nous prêter leur cahier.
Nous avons observé le travail des élèves et nous avons pris des notes lors des heures d’aide individualisée et parfois dans les modules, en même temps que les interventions du professeur sur leur travail étaient enregistrées à l’aide du magnétophone relié à un micro-cravate qu’il portait sur lui. Lorsqu’un travail en petit groupe était prévu, nous avons observé et enregistré leurs interactions, sur l’accord des élèves, à l’aide d’un autre magnétophone portable.
Dès la deuxième semaine de nos observations, certains élèves nous ont appelé, pendant les séances d’aide individualisée ou pendant le travail en petit groupe, pour demander de l’aide ou une justification concernant leur travail. Dans ces cas, ayant l’intention de ne pas intervenir, nous avons essayé le plus possible d’orienter l’élève vers la recherche individuelle en nous contentant de quelques remarques sur le travail demandé.
Pour recueillir des productions écrites des élèves, que ce soit la fiche de travail ou le cahier, nous l’avons demandés personnellement à certains élèves, sauf pour leurs propres copies de contrôle. Car, une fois les copies corrigées et distribuées aux élèves, il est difficile de les récupérer, celles-ci
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appartenant désormais à leur privé. C’est pourquoi, nous avons récupéré les copies dans la limite des possibles après qu’elles ont été corrigées par le professeur.
IV.3.2. Entretiens avec les professeurs
Les entretiens avec les professeurs ont été réalisés lors de la première rencontre, soit dans la salle des professeurs, soit dans la salle de classe après le cours. Nous avons posé des questions générales sur le fonctionnement de leurs classes, sur les différents dispositifs et sur les objectifs du programme de Seconde. Nous nous sommes renseigné aussi sur les modalités du travail à la maison donné aux élèves, sur les attentes du professeur vis-à-vis de ce travail et sur son évaluation. Ces entretiens enregistrés et transcrits nous ont servi en partie à préparer le questionnaire des élèves.
IV.3.3. Questionnaire pour les élèves
À la suite des entretiens avec les professeurs et après quelques semaines d’observation, nous avons eu la possibilité de mieux connaître les élèves et le fonctionnement général des classes. Ensuite nous avons proposé aux élèves, en fonction de nos questions de recherche, un questionnaire au choix multiple portant sur leur travail mathématique en classe et à la maison. Il a été réalisé dans le premier quart d’heure du cours et face-à-face avec les élèves. Nous avons présenté oralement l’objectif du questionnaire et nous avons nous-mêmes distribué et ramassé les feuilles.
IV.3.4. Entretiens avec les élèves
Pour faire parler les élèves de leur travail mathématique à la maison et en classe, ainsi que pour apporter des précisions sur le questionnaire, nous avons fait des entretiens avec des élèves. Notons d’abord que nous avons choisi de faire nos entretiens tout de suite après le contrôle concernant l’enseignement du chapitre concerné pour avoir plus d’interactions avec les élèves et pour assurer une entrée purement mathématique aux discussions. Les conditions des entretiens et les choix des élèves à interviewer n’ont pas été les mêmes dans toutes les classes. Dans deux classes, n’ayant pas eu possibilité d’interviewer les élèves dans une autre salle et en l’absence du professeur, nous avons réalisé nos entretiens au fond de la salle en même temps que le professeur travaillait avec un petit nombre d’élèves. Dans la troisième classe, l’entretien a été réalisé avec un groupe de trois élèves, dans la salle habituelle de classe et à l’heure d’un cours que le professeur ne pouvait pas assurer.
Quant au choix des élèves à interviewer, nous en avons d’abord discuté avec les professeurs et nous les avons choisis en fonction des informations communiquées par les professeurs relativement à la quantité et à la qualité de leur étude autonome, ainsi qu’à leurs positions scolaires en mathématiques. Nous avons interviewé les élèves individuellement ou en petit groupe de deux ou trois suivant leur demande. Dans une classe, quelques élèves, autres que ceux désignés pour l’entretien, sont volontairement venus discuter avec nous.
IV.4. La population concernée
Notre démarche expérimentale porte sur quatre classes de Seconde dont deux sont celles d’un même établissement avec des professeurs différents. Il s’agit des classes de Mme Lecourt et celle de Mme Lematre32. La classe de Mme Rolland est celui d’un établissement situé en ZEP (Zone d’Education
Prioritaire) tandis que la classe de M. Branly est celui d’un établissement situé dans une banlieue d’un niveau socio – économique relativement élevé de Paris, comme celui de Mme Lecourt et Mme Lematre. En plus, ce dernier est connu dans les milieux scolaires comme étant un bon lycée, surtout pour son enseignement scientifique et avec une réussite au baccalauréat très au-dessus de la moyenne nationale. Les classes sont nombreuses avec des effectifs de 36/35 pour ces dernières et 33 pour la classe de M. Branly. Seule la classe de Mme Rolland, qui est en ZEP, a un effectif de 27 élèves.
IV.4.1. Les élèves
Les classes de Mme Lecourt et Mme Lematre se composent des élèves venant du Collège du même établissement et des établissements de proximité. Les élèves de M. Branly sont majoritairement issus du Collège du même établissement alors que la classe de Mme Rolland se compose majoritairement des élèves venants des Collèges avoisinants, tous situés en ZEP.
Selon les déclarations des professeurs, la classe de Mme Lecourt est une classe relativement motivée pour les mathématiques et en constante évolution. La classe de Mme Rolland, bien qu’il existe un problème d’hétérogénéité et de retard scolaire, relativement dû à l’arrivée tardive de certains élèves en France, demeure une classe agréable. Quant à la classe de M. Branly, elle souffre de quelques problèmes de discipline et de motivation qui seraient véhiculés par le niveau socio-économique des parents, par l’hétérogénéité de la classe et par son effectif important.
Les deux tiers des élèves reçoivent régulièrement ou occasionnellement une aide en mathématique dans leur entourage familial et social (parents, frère/sœur, copain…). 43 élèves (34,7%) ne reçoivent aucune aide à part la structure familiale. Les élèves qui reçoivent une aide régulière restent peu nombreux pour chaque classe. Les élèves les plus concernés par une aide dans la structure familiale sont ceux de la classe de Mme Lecourt et Mme Lematre33.
Au total 25 élèves reçoivent des cours particuliers dont 13 dans la classe de Mme Lematre. Par contre, dans la classe de Mme Rolland, seul un élève bénéficie des cours particuliers en mathématiques. La moitié des élèves (51,6%) souhaitent faire une classe de 1ère S pour l'année suivante. La section de
1ère ES (38,7 %) constitue le deuxième choix, sauf dans la classe de Mme Lematre où elle est le
premier choix.
32 Cette dernière est la classe dans laquelle nous n’avons pas eu la possibilité de mettre en place toute notre
démarche expérimentale.
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Problématique et cadre général du travail
IV.4.2. Les professeurs
Les quatre professeurs observés possèdent au moins une vingtaine d’années d’expérience dans le métier. Au moment de nos observations, M. Branly enseignait pour la première fois au lycée tandis que les trois autres professeurs enseignaient en classe de Seconde depuis une vingtaine d’années. Cependant leurs expériences professionnelles se nuancent : Mme Lecourt participe depuis plus d’une dizaine d’années aux travaux de l’IREM de Paris 7, surtout sur la nouvelle technologie et se tient informée des recherches en didactiques des mathématiques. Mme Rolland anime chaque année et depuis sa création, un atelier de « MATH.en.JEANS34 » dans son établissement. M. Branly et Mme
Lematre ne sont pas impliqués dans une action de formation ou de recherche.
IV.5. Méthodologie
En fonction de notre problématique, nous cherchons à identifier les éléments constitutifs d’un diagnostic qui émergera au fur et à mesure avec l’analyse des différentes données et leur articulation. Il convient donc de concevoir une méthodologie d’analyse appropriée permettant à la fois de cerner au plus près la réalité de l’étude autonome et d’éviter toute conclusion partiale et tout jugement infondé sur le système d’enseignement, le professeur et les élèves.
À cet effet, nous allons d’abord nous intéresser au site algébrique-fonctionnel de la classe de Seconde, ensuite aux classes observées comme institution (Douglas, 1999 ; Sensevy 1998), enfin à la réalité de l’étude autonome au sein de ces institutions. Dans cette dernière étape, nous allons nous pencher tout particulièrement sur le moment du contrôle qui vient clore l’enseignement de la partie du programme concernée. Il s’agit d’un moment que nous considérons comme une vraie phase d’étude autonome, mais surtout comme témoin indirect des conditions de l’étude au sein de l’institution particulière qu’est la classe de Seconde.
En première étape, nous allons nous servir principalement des textes officiels, des programmes et des manuels. En deuxième étape, nous allons étudier les déclarations des élèves et des professeurs et en dernière étape, nous allons mettre à notre profit les transcriptions des séances observées et les productions écrites des élèves.
34 Méthode d'Apprentissage des Théories mathématiques en Jumelant des Établissements pour une Approche
DEUXIEME PARTIE
LE SITE ALGEBRIQUE - FONCTIONNEL ET
SON ECOLOGIE SCOLAIRE
Introduction
Chapitre 4. ELEMENTS DE REPERE POUR L’ETUDE DU SITE ALGEBRIQUE FONCTIONNEL
Chapitre 5. ECOLOGIE DU SITE ALGEBRIQUE-FONCTIONNEL AU NIVEAU DU COLLEGE
Chapitre 6. LE SITE ALGEBRIQUE-FONCTIONNEL DE LA CLASSE DE SECONDE
Chapitre 7. AU-DELA DE SECONDE
INTRODUCTION
Le programme de la classe de Seconde est composé de trois chapitres35 : « statistique », « calcul et
fonctions », « géométrie ». Les objectifs du chapitre « calcul et fonction » qui nous intéresse sont
présentés comme :
- Approfondir la connaissance des différents types de nombres.
- Expliciter sous différents aspects (graphique, calcul, étude qualitative), la notion de fonction. - Etudier quelques fonctions de référence, préparant à l’analyse.
- Progresser dans la maîtrise du calcul algébrique, sans recherche de technicité, toujours dans la perspective de résolution de problèmes ou de démonstration.
- Utiliser de façon raisonnée et efficace la calculatrice pour les calculs et pour les graphiques. Ces objectifs sont aussitôt suivis d’une explication :
La plupart de ces activités concernent les trois années de lycée. Le calcul numérique et le calcul algébrique ne doivent pas constituer un chapitre de révision systématique, mais se retrouvent au travers des différents chapitres. En particulier, ils seront traités en relation étroite avec l’étude des fonctions […]
La première partie de ce chapitre est consacrée à l’étude des ensembles de nombres (nature, écriture, représentation, notation, ordre des nombres, valeur absolue). Une plus grande partie est ensuite réservée aux fonctions. D’abord, une étude générale sur les fonctions, ensuite une étude qualitative des fonctions (fonction croissante/décroissante, maximum/minimum d’une fonction sur un intervalle, etc.), arrivent enfin les premières fonctions de référence (
x
2, 1/x…) et les fonctions linéaires et affines.Avant d’accorder la dernière partie de ce chapitre à la mise en équation et à la résolution d’équations et inéquations, le programme définit des « compétences » pour les expressions algébriques et le calcul algébrique sous une rubrique intitulée « fonctions et formules algébriques » :
- Reconnaître la forme d’une expression algébrique (somme, produit, carré, différence de deux carrés)
- Identifier l’enchaînement des fonctions conduisant de x à f(x) quand f est donnée par une formule - Reconnaître différentes écritures d’une même expression et choisir la forme la plus adaptée au
travail demandé (forme réduite, factorisée,…)
- Modifier une expression, la développer, la réduire selon l’objectif poursuivi.
Dans les commentaires y relatifs, il est indiqué que « des activités liées aux fonctions, aux équations et
aux inéquations mettront en valeur l’information donnée par la forme d’une expression et motiveront la recherche d’une écriture adaptée ».
Le rôle joué par différentes écritures d’une expression algébrique dans la résolution d’une équation ou inéquation est évident. Par exemple, une écriture sous forme de produit de facteurs permet de trouver facilement les solutions d’une équation tandis que la forme développée est mieux adaptée à la reconnaissance d’une égalité. Mais nous comprenons à travers le commentaire ci-dessus que les compétences ainsi définies sur les expressions algébriques et sur leur manipulation seront aussi des outils précieux dans l’étude des fonctions, d’autant plus que l’étude qualitative des fonctions (variations, extremums) et les fonctions de référence figurent au programme. Bien que les modalités de cet usage reste pour l’instant imprécise, la phase « identifier l’enchaînement des fonctions
conduisant de x à f(x) quand f est donnée par une formule » apparaît comme une tâche particulière,
susceptible d’assurer ce lien entre le cadre algébrique et le cadre fonctionnel.
Quant à la mise en équation et à la résolution d’équations et inéquations, les rédacteurs du programme parlent de deux modes de résolution, graphique et algébrique et précisent que « pour un même
problème, on combinera les apports des modes de résolution graphique et algébrique ».
Nous pouvons donc voir qu’il s’agit probablement pour le programme de créer un lien entre le cadre algébrique et le cadre des fonctions, les objets de l’un devenant les outils dans le traitement des questions de l’autre. C’est ainsi que, nous semble-t-il, l’étude algébrique en classe de Seconde va gagner une certaine stabilité avant l’entrée dans l’analyse en classe de Première. Avec l’étude qualitative des fonctions et l’étude des fonctions de référence, le cadre des fonctions sera élargi au- delà des fonctions linéaires et affines pour préparer cette entrée dans l’analyse.
Cette partie du programme que nous appellerons désormais le site algébrique-fonctionnel de la classe
de Seconde se trouve donc à la charnière de l’algèbre et de l’analyse et de ce fait, présente des
objectifs particuliers. Nous pensons ainsi que l’étude autonome des élèves de la classe de Seconde relative à des problèmes provenant du site algébrique-fonctionnel doit être pensée et analysée en fonction des enjeux spécifiques que ce site représente à la fois pour l’algèbre et pour l’analyse.
Mais lorsqu’on parle du site algébrique-fonctionnel, de quels objets mathématiques s’agit-il exactement ? Nous avons vu dans la première partie, à l’occasion de la question posée par un élève de
Introduction
Seconde, comment un nombre important d’objets s’agençaient autour d’un exercice scolaire (fonction,