CHAPITRE 7. Au-delà de Seconde
I. Programmes des classes de Première et Terminale
Pour voir l’évolution des objets d’enseignement du site algébrique-fonctionnel de la classe de Seconde dans les années ultérieures du Lycée, il convient de retenir la distinction des programmes entre la série économique et sociale (ES) et la série scientifique (S), compte tenu du fait que les objectifs de ces deux séries ne sont pas toujours les mêmes.
I.1. Programmes de Première et Terminale ES
I.1.1. En Première ES
Le contenu d’enseignement est divisé en deux chapitres : « Traitement des données et probabilités »,
« Algèbre et analyse ». Un contenu supplémentaire est proposé pour l’enseignement optionnel de deux heures par semaine (comportant des études sur la géométrie dans l’espace, des fonctions affines par morceaux, équation cartésienne d’une droite, d’un plan et la représentation et la lecture de courbes de niveau).
Pour le chapitre « Algèbre et analyse », les rédacteurs du programme soulignent que l’état d’esprit du programme de la classe de Seconde est retenu et que le programme efforce d’utiliser et de développer conjointement les traitements graphique, numérique et algébrique. Sans que cela soit dit explicitement par les rédacteurs, nous pensons qu’il s’agit de traitement des problèmes mettant en œuvre à la fois les cadres algébrique et fonctionnel comme la résolution d’équations ou l’étude du sens de variation. Dans cette perspective, le contenu algébrique de ce programme est censé entretenir et prolonger les connaissances acquises dans les classes antérieures sur la résolution d’équations ou
sur les systèmes d’équations. Ce contenu est composé de systèmes d’équations linéaires à deux ou trois inconnues, d’inéquations linéaires à deux inconnues et de résolution d’équations et inéquations du second degré. Comme nous l’avions souligné ci-dessus, la mise en place du lien avec la représentation graphique de la fonction xÆax²+bx+c est soulignée et l’usage "raisonnable" de la
méthode de discriminant est recommandé, la solution la plus simple étant privilégiée. L’expression « la solution la plus simple » est, nous semble-t-il, relative à des méthodes algébriques permettant de définir la solution de l’équation ou inéquation, notamment celles qui ont été étudiées en classe de Seconde.
Les "généralités sur les fonctions", entreprises en classe de Seconde, sont poursuivies avec la représentation graphique des fonctions xÆ u(x+k), u+k, u+v, u-v, ku, u , où u et v sont des fonctions
et k une constante. Il est précisé dans le programme que cette étude se fera à partir des fonctions étudiées en classe de Seconde. De la même manière, le sens de variations de ces fonctions sera établi dans des cas simples et le fait que si u et v sont monotones de même sens, alors u+v l’est aussi sera montré. Toujours dans le même contexte, la composition des fonctions dans des expressions simples sera, suivant les termes utilisés par les rédacteurs, mise en évidence avec une introduction naturelle, sans qu’il soit indispensable d’utiliser la notation
u≡v
, précisent-ils. Pour la modalité et la mise en œuvre de cette étude à ce niveau, les rédacteurs du programme précisent que « on reviendra à cetteoccasion sur le sens des écritures algébriques. Dans des cas simples où n’interviennent que des fonctions monotones, on déduira le sens de variation ». Autrement dit, l’étude du sens de variation,
entreprise en classe de Seconde à partir des écritures algébriques des fonctions, sera poursuivie sans qu’il y ait une étude explicite sur la notion de fonction composée ou sur la notion de changement de variable.
Le reste du contenu de ce chapitre, bien qu’il s’intitule « algèbre et fonction », porte sur l’analyse : les suites et la notion de dérivation qui se fera à partir d’une approche graphique et cinématique pour une fonction en un point donné. Une introduction formelle de la notion de limite n’est pas prévue mais il s’agit de familiariser les élèves avec le concept à partir du travail sur la notion de dérivée. Le programme précise que la notion de fonction dérivée sera introduite, fonction dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient sera étudiée et que le lien entre dérivée et sens de variation sera mis en œuvre. Pour ce dernier il est indiqué qu’il se fera à partir des exemples des fonctions polynômes de degré 2 ou 3, des fonctions homographiques et des fonctions rationnelles « très simples ». Autrement dit, l’étude algébrique du sens de variation d’une fonction sera remplacée, à moins qu’il se passe autrement, par l’étude de sens de variation par la fonction dérivée dont la technique est sans doute beaucoup plus simple à mettre en œuvre.
I.1.2. En terminale ES
La continuité, les limites, les primitives d’une fonction sur un intervalle, le calcul d’intégral et l’étude des fonctions particulières (logarithmique, exponentielle, népérienne…) sont dans le programme. Mais le programme précise que la notion de continuité ne sera pas étudiée en tant que telle. Selon le
Chapitre 7 Au-delà de Seconde
programme, il s’agirait d’une approche à ce niveau ‘intuitive’ et les fonctions usuelles seront admises comme continues sur intervalle. « La propriété des valeurs intermédiaires sera présentée graphiquement et la continuité des fonctions sera impliquée sur le tableau de variation des fonctions, les flèches obliques sur ce tableau traduisant la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré ». Bien que la notion de limite soit toujours utilisée de manière ‘intuitive’, les inégalités fonctionnelles vont intervenir dans la comparaison des limites dans des cas,
f(x)≥g(x)
et)
(
≤
)
(
≤
)
(x
f
x
v
x
u
lorsque les limites de g, u, v permettent d’en déduire la limite de f. On remarqueainsi que la composition des fonctions sera étudiée toujours dans des cas simples, et lorsque les fonctions mobilisées sont monotones, le sens de variation en sera déduit.
I.2. Programmes de Première et Terminale scientifique
I.2.1. En premier S
Le programme de mathématiques de la classe de Première est divisé en trois chapitres : « Géométrie », « Analyse », « Probabilités et statistique ». On peut donc a priori supposer qu’il n’y a pas de retour
dans cette classe aux travaux algébriques de la classe de Seconde, notamment pour la résolution d’équations et inéquations.
Pour élargir donc l’ensemble des fonctions que l’on manipule depuis la classe de Seconde ou la classe de Troisième, la partie « analyse » du programme donne d’abord place à un chapitre, intitulé depuis la classe de Seconde et aussi en première ES, « généralités sur les fonctions » où les opérations sur les fonctions, la définition d’une fonction polynôme, le sens de variation sont indiqués. En plus, la résolution d’équations du second degré et l’étude du signe d’un trinôme figurent dans le contenu de ce chapitre. Il est donc à remarquer que la résolution d’équations du seconde degré, débuté en classe de Seconde avec un appui de la fonction carré, continue en classe de Première S et ES, sous une autre forme avec l’étude formelle du trinôme, mais la résolution d’inéquations ne sont plus au programme de la série scientifique. Les problèmes auxquels elle correspondait en classe de Seconde, notamment les problèmes d’optimisation, seront alors traités dans cette série avec une approche différente.
En retour à « généralités sur les fonctions », à côté des opérations u+v, ku, uv u/v sur les fonctions, la composition des fonctions et le sens de variation de la fonction composée de deux fonctions monotones sont au programme. L’étude du sens de variation d’une fonction de la forme u+k, ku et le sens de variation de la fonction composée uov où u et v sont monotones se feront également. Dans tous les cas, l’étude va commencer à partir des fonctions étudiées en classe de Seconde. Pour traiter une fonction polynôme et son degré, comme en classe de Seconde, plusieurs écritures d’une même fonction trinôme ou d’une fonction homographique seront proposées.
Cette reconnaissance ou la transformation de l’écriture d’une fonction est sans doute une connaissance importante pour l’analyse lorsqu’il s’agit par exemple de dérivation, de recherche d’asymptotes et de
limites. Ce travail sur les écritures algébriques trouve donc un terrain d’application plus large, autre que la résolution d’équations et inéquations et l’étude des fonctions à laquelle il était tout particulièrement destiné en classe de Seconde.
Le lien entre le signe de la dérivée et les variations seront également mis en œuvre en classe de Première S sur des exemples de fonctions de degré 2 ou 3, de fonctions homographiques ou de fonctions rationnelles, mais toujours ‘très simples’. Les notions importantes de l’analyse telles que extremum, majorant, minorant d’une fonction seront aussi introduites à ce niveau. De la même manière, les encadrements d’une fonction sur un intervalle à partir de l’étude du sens de variations seront déduits dans le même contexte.
La notion de dérivation se fera toujours à partir d’une approche cinématique et graphique comme limite d’une fonction en un point, mais la notion de limite sera toujours celle qui est ‘intuitive’ comme en classe de Première ES. Cependant, le programme prévoit de poursuivre le développement de cette approche ‘intuitive’ à partir de la notion de convergence d’une suite, sans que cela donne lieu à une introduction formelle de cette notion. Les comportements asymptotiques des fonctions sont aussi au programme de Première S.
I.2.2. En Terminale S
En classe de Terminale S, le programme prévoit un élargissement de l’étude des fonctions à celle des fonctions logarithmiques, exponentielles et autres, et la notion de limite d’une suite sera aussi élargie à celle des fonctions. Pour la continuité en un point ou sur un intervalle, contrairement à la classe de Terminale ES, la définition formelle de (lim f(x)=f(a)) sera donnée, la continuité des fonctions connues (polynômes, trigonométriques, logarithmiques…) sera précisée, mais le programme indique qu’il ne sera pas demandé de démontrer qu’une fonction est continue sur un intervalle donné.
On voit donc qu’au-delà de la classe de Seconde, même si l’étude qualitative sur les fonctions et les notions de l’analyse commencent à occuper une place prépondérante dans le programme, le travail algébrique n’est pas complètement abandonné. Notamment, l’étude de la fonction trinôme, l’étude algébrique de sens de variations des fonctions connues apparaissent comme une occasion de retravailler le rapport à l’algèbre, et de revoir la résolution algébrique des équations sous une forme plus formelle avec la notion de fonction polynôme. Cependant, aucune introduction de la notion de polynôme, ni les propriétés qui l’accompagne n’est précisée par les programmes. La notion de polynôme semble identifiée à la notion de fonction polynôme.