Le manuel Transmath

Ce manuel présente, toujours, quelques différences dans l’organisation et dans le traitement du cours, des différences qu’il convient de noter :

Le manuel, tout au début, donne une place « au vocabulaire de la logique », et propose les définitions des notions de base telle qu’équivalence, quantificateur, contraposée, et explique leur usage sur quelques exemples en les mettant en lien avec le vocabulaire déjà familier pour les élèves (il existe au moins un réel, quelque soit le réel….). Ensuite, comme le manuel Déclic, le premier chapitre est consacré aux « généralité sur les fonctions » qui ne traite pas seulement les fonctions, mais aussi les polynômes et les opérations algébriques sur les polynômes à travers les travaux dirigés. Le deuxième chapitre qui s’intitule « équations et inéquations du second degré » traite tout d’abord les racines d’un polynôme du seconde degré par la méthode de discriminant, mais elle est présentée en tant qu’une équation, donnée avec la notation fonctionnelle (f(x)=ax²+bx+c=0)

Avec un problème posé tout au début, l’objectif du premier chapitre apparaît comme l’étude d’autres fonctions à partir des fonctions connues : « À partir des fonctions usuelles x²,

x

1

, …., dont on connaît bien les propriétés (sens de variation, parité, etc.), peut-on en déduire facilement les propriétés et graphes d’autres fonctions ? Par exemples, une fois que l’on a représenté la fonction

f(x)=x²+1

comment en déduire l’allure de la fonction

²

+

1

1

=

)

(

x

x

g

En ce qui concerne le cours, contrairement au manuel Déclic, celui-ci ne traite pas les notions d’extremum d’une fonction, ni celles de majoration, minoration.

La manière dont l’étude du sens de variation à partir de la composition des fonctions est présentée montre aussi des différences par rapport à l’autre manuel. En effet, depuis la classe de Seconde, il n’existe pas dans ce manuel le travail algébrique consistant à monter une fonction. La méthode est souvent expliquée en langage naturel. Ici, par exemple, pour étudier le sens de variation d’une fonction à partir des fonctions dont les variations sont connues, le manuel précise que « pour décomposer une

fonction f, c'est-à-dire pour l’écrire comme une composée de deux fonctions (ou de plusieurs) pensez

à dégager un ordre de priorité dans les étapes du calcul de f(x) ». On en trouve un exemple dans les

exercices guidés :

30. Décomposer une fonction

f est la fonction définie sur R-{1/2} par

1 - 2 1 = ) ( x x f .

Objectif : écrire f comme composée de deux fonctions g et h (f=goh), puis faire de même pour la fonction définie sur R par f(x)=(x²+1)².

1. Il s’agit de trouver deux fonctions g et h telles que pour tout x de

D

Pour cela, on décompose le calcul de f(x) (à partir de x) en distinguant un ordre de priorité dans les étapes de ce calcul en se ramenant à deux grandes étapes.

Le calcul de 1 - 2

1

x peut se faire, dans l’ordre, en deux étapes : d’abord celui de X=2x-1, puis celui

de

X1 . Pour trouver les fonctions g et h, telles que f =goh, il faut savoir que c’est la fonction h « qui

opère en premier »

a) Recopiez en les complétant les phases suivantes :

- Calculer X=2x-1, c’est chercher l’image de x par la fonction… :x→ ... - Calculer l’inverse de X, c’est chercher son image par … :X→ ...

b) Ecrivez alors f sous la forme voulue et vérifiez que le calcul de g(h(x))conduit à

1 - 2

1

x

2. Opérez comme dans la question 1. avec la fonction f définie sur R par f(x)=(x²+1)².

3. Rédigez une solution

On voit que le changement de variable est utilisé comme un outil qui facilite le passage entre les fonctions et leurs compositions, sans que cela soit explicitement dit, alors que dans le manuel Déclic, le concept de changement de variable se trouvait uniquement, sans être nommé, dans les formules de translation d’une courbe.

On doit remarquer aussi que faute de moyen pour contrôler l’exactitude de la décomposition de la recomposition, la vérification du résultat obtenu est proposée à cet effet.

III. Conclusion

Cette étude montre que le site algébrique-fonctionnel de la classe de Seconde reste inchangé. Les études proposées au niveau de la classe de Première s’appuient sur le travail algébrique qui est censé se développer en classe de Seconde, notamment en lien avec l’étude des fonctions. Cette étude des fonctions constitue par ailleurs la base des travaux proposés, au moins dans les trois premiers chapitres des manuels. Autrement dit, les études relevant du site algébrique-fonctionnel à ce niveau semble

Chapitre 7 Au-delà de Seconde

fortement appuyé sur le site algébrique-fonctionnel de la classe de Seconde, lequel est pourtant marqué par une organisation incomplète.

On constate seulement un léger déplacement de ce site du côté des fonctions avec une étude plus approfondie des fonctions de référence. Cette étude s’appuie d’une part sur la définition formelle des opérations algébriques sur les fonctions, d’autre part sur l’introduction du concept de fonction composée, toutes les deux permettant d’étudier les propriétés d’autres fonctions à partir des fonctions de référence connues. L’étude formelle du signe du polynôme du second degré vient enrichir et donner du sens au travail relevant du site algébrique-fonctionnel : elle permet d’une part, de mieux connaître comment factoriser une expression, comment étudier et déduire le signe de cette expression, et comment voir algébriquement l’existence des racines. D’autre part, sur le plan fonctionnel, avec la possibilité de pouvoir identifier par une méthode algébrique l’extremum d’une fonction du second degré (soit son sommet), il devient plus facile d’étudier des problèmes d’extremum sans indications précises.

Notons pour terminer que cette écologie va être perturbée par l’introduction de la notion de fonction dérivée, bien plus économique, qui va venir occuper la niche du travail algébrique et rapidement le supplanter.

CONCLUSION DE LA PARTIE

En entreprenant cette étude des programmes officiels et des manuels scolaires depuis la classe de Sixième jusqu’en classe de Terminale, notre objectif principal était de voir comment le site algébrique-fonctionnel devient en classe de Seconde un domaine d’étude qui, d’une part, s’appuierait sur les travaux algébriques et fonctionnels réalisés au Collège, et d’autre part, ferait émerger les outils nécessaires au travail d’analyse qui ne tardera pas à venir. L’enjeu du programme est donc important mais cet enjeu s’appuie sur un équilibre difficile à tenir : les rédacteurs de programmes ainsi que les auteurs de manuels doivent d’une part marquer une rupture avec les objets d’enseignement du Collège, d’autre part limiter l’introduction des objets de nature fonctionnelle à quelques aspects des notions figurant au programme, parce que la Seconde est une classe d’orientation.

Des travaux didactiques s’inscrivant dans une approche écologique (Rajosson, 1988 ; Assude, 1994) ont déjà montré que, pour qu’un contenu d’enseignement puisse être efficacement enseigné, les objets qui le composent doivent d’une part permettre de résoudre des problèmes relativement importants, d’autre part, faire partie d’un ensemble bien structuré. Comment concilier alors cet équilibre avec les objectifs du programme de la classe de Seconde et avec ses enjeux de scolarité ?

Cette difficulté semble conduire les auteurs de manuels à une combinaison inefficace des travaux algébriques et fonctionnels, d’autant plus que les objets et les relations nécessaires à cette combinaison (comme les notions de polynôme et de changement de variable) ne sont pas au programme. Cela se traduit par des types de problèmes bien spécifiques, parce que l’enseignement suppose des pratiques d’étude, une nécessité dont témoigne le schéma des énoncés des problèmes d’extremum. Les techniques de résolution de ces problèmes et leur justification convoquent les notions, qui viennent d’être introduites, uniquement à travers des étapes intermédiaires, qui n’ont du sens que pour qui les voit comme l’élaboration d’une praxéologie pour un certain type de problèmes.

En effet, il manque des objets et des relations explicites dans les cours proposés par les manuels, et il n’existe pas de profondeur épistémique dans les exercices. Si ce phénomène est majoritairement imputable au contenu et à l’organisation du programme, il y a fort à croire qu’une vision globale de ce

qui est visé par ce contenu manque aux auteurs de manuels, comme une vision sur ce dont les élèves et les professeurs ont besoin pour mener à bien les tâches relevant de leurs topos. Par exemple, les travaux algébriques proposés dans le chapitre "Modules" ne portent pas sur les objets et les notions qu’il faut investir et organiser comme un complément des notions étudiées en cours pour leur assurer du sens, mais comme un moment de reprise des acquis de Collège dont l’absence chez les élèves semble considérée comme une source de difficulté. Cette reprise est par ailleurs majoritairement appuyée sur un rappel des règles du travail algébrique, sur une sorte d’enseignement par ostensif, l’idée sous-jacente étant qu’il suffit de bien montrer les règles pour qu’elles soient apprises et appliquées.

TROISIEME PARTIE

LES CLASSES-INSTITUTIONS :

UNE CONSTRUCTION

Introduction

Chapitre 8. CLASSE DE SECONDE COMME UNE INSTITUTION PARTICULIERE D’ETUDE

Chapitre 9. LES INSTITUTIONS OBSERVEES ET LEURS CARACTERISTIQUES VIS-A-VIS DE L’ETUDE

Chapitre 10. LE RAPPORT DES ELEVES A L’ETUDE EN MATHEMATIQUES

Chapitre 11. LES ELEVES PARTICULIERS ET LEURS DISPOSITIONS D’ETUDE

INTRODUCTION

Nous sommes parti de l’hypothèse que l’élaboration d’un diagnostic pour l’étude autonome des élèves suppose à la fois une reconstruction des objets du savoir que les élèves ont à étudier et celle des classes comme institution didactique principale.

La classe est une institution qui dispose de ses propres lois de fonctionnement, ses propres conditions et ses contraintes, et de ce fait, détermine l’étude conduite ou à conduire en classe ou hors classe, les rapports de ses sujets à l’étude et l’autonomie des élèves qui en dépend (Sensevy, 1998).

Dans cette partie, nous proposons une analyse de la dimension institutionnelle et personnelle de l’étude autonome avant d’examiner dans la quatrième partie la prise des élèves et du professeur avec les objets du site. Il s’agit pour nous de repenser cette institution - classe de Seconde en dégageant ses caractéristiques particulières vis-à-vis de l’étude, d’identifier le rapport à l’étude de ses sujets (professeur-élèves) et d’analyser les moyens que les élèves semblent avoir à leur disposition pour étudier et ceux dont dispose le professeur pour aider à cette étude.

Dans cette perspective, le chapitre 8 propose une étude détaillée des textes officiels relatifs à la classe de Seconde et aux différents dispositifs d’étude qui la caractérisent. Il cherche ainsi à situer l’étude autonome des élèves par rapport aux attentes institutionnelles, aux conditions et aux contraintes institutionnelles qui déterminent les choix du professeur qui doit organiser et diriger l’étude et ceux des élèves qui ont à occuper leur topos. Le chapitre 9 entreprend une construction des classes observées comme des institutions particulières, en se centrant sur l’organisation et la conduite de l’étude par le professeur. Les chapitres 10 et 11 s’attachent à dégager, à travers un questionnaire et des entretiens, le rapport des élèves à l’étude, leurs dispositions personnelles et à savoir si celles-ci sont discriminantes suivant les positions scolaires et les institutions et si ces différences interviennent dans la réussite/échec des élèves.

L’interprétation des résultats obtenus n’est pas indépendante de l’approche mise en place et nous allons voir qu’il existe un certain nombre de phénomènes relèvant directement du site.