Le manuel Déclic

Le premier chapitre du manuel s’appelle « fonctions numériques ». Une étude qualitative des fonctions y est proposée. Le deuxième chapitre qui s’appelle « Polynômes du second degré » traite les polynômes dans leur généralité, en particulier le second degré, leurs représentations graphiques, leurs variations et leurs signes. L’analyse stricto sensu commence à partir du troisième chapitre, intitulé « nombre dérivé » où commence l’étude des limites et de dérivation. Ce qui nous intéresse donc en particulier ce sont les deux premiers chapitres qui correspondent au site algébrique -fonctionnel de la classe de Seconde.

Le cours commence par la définition du sens de variation d’une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dire que f est croissante sur I, signifie que, pour tout couple de réels (a ; b) de I : si a ≤b, alors

f(a)≤f(b)

L’exemple traité est celui du sens de variation de la fonction f : xÆ

x

+2x

l’application de la définition par la comparaison des images f(b)-f(a) pour deux réels a et b pris arbitrairement, ce qui est différent de la méthode choisie en classe de Seconde par ce manuel. Mais comme l’objectif de l’activité n’est pas précisé comme la comparaison des images, que le choix de l’intervalle n’est pas explicité, et que le signe du trinôme n’est pas encore étudié, l’exercice proposé ne dépasse pas le cadre d’une ‘monstration’63_.

63 _{Rappelons donc que l’étude du sens de variation en classe de Seconde était établie différemment : pour les}

fonctions de référence x² et 1/x, il s’agissait d’une technique que nous avions nommé « techniques des inégalités ». Ensuite, pour l’étude du sens de variation d’une fonction quelconque du « seconde degré », il s’agissait d’une technique créée à l’occasion, qui consistait, en partant des nombres compris dans un intervalle

Le cours continue ensuite avec les notions de maximum, minimum, extremum local d’une fonction, de fonction majorée, minorée et bornée, parité et périodicité d’une fonction. Après avoir étudié les fonctions usuelles, (fonction affine, carré, racine carrée, cube, sinus, cosinus) et les propriétés qui les accompagnent, le cours traite les opérations sur les fonctions (ku, u+v, uv, u/v et uov) et les sens de variations de la fonction ainsi obtenue. Tout est donc en place pour que les rédacteurs des manuels puissent énoncer toutes les méthodes possibles pour étudier le sens de variation d’une fonction :

Méthodes :

Pour étudier le sens de variation d’une fonction f sur un intervalle I, on peut : 1. la considérer comme une somme de fonctions monotones ; 2. la considérer comme le produit d’une fonction par un réel ; 3. la considérer comme la composée de plusieurs fonctions usuelles ;

4. utiliser la définition et étudier le signe de f(b)-f(a) sachant que a ≤b sur I On verra une autre méthode dans le chapitre 4.

Nous pouvons remarquer que toutes ces techniques s’appuient directement sur les fonctions étudiées en classe de Seconde (fonction affine, carré, racine carrée, inverse) et leurs propriétés, notamment leurs sens de variations. Autrement dit, la mise en place de ces techniques suppose que les fonctions usuelles, la transformation de leurs écritures algébriques et leurs variations soient acquises. Pourtant, on remarquera que la technique proposée par ce manuel en classe de Seconde pour l’étude du sens de variation d’une fonction du second degré, à partir des variations de la fonction carré, ne figure pas parmi ces techniques. L’introduction de la notion de dérivée dans le chapitre 4, va par ailleurs la rendre totalement dispensable.

Nous devons remarquer que le travail algébrique trouve toutes ces dimensions dans les techniques ci- dessus, notamment les trois premières. Car, leur mise en place appelle fortement les connaissances algébriques, notamment, celles qui sont liées aux écritures algébriques et à leurs transformations. Notons que, jusqu’à présent, bien que les définitions soient données, les extremums d’une fonction ou les concepts de majoration, minoration ne joue aucun rôle dans l’étude du sens de variation d’une fonction. Ce qui va intervenir probablement après l’étude formelle de la fonction trinôme avec les propriétés qui l’accompagnent.

Dans le deuxième chapitre de ce manuel, les fonctions polynômes et les polynômes sont données sans aucune distinction. Une expression algébrique donnée par une notation ‘fonctionnelle’ est donc à lire, suivant le contexte, soit comme un polynôme, soit comme une fonction polynôme. Après avoir défini les principales propriétés des polynômes (égalité de deux polynômes, la racine, la factorisation), l’étude formelle du polynôme du seconde degré commence et les conditions de l’existence des racines (par le méthode de discriminant), la représentation graphique et les variations, le sommet etc. sont donné, à composer les images, en suivant les règles de calcul algébriques et en s’appuyant sur la fonction carré pour décider du sens de l’inégalité.

Chapitre 7 Au-delà de Seconde

étudiés à partir de la transformation de l’équation y=ax²+bx+c en Y=aX² en fonction du signe de a.

Nous devons remarquer que l’étude formelle des polynômes et notamment celle du second degré doit permettre aux élèves d’acquérir les outils du travail algébrique qui était implicites en classe de Seconde. Car, des connaissances relatives, par exemple, à la factorisation d’un polynôme, à l’étude de signe seront ici des objets explicites du cours. De la même manière, la notion d’extremum, relative à la fonction polynôme du second degré, devrait permettre aux élèves d’étudier des problèmes d’optimisation sans qu’il soit nécessaire de donner des indications précises.