Utilisation des mesures vibratoires pour l’optimisation des maquettes numériquesnumériques

a Principe de la méthode recherchée

La réponse vibratoire d’une structure, conditionnée par les caractéristiques de celle-ci, rai-deur, masse et amortissement, décrit entièrement son comportement dynamique. En cas de désaccord modèle/mesures, il est donc possible de modifier les caractéristiques du modèle, sa raideur par exemple, pour lui conférer une base modale plus proche de celle de la structure réelle. Nous avons vu aussi que le critère MAC permettait d’évaluer la corrélation entre la forme des modes propres de la base modale identifiée expérimentalement et la forme de ceux de la base

Fig. IV.10 Calage d’un modèle numérique sur des données expérimentales : passage d’une matrice MAC initiale médiocre à une matrice optimisée, présentant des modes appariés dans le bon ordre avec une valeur 1 par paire.

modale du modèle numérique. Il est donc possible de caler le modèle numérique en déformée en maximisant la corrélation entre ces deux bases, soit en maximisant le critère MAC de chaque paire de modes, comme illustré en figure IV.10

Il convient cependant de souligner que le MAC ne donne une information que sur la qualité de la déformée des modes, non sur leur fréquence. Il est donc nécessaire d’apparier en fréquence les modes de façon pertinente avant de calculer leur critère MAC : les modes doivent avoir des fréquences proches, moins de 10% d’écart, et être dans le même ordre dans leur base modale. Par exemple sur la figure IV.10, initialement l’appariement n’est pas satisfaisant puisque le meilleur critère MAC pour le mode numérique 4 est celui calculé avec le mode 3 expérimental, alors que le mode 4 expérimental est apparié au mode 3 numérique.

b Description de l’outil utilisé pour le calage b.1 Approche théorique

Pour effectuer cet ajustement du modèle numérique sur les données expérimentales, on définit une fonction erreur entre les deux jeux de données. Celle-ci peut être basée dans notre cas sur la fréquence et/ou la déformée, en utilisant le MAC. L’objectif est de trouver la meilleure solution, celle qui permet de minimiser cette erreur, et les paramètres qui lui sont associés. C’est ce qu’on appelle un problème d’optimisation sous contraintes, avec de nombreuses variables. Pour prendre en compte le fait que ces paramètres sont bornés, il est possible d’écrire n_p groupes de contraintes d’inégalité. La prise en compte de ces bornes pour chacun des paramètres de conception consiste donc à intégrer 2 ◊ np contraintes d’inégalités. D’un point de vue pratique, on cherchera les paramètres x dans un espace D dénommé espace de conception (D µ Rnp) qui définira les bornes relatives à chacun des paramètres. L’annexe H détaille plus amplement le cadre théorique.

Un tel problème d’optimisation ne peut être résolu de manière analytique qu’à condition de connaître la dépendance de la fonction objectif et des éventuelles fonctions contraintes aux paramètres de manière explicite mais pas trop complexe. Ce n’est pas le cas pour le problème qui nous intéresse : changer une masse volumique ou un module d’Young revient à redéfinir entièrement les matrices de masse et de rigidité du modèle. Dans ce cas, l’optimisation numérique est indispensable.

L’usage d’outils d’optimisation globale comme les algorithmes génétiques (Goldberg, 1989) ou à essaim de particules (Kennedy et Eberhart, 1995) n’est pas envisageable car le nombre d’appels au solveur numérique serait trop grand. De fait, l’analyse modale et le calcul de la fonc-tion erreur nécessitent de 2 minutes pour les modèles de clocher les plus simples à 15 minutes pour les modèles complets d’église, alors que l’optimisation nécessitera des milliers de calculs. Un

Fig. IV.11 Étapes de la méthode d’optimisation avec l’outil GRENAT : échantillonnage de l’espace, construction de la base d’apprentissage, construction du métamodèle, recherche du minimum

moyen de réaliser une optimisation globale est d’utiliser un métamodèle de la fonction objectif y(x) à optimiser (Sacks et al., 1989). Un métamodèle est un modèle mathématique de la fonction objectif. Une fois construit, il fournit une réponse en un point quelconque de l’espace de concep-tion en un temps de calcul très faible comparé au temps nécessaire au solveur numérique pour fournir la réponse exacte au même point, puisque l’on dispose d’une expression mathématique pour l’évaluer. Sa construction nécessite des évaluations "mécaniques" de la fonction réalisées en un nombre limité et judicieusement choisi de points de l’espace D dans lequel varient les paramètres. Dans notre cas il s’agira de calculer la base modale associée au modèle caractérisé par un jeu de paramètres sélectionnés, suivi du calcul de l’erreur entre cette base et la base expérimentale de référence.

b.2 outil GRENAT

Pour cela nous utilisons l’outil GRENAT (GRadient ENhanced Approximation Toolbox) dé-veloppé au LMT (Laurent, 2013). Les principales étapes de la méthode d’optimisation, construc-tion du métamodèle puis recherche de son minimum, sont illustrées en figure IV.11 et détaillées en annexe H.

1) Échantillonnage de l’espace étudié.

Il s’agit de constituer l’échantillon d’apprentissage, composé des valeurs retenues des paramètres, soit les caractéristiques matériaux ou géométriques par exemple dans notre cas. Nous avons utilisé la Méthode Hypercube Latin (LHS), détaillé en annexe H. Afin de sélectionner un tirage couvrant bien tout l’espace, nous avons généré plusieurs tirages LHS et sélectionné celui qui maximisait les distances minimales entre les points de l’échantillon.

2) Calcul de la fonction erreur pour chaque tirage

On calcule les réponses exactes y_i de la fonction cible aux points désignés par échantillonnage afin de construire la base d’apprentissage Ea. Dans notre cas, il s’agit d’effectuer l’analyse modale puis de calculer l’écart avec la base modale expérimentale. Pour ce faire, nous utilisons le logiciel COFAST3D développé par Champaney (1996) car une interface MatLab/COFAST3D a été développé au LMT (Cf annexe H). De plus, ce logiciel est semblable à Cast3M et assure ainsi la continuité avec le reste de l’étude. L’ensemble des routines qui le compose a été regroupé au sein de la boîte à outils COMET (COntrol Multiparametric stratEgy Toolbox).

Notons l’intérêt de limiter le nombre de variables. En effet, la base d’apprentissage idéale devrait contenir au moins 2nbvariables couples ! Par exemple pour 30 variables, la base d’appren-tissage devrait contenir 230jeux de données. Le nombre de calculs à effectuer par un calcul aux éléments finis devient donc vite important. Le temps de calcul est alors incompatible avec le principe de la méthode générale recherchée : un outil de criblage efficace.

Une fois le tirage de sites de l’espace de conception réalisé et les réponses associées obtenues, on peut construire un modèle de substitution. Cette fonction doit approximer le comportement de la fonction cible. Sa construction par la méthode de krigeage est détaillée en annexe H.

4) Recherche du minimum global du métamodèle

On cherche ici à trouver le minimum global de la fonction donnant l’erreur entre les mesures expérimentales et les résultats du modèle numérique. Avec les méthodes d’optimisation locales, si la fonction possède plusieurs minima, le minimum atteint sera lié au point initial choisi pour initialiser l’algorithme. C’est pourquoi nous avons utilisé deux algorithmes d’optimisation globale disponibles dans GRENAT : un algorithme génétique, comme présenté initialement par Holland (1962) et un algorithme par essaim particulaire, proposé initialement par Kennedy et Eberhart (1995). Une description de ces méthode est faite en annexe H

Nous avons décrit l’outil que nous utilisons pour caler les bases modales. Trois points ont nécessité la réalisation de nombreux tests afin d’adapter cet outil à l’usage que nous souhaitons en faire : la définition de la fonction erreur, le choix du type et de la taille de modèle et la selection des paramètres. Nous les présentons ainsi que nos conclusions afin de permettre l’utilisation la plus optimale de l’outil d’optimisation tout en garantissant une bonne adaptation au patrimoine traité.

c Choix de la fonction erreur la plus appropriée

Le principe du calage adopté ici est de minimiser les différences entre les bases modales expérimentale et numérique, ce qui peut se faire en fréquence et/ou en déformée en utilisant le critère MAC. Le rôle de la fonction erreur à minimiser est donc crucial, notamment dans les pondérations choisies entre l’erreur en déformée et celle en fréquence. De plus, la formulation de la fonction erreur doit permettre d’imposer un ordre dans l’appariement des modes expérimentaux et numériques : les modes appariés doivent apparaître dans le même ordre, contrairement à ce qui est illustré en figure IV.10 a).

Nous avons donc testé sept fonctions ou combinaisons de fonctions erreur différentes sur des modèles partiels représentant la nef, le chœur et le clocher, macro-éléments aux comportements dynamiques différents. Les premières sont couramment utilisées pour les monuments anciens, comme F1, F2, F3 (Abruzzese et al., 2010; Bartoli et al., 2013; Russo et al., 2009). Les suivantes sont inspirées des fonctions utilisées sur des édifices modernes, voire dans l’aéronautique pour l’optimisation de pièces mécaniques (Balmès, 2011; Brehm et al., 2010; Ouisse et Foltête, 2015) Dans tous les cas, nous avons au préalable sélectionné dans la base modale numérique les modes présentant une masse modale, dans la direction X ou Y, supérieure à 4% de la masse totale. Ceci nous permet de ne pas apparier aux modes expérimentaux des modes très locaux qui n’ont donc pas pu être enregistrés. En notant nmod le nombre de modes recalés, soit le nombre de modes enregistrés, F reqi

exp et F reqj

num les fréquences d’un mode numérique i et d’un mode expérimental j et Mac_ij le critère MAC associé à un couple donné de modes expérimental i et numérique j, les fonctions testées sont les suivantes :

- Optimisation en déformée uniquement F1 = 1 ≠ (

nÿmod

i=1

(max Macij)/nmod) (IV.2.1)

- Optimisation en fréquence uniquement F 2 =

nÿmod

i=1 Ò

(F reqi

exp≠ F req^jnum)2/(F reqi

exp)2 (IV.2.2)

- Recalage en déformée uniquement mais en imposant la recherche du mode numérique à apparier au mode expérimental dans une plage de fréquences de +/- 10% de la fréquence expérimentale

correspondante

- Recalages en fréquence et en déformée pondérés, avec w1 et w2 poids à déterminer :

F4 = w₁F1 + w₂F2 (IV.2.3)

- Erreur en déformée pondérée par l’erreur en fréquence

F5 = 1 ≠

AA_nmod ÿ i=1

3

(max Macij)/n_mod

ú!1 ≠ (

nÿmod

i=1 Ò

(F reqi

exp≠ F reqnum^j )2/(F reqi

exp)2)^"4BB (IV.2.4) - Erreur en déformée pondérée par l’erreur en fréquence normalisée par rapport à la plus grande erreur associée à chaque mode expérimental.

- Erreur en déformée pondérée par l’erreur en fréquence, avec w1 et w2 les poids à déterminer pour chaque erreur :

F 7 = 1 ≠ AA_nmod ÿ i=1 (w1ú max M acij)/n_mod B ú A 1 ≠ A_nmod ÿ i=1 w₂ú ( Ò (F reqi

exp≠ F reqnum^j )2/(F reqi exp)2

BBB

(IV.2.5)

La figure IV.12 récapitule les résultats. Le modèle initial, brut, utilise les valeurs issues de la bibliographie et les conclusions du chapitre III pour les hypothèses de modélisation. Quelle que soit la fonction testée, nous avons utilisé 11 paramètres correspondant aux raideurs représentant les fondations et aux modules d’Young et aux masses volumiques des maçonnerie, question qui sera traitée au paragraphe IV.2.2.e. Errtot est la moyenne des résultats de l’optimisation de la fonction cible sur les 6 premiers modes, à la fin du processus. ErrMAC et ErrF req sont respectivement l’erreur en déformée et l’erreur en fréquence obtenues en moyenne sur les six modes expérimentaux utilisés, avec le jeu de paramètres défini pour Errtot.

Fig. IV.12 Influence du choix de la fonction cible sur les erreurs finales en fréquence et en déformée

La qualité de l’optimisation finale dépend fortement de la fonction erreur à minimiser. Les deux indicateurs initiaux, MAC et erreur en fréquence, varient jusqu’à 35% selon le choix de

la cible. F1, F2 et F3 ne sont pas pertinentes pour un modèle complexe et ne permettent pas une utilisation automatisée de l’outil de calage. En effet elles n’évitent pas l’appariement dans le désordre des modes. De plus elles font porter les efforts d’optimisation sur des couples de modes parfois inacceptables puisqu’il n’y a pas de test sur l’éloignement des fréquences ou des déformées. F4 est une amélioration des précédentes mais n’est pas suffisante pour gommer ces biais. F5 et F6 sont plus performantes car elles pondèrent, pour chaque couple, l’erreur en déformée par sa pertinence en fréquence et évite donc de se concentrer sur des appariements peu pertinents. Nous avons par la suite utilisé la fonction F7. En effet elle permet, tout en conservant les avantages de F5, d’adapter la fonction cible à ce que l’on connaît le moins dans la structure à caler. Pour le modèle de la nef par exemple, les fréquences du modèle numérique initial sont bonnes mais les déformées beaucoup moins. Nous avons donc utilisé une fonction cible donnant plus de poids au MAC, soit w1 = 1 et w2 = 0,8. A l’inverse pour le clocher, les déformées sont proches de l’expérimental mais les fréquences moins, ce qui serait très préjudiciable pour le résultat général vu les poids du clocher dans celui-ci à cause de son élancement. Nous avons donc accordé plus de poids à l’erreur en fréquence avec w1= 0,8 et w2 = 1.

d Choix de la taille de la maquette numérique et du type de calage le plus adapté Outre la fonction cible, les modèles eux-mêmes doivent être définis de façon stratégique. En effet, parce que les édifices étudiés sont à la fois vastes, de géométrie complexe et de mise en œuvre mal maîtrisée, les résultats obtenus avec un modèle du bâtiment complet ou avec un modèle partiel d’un macro-élément bien identifié ne seront pas les mêmes.

d.1 Sous-structures - Calage en fréquence et déformée

Prenons le modèle initial de NDG, modèle brut utilisant les valeurs issues de la bibliographie et les conclusions du chapitre III pour les hypothèses de modélisation (section III.4). Les six premiers modes principaux de NDG, sans optimisation, sont illustrés en figure IV.13. MMPX et MMY désignent respectivement la masse modale participative en X et celle en Y.

En comparant ces résultats aux valeurs expérimentales (Cf. figure IV.16), nous notons que : - la valeur du MAC dénote une très mauvaise corrélation : 0,65 sur les 4 premiers modes en moyenne. Cela provient sans doute en grande partie des conditions aux limites mal adaptées à la situation réelle puisque nous n’avons pu pratiquer aucun test pour qualifier précisément le sol et les fondations. Cependant il est nécessaire de trouver une façon de contourner cet obstacle puisqu’il ne sera pas levé à grande échelle. De même le relevé in-situ, nécessairement rapide vu le nombre très important de bâtiments concernés, ne permet pas de détailler excessivement les modèles en première approche, notamment les détails des assemblages entre les différents éléments ou toutes les variations d’épaisseurs dans un bâtiments très irrégulier. Par exemple nous n’avons pas pu vérifier que les différences d’épaisseur relevées dans le clocher étaient constantes. - l’erreur moyenne en fréquence est importante. En se limitant aux modes suffisamment importants pour qu’il puissent avoir été enregistrés, elle est supérieure à 15% pour tous les modes présentés. En effet nous avons pris comme référence les valeurs retenues pour les clochers, or la maçonnerie des façades est de moins bonne qualité que celle des clochers, avec un module d’Young sans doute plus bas. De plus, nous avons souligné que les épaisseurs n’avaient pu être mesurées qu’en certains points : portes, têtes de mur ou différences d’épaisseur marquées. Comme la masse volumique de la maçonnerie appareillée du clocher est sans doute différente de celle plus grossière de la nef par exemple, la masse totale de la structure est potentiellement très éloignée de celle du modèle initial. Enfin, les incertitudes sur les masses prises en compte pour la toiture et le bulbe sont fortes. Comme expliqué en section III.4.5, nous avons calculé la masse équivalente de la charpente à partir des relevés disponibles, mais ils sont peu nombreux et il reste des incertitudes sur les caractéristiques réelles des matériaux. Pour le bulbe, nous avons

a) b)

c) d)

e) f)

Fig. IV.13 Premiers modes propres de NDG, avant calage. a) Mode 7, 3,5Hz, flexion transv. globale et longit. des frontons d’extrémités, torsion de l’intermédiaire, 31% MMPX, 5% Y. b) Mode 8, 3,9Hz, flexion transv. globale et longit. du fronton d’entrée, 13% MMPX, 4,82% Y. c) Mode 15, 5,0Hz, flexion transv. globale, torsion des frontons, 10,1% MMPX, 5,64% Y. d) Mode 21, 5,9Hz, flexion longit. globale, 0,1% MMPX, 14,9% Y. e) Mode 23, 6,47Hz, flexion transv. globale, forte participation des voûtes, 17,9% MMPX, 2,4% Y. f) Mode 24, 6,7Hz, torsion générale, forte participation des voûtes et frontons, 4,7% MMPX, 26,6% Y.

estimé un volume équivalent (hauteur du bulbe par surface du clocher) associé à une masse à partir des rares relevés disponibles.

- Le critère MAC est sensible aux valeurs extrêmes qui faussent les résultats du bâtiment entier. Les défauts du clocher, élément élancé, risquent de masquer les résultats, bons ou mauvais, obtenus dans les autres parties de la structure.

Il est donc pertinent, dans un premier temps, d’optimiser séparément chaque sous-structure de l’édifice traité, en utilisant les résultats des mesures complètes. Dans le cas des deux églises traitées ici, nous travaillerons donc avec trois modèles partiels : la nef, le chœur et le clocher. Notons que dans chaque maquette les actions des parties manquantes seront prises en compte en complétant la matrice de rigidité du modèle par des appuis aux jonctions comme le décrit Casarin et Modena (2007) pour la cathédrale Santa Maria Assunta. Une fois les modèles partiels recalés séparément, nous les assemblons en un modèle unique. Les jonctions entre chaque sous-partie ou modèle sont réalisées grâce à des rigidités calibrées sur celles représentant la sous-partie absente (nef, chœur ou clocher) dans les modèles découplés.

d.2 Structure présente dans tous les édifices - Calage en fréquence

Il est donc tout à fait pertinent d’utiliser la base de données constituée par les 18 mesures partielles, réalisées sur les clochers et les travées de nef, pour caler des modèles partiels. Nous proposons de caler en fréquence seule tous les clochers instrumentés. Nous pourrons ainsi adapter les caractéristiques mécaniques issues de la bibliographie, utilisées dans les modèles initiaux, aux maçonnerie de la zone d’intérêt et améliorer les hypothèses de modélisation, notamment la prise en compte du sol et de la pente dans les conditions aux limites. D’une part cela nous permettra de faciliter le calage en fréquence et en déformée de modèles entiers complexes, dans le cas où des mesures ont été faites sur la structure d’origine. D’autre part nous pourrons améliorer les prédictions de tous les modèles proposés, même sans avoir recours aux mesures, en utilisant des valeurs caractéristiques pour les matériaux, les liaisons ou le sol qui seront mieux adaptées à l’ensemble patrimonial étudié. Notre choix de caler les clochers est motivé par plusieurs raisons. - le clocher est une tour, sous-structure identifiable de l’église, dont la hauteur est prépondé-rante sur toutes les autres dimensions. Il peut être dans ou hors œuvre. L’étude bibliographique montre que les mesures sous bruit ambiant sont particulièrement performantes pour ce type d’ouvrages élancés (Cf section IV.1.1.d). Les signaux devraient donc être de bonne qualité

- la modélisation de cette structure est plus simple à réaliser que celle de l’édifice entier car moins de paramètres entrent en jeu. On peut de plus s’attendre à un comportement comparable à celui d’une poutre, hypothèse étudiée par D’Ambrisi et al. (2012). Il est ainsi possible de définir le type de déformées auxquelles on s’attend, voire même de comparer les résultats de modèles plus ou moins détaillés à des formules analytiques de la littérature.

- les conditions aux limites et les paramètres géométriques influent plus sur la déformée, tandis que les caractéristiques des matériaux modifient d’avantage la fréquence. Ces informations sont cruciales mais difficiles à obtenir. En effet, à grande échelle il est impossible de faire des tests intensifs dans chaque église. De plus, même en cas de tests nombreux, la maçonnerie est tellement hétérogène et l’histoire des modifications de chaque bâtiment complexe, qu’on ne pourrait de