Définition d’un modèle non linéaire adapté par essais virtuels aux ED

a Principe de la méthode proposée

Dans le but de définir des critères seuils adaptés à la maçonnerie ancienne non appareillée et de construire des courbes de fragilité envisageant le plus de mécanismes de ruine possible, nous souhaitons pouvoir prédire la réponse non linéaire sous séisme d’une église entière. Or l’échelle de notre étude nous impose de conserver un macro-modèle, léger, formulé en éléments plaque. Nous voulons donc calibrer un modèle non linéaire homogénéisé, ce qui nécessite des données matériaux que nous ne possédons pas. En effet nous avons montré en section I.1.3 que les tests possibles sur les structures historiques, quoique nombreux, ne donnent que des résultats d’autant plus localisés que la maçonnerie ancienne est très hétérogène. Nous proposons donc d’identifier un modèle continu qui respecte nos impératifs de modélisation, notamment la légèreté et la formulation plaque, sur l’un des essais en compression réalisés par Silva (2012). Nous avons choisi le type de mur le plus proche de la maçonnerie de notre panel, et validé le modèle ainsi calibré en le testant sur les autres essais disponibles, notamment un essai en cisaillement. Nous n’avions pas à disposition d’essai en traction nous permettant d’identifier le comportement en traction du modèle. C’est pourquoi, en collaboration avec Vassaux et al. (2015a,b), nous identifions d’abord un modèle discret sur l’essai en compression bien documenté, puis nous en vérifions la validité et la calibration en simulant d’autres essais de Silva. Ceci nous permet de disposer ensuite de toutes les informations nécessaires à l’identification du modèle continu (Limoge-Schraen et al., 2015b).

Le modèle discret présente l’avantage, par rapport à un modèle plus fin homogénéisé comme le modèle volumique de Faria et al. (1998) utilisé par Silva, de représenter l’ouverture des fissures, multiple et anisotrope, ainsi que leur fermeture. De plus, contrairement aux micro-modèles très lourds décrits au paragraphe I.3.2, le modèle discret assimile les pierres à des particules rigides et le mortier à des éléments d’interface 1D, ce qui permet le calcul rapide de structures de dimensions assez importantes comme les murs testés mesurant 1,2m de haut, 1m de large et 0,5m d’épaisseur. Une fois le modèle discret calé, on peut modifier les caractéristiques matériaux données en entrée pour représenter au mieux la maçonnerie étudiée, puis identifier le modèle continu choisi à partir des simulations de référence fournies par le modèle discret.

b Modèle discret : simulation mésoscopique de la maçonnerie b.1 Modèle microscopique utilisé

Les essais virtuels d’échantillons à l’échelle du matériau nécessitent un micromodèle, composé de particules rigides et d’un réseau de poutres d’Euler-Bernoulli. Le réseau de poutres reproduit la cohésion et les mécanismes de rupture entre les particules qui permettent une description réaliste du comportement d’une fissure grâce à l’intégration de mécanismes de contact et de frottement (Vassaux et al., 2015b). Ce modèle est développé dans un contexte quasi-statique

afin de limiter le coût des calculs et d’éviter des effets dynamiques arbitraires. L’algorithme d’intégration est une version incrémentale des schémas d’intégration classiques pilotés par les événements (Rots et al., 2008). Ceci permet de calculer la solution comme une succession d’états d’équilibre, en prenant en compte d’autres non-linéarités que la fissuration, telles que le contact ou le frottement, ce qui ne pourrait être résolu avec un schéma d’intégration classique piloté par les événements.

Les équations définissant le comportement élastique du réseau sont résumées en eq. III.3.1.

F_coh,ij = Y _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ [ F_N,ij = ^{EA¯ b,ij} l_b,ij ui≠uj ˙ ˝¸ ˚ 1 u_i≠ u_j2 .n_b,ij FT,ij = ^{12 ¯EIb,ij} l3 b,ij vi≠vj ˙ ˝¸ ˚ 1 u_i≠ u_j2 .t_b,ij≠6 ¯EI_b,ij l2 b,ij (◊i≠ ◊j) M_Z,ij= ^{6 ¯EIb,ij} l²_b,ij vi≠vj ˙ ˝¸ ˚ 1 u_j≠ u_i2 .t_b,ij+^{4 ¯EIb,ij} l_b,ij 3 ◊_i≠^◊j 2 4 (III.3.1)

Nous introduisons les paramètres –, coefficient d’inertie des poutres du réseau et ¯E leur module d’Young. FN,ij, FT,ij et MZ,ij représentent respectivement l’effort normal, l’effort tangentiel et le moment fléchissant dans la poutre liant les particules i et j. u_i et ◊_i décrivent respectivement les déplacements et la rotation de la particule i. n_b,ij et t_b,ij représentent respectivement les vecteurs normal et tangent à la section de la poutre liant les particules i et j. Enfin, Ab,ij, Ib,ij

et l_b,ij décrivent respectivement la section, le moment d’inertie et la longueur de cette poutre. La rupture d’une poutre du réseau est définie grâce à l’utilisation d’un critère exprimé en fonction de la déformation dans cette poutre et des rotations à ses extrémités (Eq. III.3.2). Comme les phases des matériaux ne sont généralement pas décrites de façon distincte, des propriétés de rupture distribuées statistiquement sont utilisées. Les séries statistiques des deux seuils à la rupture, ‘cr pour le mécanisme de rupture en extension et ◊cr pour celui en flexion, suivent la loi de distribution de Weibull. Dans les deux cas, ‘cr

ij et ◊cr

ij, l’indice ij indique qu’il s’agit du seuil utilisé entre les particules i et j. Deux facteurs d’échelle ⁄_‘cr et ⁄_◊cr et un facteur de forme k sont introduits. ‘ij décrit la déformation dans la poutre liant les particules i et j.

‘_ij ‘cr ij +^{|◊i≠ ◊j|} ◊cr ij > 1 (III.3.2) f (x) = ^k ⁄ 3_x ⁄ 4k≠1 e^≠(x/⁄)k (III.3.3)

f (x) est une variable statistique suivant une loi de distribution de Weibull.

Quand deux particules non liées par une poutre cohésive se chevauchent, des forces de contact sont générées. Elles sont proportionnelles à la surface du chevauchement et au module d’Young du matériau, identique à celui de la poutre, ¯E (Cf eq. III.3.4).

F_cont,ij = ≠^ES¯ r,ij

l_c,ij ^nc,ij (III.3.4)

avec FN,ij l’effort normal de contact entre les particules i et j qui se touchent, n_c,ij la direction de contact normal et Sr,ij l’aire de chevauchement. lc est la longueur caractéristique, diamètre

moyen des particules : 1 l_c,ij = ¹ 2 A 1 D_i + ¹ D_j B (III.3.5)

De plus, une force de frottement est générée entre deux particules en contact. Elle suit le modèle de frottement de Coulomb, introduisant le coefficient de frottement de la pierre µ, avec F_cont,ijet F_{f ric,ij} représentant respectivement les forces de frottement normale et tangente entre les particules i et j qui se touchent.

||F_{f ric,ij}|| = min1

||F^el_{f ric,ij}||,µ||F_cont,ij||2

(III.3.6) L’effort Fel

f ric,ij se calcule de la même façon que l’effort tranchant dans une poutre : Cf eq. III.3.1, 2e ligne, relation entre v_i, v_j, ◊_i et ◊_j. Les caractéristiques géométriques de celle-ci sont les mêmes que celles du contact et les déplacements à ses extrémités sont ceux des particules en contact. Le modèle microscopique ainsi que son algorithme d’intégration sont décrits en détails dans Vassaux et al. (2015b). Sa validation sous chargements multi-axial et cyclique, notamment vis-à-vis des ruptures en modes mixtes et des mécanismes de contact est présentée dans Vassaux et al. (2015a).

b.2 Adaptation du modèle à la maçonnerie

Le modèle particulaire introduit ci-dessus a été développé initialement pour des matériaux quasi-fragiles comme le béton. Pour l’utiliser sur de la maçonnerie et grâce aux deux phases de celle-ci conduisant à sa méso-structure discrète, mortier et pierres, nous avons pu apporter des simplifications. Comme nous l’avons expliqué en section I.1.3.b, dans la maçonnerie ancienne avec mortier à base de chaux, les fissures se propagent quasi systématiquement dans le mortier, tandis que dans le modèle, les particules sont rigides et ne peuvent donc se rompre. Nous pouvons donc représenter chaque pierre de la structure maçonnée par une particule polygonale discrète, obtenue grâce à un diagramme aléatoire de Voronoï. Ceci nous permet de représenter la maçonnerie par un nombre réduit de particules, donc de réduire fortement le temps de calcul.

De plus, dans le cas de la maçonnerie, la principale hétérogénéité, et la plus influente sur le mécanisme de fissuration, réside dans la différence de propriétés entre la pierre et le mortier. Il n’est donc pas nécessaire, comme cela est souvent fait pour le béton, de tenir compte des hétérogénéités à plus petites échelle dans le mortier. En partant du principe que chaque phase

a) b)

Fig. III.21 Illustration de la technique de modélisation d’une structure. a) Le mur testé expé-rimentalement par Silva (2012). b) Maillage généré pour la calibration du modèle discret.

peut être bien identifiée, chaque particule représentant une pierre, l’hétérogénéité principale est bien reproduite. C’est pourquoi on peut considérer que le réseau représentant le mortier a des propriétés de rupture constante. Or si les propriétés de ruptures sont constantes, il n’est plus nécessaire de les tirer aléatoirement. Donc le paramètre k n’existe plus, et toutes les poutres ont des paramètres ‘cr et ◊cr identiques.

b.3 Calibration

Une fois le modèle adapté à la maçonnerie, le nombre de paramètres à identifier est réduit à six, qui peuvent être calibrés par un unique test en compression avec endommagement, alors que le modèle originel appliqué aux matériaux quasi-fragiles requérait plusieurs tests dans le domaine non linéaire (Vassaux et al., 2015a).

Nous avons déduit lp, la taille des particules qui représentent les pierres incluses dans le mortier, de la taille moyenne des pierres décrites dans les essais. Cette valeur est la longueur d’entrée utilisée pour la génération du diagramme de Voronoï de l’échantillon numérique.

La calibration des paramètres élastiques est faite de la même façon que pour le modèle initial, en utilisant la phase élastique de l’essai de compression virtuel (Vassaux et al., 2015a). Nous avons d’abord calibré le coefficient d’inertie du réseau – car il est le seul paramètre contrôlant le coefficient de Poisson de l’échantillon. Puis nous avons calibré le module d’Young ¯E des poutres du réseau, contrôlant la raideur dans la phase élastique.

Pour la calibration des paramètres de rupture, nous remarquons que l’endommagement de l’échantillon en compression commence par des fissures diffuses parallèles à la direction de char-gement dues à des extensions locales associées à l’effet Poisson. Ce premier comportement non linéaire observable correspond dans le modèle discret à l’échelle des poutres du réseau, à une ruine locale des poutres d’Euler-Bernoulli qui dépassent la valeur seuil en extension ‘cr. Dans ce processus, le seuil en rotation ◊cr n’intervient pas (Vassaux et al., 2015a). Nous avons donc d’abord calibré le seuil en extension pour ajuster la contrainte à laquelle apparaissent les pre-mières non-linéarités dans la réponse macroscopique de la maçonnerie. Le seuil en rotation, qui contrôle la suite du processus de ruine de l’échantillon, a été ajusté en dernier pour atteindre un chargement au pic satisfaisant.

Nous avons considéré que le coefficient de frottement µ correspondait au coefficient de frotte-ment des pierres de la maçonnerie et avons donc utilisé une valeur issue de la littérature, 0,65 dans les matériaux sec et 0,6 dans les matériaux saturés (Vasconcelos et Lourenco, 2009).

b.4 Validation sur un mur de maçonnerie trois couches

Nous avons utilisé les tests effectués sur des murs en maçonnerie en trois couches effectués par Silva (2012) pour valider la capacité du modèle discret décrit ici à reproduire le comportement de la maçonnerie. Nous avons utilisé comme référence le mur B3, en maçonnerie non-renforcée, de 1.20 m de haut, 1.00 m de large et 0.50 m d’épaisseur. Sa campagne fournit les informa-tions nécessaires pour calibrer et valider le modèle mésoscopique utilisé. Un test en compression monotone est utilisé pour calibrer les paramètres élastiques et de rupture. La validation est faite en vérifiant que le modèle calibré reproduit bien le comportement de la maçonnerie lors de l’essai en cisaillement. Tous les détails concernant la mise en œuvre des tests sont fournis par Silva (2012). Nous avons dimensionné les particules pour retrouver le même nombre de pierres que dans le mur de référence, soit environ 10 lits de 6 pierres sur la surface visible. Comme le modèle mésoscopique est formulé en 2D, les résultats numériques correspondent à un mur d’un mètre d’épaisseur. Nous les convertissons donc linéairement pour les comparer aux résultats expérimentaux sur le mur de 0.50 m d’épaisseur.

Les propriétés expérimentales listées dans le tableau III.4(b), coefficient de Poisson longi-tudinal, module d’Young initial, contrainte à l’apparition de la première fissure et contrainte maximum au pic, ont été utilisées pour calibrer les paramètres du modèle discret récapitulés

dans le tableau III.4(a). Aucun des tests exposés par Silva ne montre une influence particulière du coefficient de frottement µ, c’est pourquoi nous avons utilisé la valeur de 0,6 communément utilisée dans la littérature (Vasconcelos et Lourenco, 2009).

(a)

– E (GPa) ‘cr ◊cr

0.80 2.5 1 10−4 7.0 10−4

(b)

‹L E (GPa) ‡1,cr (MPa) ‡max(MPa) 0.19 2.885 0.4 2.1

Table III.5 Calibration du modèle discret pour un mur en maçonnerie trois couches. a) Para-mètres numériques calibrés. b) Propriétés expérimentales.

Nous avons d’abord vérifié l’efficacité du modèle à travers la réponse sous compression mono-tone, car bien que ce test ait été utilisé pour calibrer le modèle, la pertinence de la réponse numé-rique globale n’était pas assurée. La figure III.22 compare les réponses simulée et expérimentale. Comme on peut le voir, le modèle discret reproduit bien, qualitativement et quantitativement, la réponse globale jusqu’au chargement limite avant la ruine fragile du mur.

≠4 ≠3 ≠2 ≠1 0 ≠3 ≠2 ≠1 0 Déformée (◊10−³) C on tr ai nt e (M P a)

Fig. III.22 Vérification de la réponse en compression monotone, (Silva et al., 2014).

0 2 4 6 0 50 100 150 Déplacement (◊10−³ m) For ce (k N)

Fig. III.23 Validation de la réponse numérique pour un test en cisaillement avec un précharge-ment constant en compression de 1 MPa (Silva et al., 2014).

Nous avons ensuite validé le modèle sur un test en cisaillement avec un préchargement constant en compression de 1 MPa, en comparant les réponses numérique et expérimentale, comme illustré en figure III.23. La maçonnerie utilisée pour cet essai est censée être identique à celle de l’essai en compression, nous avons donc gardé les mêmes paramètres pour le modèle discret. Les réponses sont qualitativement identiques jusqu’à un déplacement imposé de 4mm. Au-delà, les réponses numérique et expérimentale diffèrent un peu puisque la rupture fragile est observée pour un déplacement imposé de 5 mm numériquement et 6 expérimentalement.

Le faciès de fissuration au pic de chargement est réaliste, ce qui apporte une validation sup-plémentaire de la pertinence du modèle mésoscopique (Fig III.24). Même si aucune comparaison systématique complète ne peut être faite avec les résultats exposés par Silva, l’orientation de fissure est pertinente pour un test en cisaillement et est compatible avec celle qu’il décrit sur l’extérieur des murs. Ceci montre que non seulement les résistances sont correctes, mais que le modèle ainsi calibré utilise les bons mécanismes d’endommagement.

Fig. III.24 Faciès de fissuration numérique pour un essai de cisaillement avec préchargement constant en compression de 1 MPa.

c Description et enrichissement du modèle continu homogénéisé choisi

Nous avons choisi d’utiliser le modèle en contraintes planes, appelé RICCOQ dans Cast3M et formulé initialement pour du béton. Sa formulation simple et robuste correspond à nos impératifs de modélisation, notamment sa légèreté, son petit nombre de paramètres et sa formulation pour des éléments plaques. Il est régularisé en énergie de fissuration.

Dans ce modèle l’énergie libre de Helmholtz est exprimée selon l’équation III.3.7 :

fl. = (1 ≠ d)Á_ijC_ijklÁ_kl (III.3.7) En dérivant cette équation selon le tenseur des déformations Áij, on obtient la loi d’état suivante :

‡_ij = (1 ≠ d)CijklÁ_kl (III.3.8)

Pour être cohérent d’un point de vue thermodynamique, le modèle doit respecter l’inégalité de Clausius-Duhem :

‡_ij˙Á_ij≠ fl. ˙ÂØ 0 (III.3.9)

Cette inégalité est vérifiée si le modèle respecte les conditions suivantes : ˆd

ˆY_t ˙Y_tØ 0, ^ˆd

Les seuils d’endommagement sont définis en terme de déformation équivalente. Comme le com-portement non linéaire est découplé en deux parties pour obtenir un effet unilatéral, deux dé-formations équivalentes sont définies Á+

eq et Á≠

eq, où les Ái sont les valeurs propres du tenseur des déformations : Á⁺_eq= ˆ ı ı Ù^ÿ3 i=1 < Á_i>²₊, Á≠ eq = ˆ ı ı Ù^ÿ3 i=1 < Á_i>2 ≠ (III.3.11)

Les surfaces de charge sont définies pour les deux domaines non linéaires définis comme suit : f⁺ = H [Tr(σ)] .Y+≠ Á⁺₀, f≠= (1 ≠ H [Tr(σ)]) .Y≠

≠ Á≠

0 (III.3.12)

avec Y+ = maxt(Á+,Á₀⁺) et Y≠ = maxt(Á≠,Á≠

0) variables internes et H [Tr(σ)] la fonction Hea-viside (H [x] = 0 si x < 0 et H [x] = 1 si x Ø 0).

La loi d’évolution pour les variables d’endommagement est la suivante :

d^+,≠ = 1 ≠ ^Á

+,≠ 0

Y+,≠ exp^Ë≠B^+,≠(Y+,≠≠ Á^+,≠)^È (III.3.13) Ces variables sont ensuite re-combinées selon l’équation suivante :

d = H [Tr(σ)] d⁺+ (1 ≠ H [Tr(σ)]) d≠ (III.3.14) Afin de mieux reproduire le comportement de la maçonnerie pour des sollicitations de com-pression donc de prendre en compte son comportement rigidifiant puis adoucissant, nous avons modifié la loi d’évolution pour la variable d’endommagement en compression D≠. Nous nous basons sur la forme de la loi d’évolution du béton en compression proposée par Mazars (1986) :

D≠= 1 ≠ (1 ≠ Ac)^Á

≠ 0

Y≠ ≠ Acexp[≠Bc(Y≠

≠ Á^≠₀)] (III.3.15)

avec Ac et Bc des paramètres du modèle permettant de contrôler la forme de l’évolution de D≠. Cette dernière variable se recombine de la même façon que la variable D≠ initiale du modèle. Les évolutions en traction et en compression du modèle modifié sous chargement monotone sont illustrées en figure III.26, sous chargement cyclique en figure III.25. On observe bien le caractère unilatéral du modèle. Cette loi d’évolution permet ainsi d’avoir une phase non linéaire avant le pic de contrainte correspondant à ce qui peut être observé expérimentalement.

a) b)

Fig. III.25 Comportement sous chargement cyclique du modèle Riccoq modifié. a) Chargement cyclique appliqué. b) Évolution des efforts en pied en fonction des déplacements.

d Calibration et validation du modèle continu homogénéisé Riccoq

Nous avons procédé à l’identification du modèle continu à partir des données de l’essai virtuel effectué avec le modèle discret, soit un essai en compression et un essai en traction. Les paramètres à ajuster sont donc le module d’Young, en traction la résistance et l’énergie de fissuration et en compression la déformation limite, et les coefficients Bc et Ac pilotant respectivement la courbure et l’orientation de la partie post-pic de la courbe.

Les paramètres élastiques, module d’Young, coefficient de Poisson et masse volumique, ont été pris identiques à ceux des essais expérimentaux et permettent d’obtenir des résultats très satis-faisants sans modification. En première vérification, la figure III.26a compare les comportements sous compression monotone des modèles discret et continu aux résultats du test expérimental de Silva. La figure III.26b montre que le comportement en traction du modèle continu correspond parfaitement à celui du modèle discret. On voit que le comportement global est bien reproduit et que les résistances sont correctement estimées dans les deux cas.

a) b)

Fig. III.26 Première vérification. a) Réponse en compression expérimentale et des modèles discret et continu. b) Réponse simulée en traction, pour les modèles discret et continu.

Nous avons ensuite utilisé le même test en cisaillement avec compression que cité plus haut pour poursuivre la validation. La figure III.27 apporte la validation de la réponse simulée avec le modèle en la comparant aux résultats expérimentaux. La réponse simulée est quantitative-ment similaire jusqu’à un déplacequantitative-ment de 4mm, puis, comme pour le modèle discret, diverge progressivement.

Les faciès de fissuration lors de l’essai en cisaillement pour les trois étapes, essais expérimen-taux, modélisation discrète puis modélisation continue sont présentés en figure III.28. Si une comparaison quantitative de la fissuration n’est pas possible car nous n’avons pas accès aux 3 dimensions, on voit que qualitativement l’orientation des fissures est tout à fait pertinente. Les mécanismes d’endommagement utilisés sont donc corrects.

Le modèle matériaux ainsi calibré peut maintenant être utilisé à l’échelle de la structure. Pour ce faire, nous avons modifié ses paramètres élastiques pour tenir compte des spécificités de chaque église et des caractéristiques des matériaux définies lors du calage du modèle de la structure complète sur les mesures vibratoires in-situ, présenté au chapitre IV. Ce modèle sera utilisé au chapitre V où nous validerons ses résultats à l’échelle de la structure.

Fig. III.27 Validation de la réponse simulée en cisaillement, avec une compression constante de 1 MPa.

a) b) c)

Fig. III.28 Faciès de fissuration lors d’un test en cisaillement avec une compression constante de 1 MPa. a) Essai de Silva. b) Réponse du modèle discret. c) Réponse du modèle continu.