Principe et objectifs de l’enregistrement in-situ

a Principe général

L’étude du comportement dynamique des structures de génie civil relève de la dynamique des milieux continus. Toutefois compte tenu de la complexité de forme et de composition des solides impliqués, seul l’usage de simplifications permet de déterminer des solutions pratiques, les solu-tions analytiques rigoureuses n’existant que pour quelques composants simples. Corrélativement les approches numériques tridimensionnelles contemporaines, comme les éléments finis que nous utilisons ici, sont basées sur la méthode de discrétisation spatiale des équations différentielles spatio-temporelles de la dynamique sur un maillage de l’espace. Le bilan des forces en présence pour une structure à base supposée fixe fait apparaître :

– la somme des forces externes S(t) comme les sollicitations du sol, le vent, la gravité... – la force de rappel élastique, proportionnelle au déplacement U(t) de la structure – les forces de viscosité, supposées proportionnelles à la vitesse UÕ(t) de la structure – la force d’inertie MUÕÕ(t), opposée à l’accélération.

L’équation fondamentale de la dynamique s’écrit alors :

M U^ÕÕ(t) + CUÕ(t) + KU(t) = S(t) (IV.1.1)

M, la masse, est constante si l’on exclut les modifications ponctuelles de la structure ou de son usage, comme l’a montré Clinton et al. (2006) pour la Millikan Library. M ne dépend pas de l’amplitude du déplacement, sauf en cas d’endommagement sévère avec ruine de parties de la structure lors de très fortes sollicitations.

K, la rigidité globale du système, est constituée de celle de la structure base-fixe et de celle liée à l’ancrage de la fondation dans le sol. Elles peuvent toutes deux varier en fonction de facteurs extérieurs, comme la température et la teneur en eau du sol de fondation (Clinton et al., 2006) ou l’ajout ou la suppression de murs de remplissage (Hans et al., 2005). Sur les bâtiments anciens, Ramos et al. (2010) ont montré que les fréquences propres du beffroi de Mogadouro augmentaient avec la hausse de la température et baissaient avec l’augmentation du taux d’humidité dans l’air d’environ 0,2Hz autour de 2,6Hz. Antonacci et al. (2001) soulignent, grâce à des tests au marteau, les modifications du comportement dynamique de la basilique S.Maria di Collemaggio après des travaux de renforcement. K varie également en fonction de l’amplitude des sollicitations, d’abord à cause des fissures préexistantes puis, après le début de l’endommagement sous fortes sollicitations, à cause de l’ouverture de nouvelles fissures et des ruptures successives des éléments raidisseurs.

C, l’amortissement, est sans doute le paramètre le moins bien connu. Ses variations n’ont jamais clairement pu être reliées à l’amplitude de la sollicitation (Dunand, 2005). Dans la litté-rature, l’approximation d’un amortissement visqueux, proportionnel et constant, est utilisée la plupart du temps, mais c’est une simplification forte de la réalité.

En dehors du domaine plastique et des transformations ponctuelles, le comportement d’une structure peut donc être décrit par un système d’équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants. Il existe une base de mouvements élémentaires, ou vecteurs, dans laquelle tout mouvement de la structure s’exprime comme une combinaison linéaire de ces vec-teurs de base ou modes. Le nombre et la répartition des modes d’une structure dépendent intrinsèquement de sa géométrie et de ses paramètres physiques M, K et C. Chaque mode n est caractérisé par sa période d’oscillation T_n, sa fréquence de résonance associée F_nou sa pulsation Ê_n = 2fiFn, son amortissement ›n, sa déformée modale dans l’espace „n et son coefficient de participation de la masse au mouvement “n. L’objectif de l’analyse modale est de déterminer ces modes donc ces caractéristiques de manière à décrire plus simplement une structure pour la modéliser.

L’Analyse Modale Expérimentale (AME ou Operationnal Modal Analysis, OMA) exploite les signaux enregistrés in-situ afin de définir les caractéristiques "réelles". En appliquant la transfor-mée de Fourier à l’équation de la dynamique (Cf. Eq. IV.1.1), on définit la fonction de réponse en fréquence H(Ê) (FRF - Frequency Response Function), qui correspond au ratio entre la réponse du système en déplacement U(Ê) et la force excitatrice S(Ê) et dépend directement de ses carac-téristiques. La FRF correspond donc au facteur d’amplification de la réponse du système soumis à une excitation extérieure et est définie ainsi, avec K et M les matrices respectivement de raideur et de masse de la structure, et Ê et › respectivement sa pulsation et son amortissement :

H(Ê) = ^U(Ê) S(Ê) ⁼ 1 K 1 1 ≠ (Ê/Ên)2+ i[2›(Ê/Ên)] ^(IV.1.2)

Il est ensuite possible de calculer l’amplitude et la phase de cette fonction complexe :

|H(Ê)| = 1/K



[1 ≠ (Ê/Ên)2]2+ [2›(Ê/Ên)]2 tan[„_H(Ê)] = ≠ ^2›(Ê/Ên)

1 ≠ (Ê/Ên)2 (IV.1.3) En négligeant l’amortissement, les solutions à l’équation de la dynamique peuvent s’écrire :

U (t) =

n ÿ i=1

[A_icos(Ê_it) + B_isin(Ê_it)]„_i (IV.1.4)

avec Êi...n les fréquences propres dont les carrés constituent la matrice diagonale Ω et „i...n les vecteurs propres, constituant les colonnes de la matrice modale Φ, soit :

Φ = [„1„₂...„n] et Ω = Diag[Ê₁², ʲ₂, ...Ê_n²] (IV.1.5) Les relations d’orthogonalité permettent d’écrire :

KΦ = MΦΩ (IV.1.6)

En multipliant d’abord les matrices de masse et de raideur du système par la transposée de la matrice modale, puis en les multipliant par la matrice modale, on peut écrire :

Φ^TM Φ¨u(t) + Φ^TKΦu(t) = 0 ∆ ¨u(t) + Ωu(t) = 0 (IV.1.7) Ceci permet de découpler les équations de chaque système à un degré de liberté composant le système, comme illustré en figure IV.1. L’AME consiste à résoudre le problème inverse. Il faut déterminer les valeurs de M, C et K connaissant l’équation de mouvement du système u(t), les conditions initiales et les fonctions d’excitation. En effet, on cherche à obtenir des informa-tions sur des systèmes mal connus dont on souhaite caractériser les paramètres structurellement pertinents.

Fig. IV.1 Découplage des équations de chaque mode, d’après Avitabile (2012)

b Outils d’analyse de la pertinence d’une base modale : Modal Assurance Cri-terion (MAC) et Coordinate MAC (CoMAC)

La matrice de corrélation modale ou MAC est utilisée pour comparer deux ensembles de vecteurs ou deux bases modales dans notre cas. Φ1 et Φ2 contiennent respectivement N1 et N2 vecteurs ou déformées. Le nombre de modes déterminés dans chaque série peut être différent, N1 ”= N2, mais la dimension de chaque vecteur soit le nombre de degré de liberté, doit être la même. La matrice de MAC associée à ces deux bases s’écrit :

M AC(„1, „2) = ^|tΦ1Φ2|2

[tΦ₁Φ₁][tΦ₂Φ₂] ^(IV.1.8)

La composante ij de cette matrice est le produit scalaire du vecteur propre i de la base Φ1 et du vecteur propre j de la base Φ₂. Les vecteurs propres correspondant à des valeurs propres différentes étant orthogonaux entre eux, la matrice Φ1Φ1 est diagonale pour une base parfaite. Dans le cas d’une base imparfaite, suite à des imperfections de mesures par exemple, elle présente des valeurs non nulles sur la diagonale. Elle permet donc de quantifier le degré de corrélation entre chaque paire de vecteurs par un seul nombre compris entre 0 et 1.

– (MAC)i,j = 1 Le ième vecteur de Φ1 est colinéaire au jème vecteur de Φ2, c’est-à-dire que les déformées propres sont identiques. Il y a une corrélation parfaite.

– (MAC)i,j = 0 Les deux vecteurs sont orthogonaux, les déformées très différentes.

Dans la pratique, quand les coefficients de corrélation sont supérieurs à 0,7 on considère que les modes sont corrélés, de façon bien satisfaisante à partir de 0,8. En dessous de 0,4 Gentile et Saisi (2004) estiment que la corrélation est inexistante. De plus la notion de correspondance entre deux modes doit évidemment inclure la proximité des fréquences propres. Deux modes ne peuvent être appariés que si leurs fréquences propres sont voisines. Allemang et Brown (1983) décrivent plus en détail ce critère et Allemang (2003) souligne les précautions d’utilisation.

Le critère MAC permet par exemple de comparer la base modale issue des mesures expéri-mentales et celle obtenue grâce au modèle numérique et donc de mesurer la qualité du modèle numérique, comme on peut le voir sur la figure IV.2 a). Ici les valeurs du MAC < 0,76 pour tous les modes montrent que ces modes sont très différents. De plus le même mode numérique est cor-rélé à deux modes expérimentaux différents, ce qui n’est pas acceptable. Le modèle ne convient donc pas pour prédire le comportement de la structure. De la même façon, il est possible de com-parer une base modale avant et après un événement sismique pour quantifier l’endommagement et son impact sur les déformées.

Le critère MAC peut aussi être calculé sur une même base modale en "autoMAC". Son utilisation sur un jeu de données expérimentales permet notamment de vérifier la capacité des

a) b)

Fig. IV.2 Matrices MAC de NDG. a) Bases modales expérimentale (6 modes) et numérique (modes entre 0 et 25Hz) avant calage du modèle : modes doubles, seulement 4 correspondances avec un MAC maximum à 0,76. b) AutoMAC, base modale expérimentale, 6 modes. Il manque des capteurs pour distinguer plus clairement les modes 1-2 et 3-4.

capteurs à séparer les modes. En effet deux modes propres différents sont orthogonaux et donc, s’ils sont identifiés correctement, la valeur du critère MAC correspondant doit être proche de zéro. Si les capteurs sont insuffisants ou mal positionnés, l’orthogonalité de deux modes propres ne sera pas détectée correctement : modes 1-2 et 3-4 sur la figure IV.2 b). Á la limite un capteur unique donnera toujours une valeur de 1 pour le MAC comme on peut le constater sur la formule IV.1.8. Sur l’AutoMAC numérique, on pourra vérifier si les modes prépondérants sont proches en fréquence ou s’il s’agit en fait d’un même mode mal caractérisé.

Nous avons aussi utilisé un indicateur supplémentaire, le CoMAC (Coordinate Modal As-surance Criterion) (Hunt, 1992; Lieven et Ewins, 1988). Comme le MAC, c’est un indicateur d’erreur en déformée. Il vise à déterminer quels degrés de liberté (DDL), capteurs ou nœuds du modèle numérique, contribuent à une mauvaise valeur de MAC. Une fois les paires de modes constituées, numérique/expérimental dans notre cas en utilisant le MAC, il mesure la correspon-dance qui existe entre les deux bases modales pour chaque degré de liberté. Il est donc nécessaire que chaque mode possède sa paire dans l’autre base modale. Il est aussi compris entre 1 et 0. En calculant le CoMAC pour tous les DDL de la structure, on peut donc repérer au niveau de quel nœud se situent les plus grosses erreurs en déformée. Son expression est la suivante pour le degré de liberté q, avec r le numéro de mode, et M le nombre de paires de modes constituées entre les bases Φ et Ψ :

CoM AC(q) = M q r=1 |Ψ^r_qΦr q|² M q r=1(Ψr q)2 q^M r=1(Φr q)2 (IV.1.9)

c Différents objectifs de l’AME

Gueguen et al. (2013); Michel (2007) soulignent la multiplication de techniques d’acquisition de plus en plus performantes, qui ouvrent de nouvelles possibilités. De nouveaux moyens d’acqui-sition apparaissent, basées sur des mesures Lidar terrestres (Gueguen et al., 2010)), des mesures de vibrations par radar (Gentile et Bernardini, 2010) ou par corrélation d’image prises par des caméras rapides et haute résolution (Moretti et Rossi, 2011). Ces innovations facilitent l’acquisi-tion d’informal’acquisi-tions et multiplient les points de mesures possibles, même à grande échelle. Il est donc maintenant plus aisé de chercher des solutions pour le diagnostic des structures existantes. C’est pourquoi les deux dernières décennies ont vu se développer l’évaluation non-destructive de l’intégrité des structures. On peut distinguer trois objectifs principaux.

1) Ces techniques permettent le recalage ou identification de modèle (pour une explication du principe de base en mécanique : (Balmès, 1997)). L’AME exploite les signaux enregistrés in-situ afin de définir la base modale "réelle" de la structure traitée : fréquences propres et défor-mées des modes propres principaux (Cf section IV.1.1.a). La comparaison de ces résultats avec ceux du modèle numérique proposé a priori permet de déterminer la pertinence de ces derniers. En modifiant des paramètres d’entrée du modèle, comme les caractéristiques des matériaux constitutifs ou certaines hypothèses simplificatrices de modélisation, de façon à rapprocher ses caractéristiques modales des mesures sur le bâtiment, on peut le rendre plus fiable. L’enregistre-ment de vibrations ambiantes permet donc d’établir un modèle reproduisant le comporteL’enregistre-ment élastique d’un bâtiment. Michel et al. (2010) ont montré la pertinence de cette méthode pour fixer les propriétés élastiques et les conditions aux limites d’un modèle numérique 3D, dans le but d’évaluer la réponse sismique de l’hôtel de ville de Grenoble, en particulier sous sollicitations sismiques modérées. Michel (2007) utilise ainsi les mesures réalisées sur plusieurs types struc-turels du bâti grenoblois pour caler des modèles numériques simplifiés. Les modèles modaux établis à partir des enregistrements de vibrations ambiantes et représentant le comportement élastique des structures permettent de définir leur courbe de fragilité pour le premier niveau de dommage. Ce niveau de dommage caractérise la fin du domaine de validité du modèle, car il définit l’apparition des premières fissures.

2)Nous avons vu que l’endommagement d’une structure, par un séisme par exemple, modifie sa raideur, son amortissement voire sa masse. Il a donc des effets directs sur ses paramètres modaux : baisse de fréquence, modification des déformées, qui peuvent donc être utilisés comme des paramètres quantitatifs pour caractériser l’endommagement. Ainsi le suivi des fréquences d’un bâtiment permet d’effectuer une surveillance de l’état d’endommagement des structures (Structural Health Monitoring, SHM) comme l’ont démontré Dunand et al. (2004) après le séisme de Boumerdès du 21 mai 2003. Ce type d’instrumentation et d’AME aident à décider de la nécessité d’une intervention sur une structure suite à un séisme par exemple.

3) Une fois un état d’endommagement détecté, on cherche à localiser et à quantifier ce dommage. Les méthodes expérimentales existantes s’appuient en général sur la variation des formes modales, ces dernières étant reliées à la matrice de rigidité de la structure. Les tentatives de localisation d’endommagement par réseau dense de capteurs sur la base des paramètres modaux comme pour la quantification de l’endommagement, ont échoué. Ivanovic et al. (2000) l’ont montré dans un bâtiment endommagé par le séisme de Northridge en 1994. En effet, les déformées affectées par un endommagement local sont celles des modes d’ordres supérieurs, généralement peu excités et donc mal déterminés, que ce soit sous bruit de fond ou sous vibrations forcées. L’évaluation expérimentale des modes n’est pour l’instant pas suffisamment précise pour assurer une bonne localisation. Les méthodes explorées actuellement, analyse modale plus fine (Ching et Beck., 2003), étude de la propagation des ondes dans le bâtiment (Todorovska et Trifunac, 2007, 2008), ou recherche de nouveaux procédés de calage (DeRoeck et al., 2005), ont encore une validité limitée au laboratoire.

Notons que Clinton et al. (2006); Herak et Herak (2010); Mikael et al. (2013) ont montré l’oscillation des caractéristiques modales des bâtiments autour de leur fréquence fondamentale sur de longues séries temporelles. Ils expliquent ce phénomène par la température de l’air ou de fortes précipitations modifiant les conditions de sol. Selon Mikael et al. (2013) des incertitudes sur l’origine physique de ces variations demeurent car tous les bâtiments testés ne présentent pas les mêmes tendances. Cependant, ces variations restent très faibles, inférieures à 0.1% en fréquence et 1% en amortissement, ce qui nous permet de confirmer la grande stabilité de ces mesures, et par conséquent leur intérêt pour l’analyse dynamique du bâti existant. D’autre part, dans le cas d’édifices historiques, Ramos et al. (2010) souligne qu’il est intéressant de surveiller ce phénomène qui peut traduire une hausse de l’humidité donc une détérioration possible.

d Intérêt de l’AME sous bruit ambiant pour les bâtiments historiques

Les mesures sous vibrations ambiantes et l’extraction des données modales sont particu-lièrement bien adaptées aux édifices anciens pour plusieurs raisons. Tout d’abord le protocole expérimental est simple et non-destructif. Les capteurs peuvent être simplement posés sur la structure instrumentée en cas de mesures temporaires. Cela réduit le temps d’installation, per-mettant de multiplier les points de mesures dans des bâtiments complexes, sans altérer la struc-ture par des systèmes de fixation. Comme les capteurs disponibles actuellement sont de plus en plus performants et de moins en moins coûteux, il est possible de les multiplier même à grande échelle. De même, les systèmes d’acquisition se miniaturisent et sont tout à fait adaptés à des lieux peu accessibles comme les combles ou le sommet des clochers. D’autre part le protocole expérimental respecte les chartes internationales concernant le Patrimoine. Il n’interfère pas avec l’usage normal de la structure et ne crée pas de chargement additionnel permanent ou tempo-raire puisqu’on utilise les vibrations ambiantes. De plus celles-ci couvrent une large bande de fréquences (Cf section IV.1.2), ce qui permet d’inclure dans l’étude tous les modes significatifs. Enfin ces techniques s’inscrivent parfaitement dans la méthode idéale du diagnostic structurel du patrimoine historique regroupant des compétences variées (Cf section I.1.3) : recherche histo-rique, inspection visuelle, relevé géométhisto-rique, tests in-situ et en laboratoire, modélisation. Dans le contexte des monuments historiques, ces mesures in-situ peuvent jouer un rôle clé.

Les mesures sous vibrations ambiantes et l’AME sur des édifices anciens sont toutefois un sujet de recherche assez récent. Les études de bâtiments entiers sont limitées dans la littérature. Aras et al. (2011) étudient un palais en maçonnerie des années 1860 à Istanbul ; Lourenco et al. (2012) l’église du monastère de San Geronimo, Portugal ou Jaishi et al. (2003) des temples né-palais en maçonnerie. Casarin et Modena (2007) utilisent ponctuellement cette méthode pour le diagnostic structurel de la cathédrale Sante Maria Assunta en Emilie Romagne, Italie. Les références sont plus nombreuses pour des structures élancées et monolithiques (tours, ponts). En effet ce type de mesures y est particulièrement pertinent car elles sont plus sensibles aux sollicitations dynamiques, avec des déformées plus marquées et donc des signaux plus clairs. D’autre part l’élancement des tours combiné à la ductilité limitée de la maçonnerie provoque un comportement structurel presque fragile (Abruzzese et al., 2009), ce qui les rend particuliè-rement vulnérables aux sollicitations sismiques. Ces dernières années plusieurs tours ont donc été étudiées par identification dynamique : le beffroi San Nicola à Valence (Ivorra et Pallarés, 2006), le clocher de la cathédrale Monza près de Milan (Gentile et Saisi, 2007), le beffroi de Hagia Sofia à Trabzon, Turquie Bayraktar et al. (2009) ou celui de Sant Andrea à Venise (Russo et al., 2009). Foti et al. (2012) étudient sur la tour du bâtiment de l’administration régionale à Bari, datant des années 1930, bâtiment très hétérogène avec la présence d’un ascenseur gênant les mesures. D’Ambrisi et al. (2012) s’intéressent à une tour du XIIe siècle et comparent des analyses non linéaires, statique et dynamique, aux codes de calcul. Les études de ponts sont variées (Bayraktar et al., 2010; Gentile et Gallino, 2008; Gentile et Saisi, 2011), parfois sous différents niveaux d’excitation (Gentile et Saisi, 2012, 2013). Les résultats de ces campagnes in-situ aident à définir des modèles aux éléments finis plus robustes (Cf section IV.1.1.c), outils essentiels pour définir d’éventuels renforcements respectueux de la valeur patrimoniale.

D’autre part ces techniques de mesures in-situ et l’AME permettent un diagnostic des dom-mages et une surveillance de l’état réel de la structure grâce à une instrumentation sur le long terme (Carpinteri et al., 2005; Casarin et Modena, 2008; Valluzzi et al., 2003). Ramos (2007) a exploré ces possibilités. Ramos et al. (2010) utilisent l’AME sur le beffroi de Mogadouro et l’église du Monastère de Jeronimos à Lisbonne, pour déterminer les caractéristiques modales des structures. Puis une analyse statistique leur permet d’évaluer les effets de l’environnement sur la réponse dynamique de l’ouvrage et de proposer un diagnostic précoce des dommages. Le SHM constitue donc une aide précieuse à la préservation des structures historiques.