Modéliser et caractériser les réseau
2. La théorie des graphes
Depuis les travaux fo , un vaste pan de la littérature et des recherches su s’est développé autour de la théorie des graphes (Béguin et Thomas, 1997). Cette méthode d’analyse fournit de nombreuses
donc d’un graphe planaire puisqu’à chaque intersection correspond un sommet. Les arcs seront dès lors des portions de rue assimilables à des "tunnels à ciel ouvert" puisqu’il n’est pas possible d’en sortir sans passer par un sommet.
e la modélisation est aisément représentable d’un point de vue graphique (figure 41) et peut être transcrit sous la forme d’une matrice booléenne d’adjacence dans
ndateurs de P. Haggett40 à la fin des années 50
r les transports et leurs réseaux
techniques de calcul d’indices permettant de caractériser quantitativement et qualitativement la structure des réseaux étudiés. En général, l’évaluation se fait en référence à "un idéal
d’ubiquité, d’instantanéité et d’immédiateté" (Dupuy, 1991 ; Genre-Grandpierre, 2000).
2.1. Une modélisation préalable essentielle mais restrictive
Les algorithmes de la théorie des graphes fonctionnent à partir d’un réseau modélisé. Cette simplification est très utile puisqu’elle permet de diminuer la complexité du réseau ce qui facilite et multiplie les possibilités de calcul. Le réseau modélisé est composé de sommets reliés par des arcs. Il est possible de définir comme sommet des entités très différentes et ce choix relève toujours des objectifs que s’est fixé l’utilisateur. Logiquement, la nature des arcs est dépendante des choix effectués pour les sommets. Dans le cadre de la marche à pied, nous considérerons qu’un sommet correspond à tout point du réseau qui se trouve à l’intersection d’au moins deux tronçons de rue. Il s’agit
Ce graphe issu d
laquelle chaque sommet est répertorié en ligne et en colonne. Lorsque deux sommets sont connectés par un arc et un seul (dans le cas de la connectivité de premier ordre), alors cette relation est matérialisée par la valeur 1. Dans tous les autres cas et même si deux sommets sont très proches d’un point de vue euclidien ou réticulaire, la relation entre les deux sommets est considérée comme nulle (valeur 0). Un graphe sera dit orienté s’il n’existe aucune différenciation entre les sens de parcours des arcs41 du graphe. La matrice créée est donc
parfaitement symétrique.
Certains indices peuvent être d’ores et déjà être calculés à partir de ces matrices booléennes. Ils permettent d’exprimer la forme des réseaux et son efficience pour les usagers en terme de relations entre les sommets. Ces calculs partent de l’hypothèse que la configuration du réseau introduit des différences entre les usagers, selon leur localisation dans l’espace urbain.
- On pourra par exemple consulter le livre de P. Haggett et R. Chorley (1969) sur l’analyse des réseaux. 41 - Pour simplifier la description, nous parlons d’arcs que la relation soit orientée ou non. Pour plus de rigueur, on notera que l’arc est toujours une relation orientée. Si elle ne l’est pas, il s’agit d’une arête.
Figure 41 : Modélisation du réseau pour la théorie des graphes
2.2. Description morphologique
La connexité mesure la densité des liaisons entre les nœuds d’un réseau. Elle détermine s’il est possible, partant de n’importe quel sommet, d’atteindre tous les autres sommets du graphe étudié. Un graphe sera considéré comme connexe s’il existe au moins un chemin entre tous les sommets. Du point de vue des réseaux de transports routiers, il est extrêmement rare d’être confronté à un réseau non connexe, a fortiori en milieu urbain. Généralement, tous les points du territoire situés sur le réseau permettent d’accéder à tout autre point du réseau.
L’indice de connectivité traduit en quelque sorte la robustesse d’un réseau en rendant compte de sa vulnérabilité potentielle. Ainsi, un réseau dont la connectivité est faible ne met en relation les sommets que par un faible nombre de chemins potentiels. Si l’on supprime un arc sur le réseau, de nombreuses liaisons potentielles entre les sommets disparaîtront. A l’extrême, un isthme est un arc dont la suppression rend le graphe non connexe. En revanche, si l’indice de connectivité est fort, la dépendance du réseau aux arcs individuels qui le composent s’estompe ; le maillage est plus dense et d’autres itinéraires suppléeront, si besoin, la mise hors service d’un arc.
Ces indices globaux ne sauraient toutefois éclipser le fait que les réseaux ne sont pas homogènes. Il est donc profitable de les utiliser dans le but de mettre en exergue des différences au sein même des réseaux étudiés. A notre sens c’est ce qui, au sein des réseaux urbains et davantage encore pour les déplacements non motorisés, joue sur les comportements des individus, en particulier lors du choix modal. Plus un réseau sera localement efficace, plus les citadins seront enclin à opter pour un mode de déplacement a priori moins efficient, la qualité du réseau compensant en quelque sorte les défauts des modes non motorisés.
En outre, une critique majeure peut être formulée à l’encontre de cette étape modélisatrice lorsqu’elle est strictement topologique et basée sur les seules contiguïtés : elle caractérise de façon très imprécise les relations entre les sommets (figure 41). Mais cette restriction a toutefois été dépassée pour satisfaire aux objectifs de la recherche opérationnelle notamment.
Les graphes sont désormais géoréférencés42 et surtout valués, c’est-à-dire que les arcs sont
affectés de valeurs qui peuvent prendre des formes très variées comme la distance, la distance- temps, les conditions de circulation, les paysages… (figure 42). De la sorte, ils permettent d’effectuer de nombreux calculs algorithmiques comme les calculs de plus courts chemins. Lorsque l’on travaille sur les décisions, on pourra aussi introduire la notion de coût des arcs, au sens large, pour les individus (Finke, 2002) ce qui se révèlera, comme on le verra par la suite, très utile pour la modélisation des processus de choix.
Figure 42 : Graphe orienté et valué
2.3. Description fonctionnelle
La description fonctionnelle est beaucoup plus intéressante dans la mesure où elle s’attache à fournir des indices locaux et opératoires plus précis permettant de comprendre le fonctionnement d’un réseau (Mathis, 2003). Les indices de nodalité déterminent, par exemple, pour un sommet donné, le nombre de sommets qui lui sont connectés directement ou indirectement, en fonction du niveau de contiguïté choisi. Plus généralement, on parle d’incidence d’un sommet si l’on distingue, d’une part le nombre d’arcs auxquels il donne accès et, d’autre part, le nombre d’arcs dont il est la destination. L’indice de circuité (Kansky, 1963) calcule, pour sa part, la moyenne du carré des différences entre longueur par les plus courts s les autres. Une longue liste d’indices, qu’il e dérivée du graphe. Mais cette richesse traduit
chemins et distances euclidiennes d’un nœud à tou serait fastidieux de dresser ici, peut ainsi êtr
aussi la difficulté inhérente à la caractérisation des réseaux. Créés pour décrire, quantifier et qualifier la réalité, ils contribuent à enrichir considérablement les potentialités offertes mais finissent toujours par révéler leur lot d’imprécisions et d’approximations. Pour la marche à pied, nombre d’entre eux sont inefficaces, principalement parce qu’ils ne donnent pas une idée
réellement concrète des espaces accessibles et qu’ils ne mesurent donc pas l’efficacité réelle du réseau pour les piétons.
C’e
Foltêt 2002) qui permet de déterminer, depuis chaque point de l’espace urbain, la surf
consiste à recenser, à la vitesse moyenne de 5 km/h et avec une durée de déplacement maximale fixée 12 minutes, tous les segments de voirie accessibles. Un polygone est ensuite
n est fait (Mathis, 2003). Comme toutes les hypothèses, celles de la théorie des graphes doivent entraîner un regard critique et soulever des questionnements. A ce titre et de manière schématique, la syntaxe spatiale peut être
façon d’appréhender les réseaux
ntaxe spatiale s’est tectes qui en sont à l’origine, B. Hillier et J. Hanson (1984), mais les géographes se sont rapidement inté
utile public
s’affranchissent de la distance dans son acception classique. Ainsi, ce sont les relations
st pourquoi, on notera avec intérêt l’indice de potentiel en marche à pied43 proposé par
e et al. (
ace de l’espace accessible à pied. Son fonctionnement peut être décrit facilement puisqu’il calculé dont la surface donne la valeur du potentiel. Cet indice correspond ainsi à un champ des possibles pédestres qui est très inégal selon la localisation dans l’espace urbain car le "réseau secrète, par construction et en son sein, de la centralité et de la périphérie, de la
marginalité et de l’éloignement" (Dupuy, 1998).
Par ailleurs, le graphe créé, s’il est pratique pour les calculs algorithmiques, ne permet pas de travailler sur les formes précises du réseau qui peuvent recouvrir une importance dans le cadre des déplacements. Orientations, directions et angles ont disparu lors de l’étape modélisatrice (Pumain et Saint-Julien, 1997). Ainsi, deux formes de réseau totalement différentes peuvent être affectées de valeurs strictement similaires alors que, dans la réalité, l’individu qui se déplace n’aura pas du tout à faire à des réseaux identiques. Cette particularité, déjà gênante en ce qui concerne les modes de transport motorisés, devient particulièrement critiquable pour la marche à pied.
Le graphe, en tant qu’outil théorique de modélisation du réseau, est un passage quasi obligatoire pour toutes les études sur les transports. Mais il nécessite de faire des hypothèses implicites sur le réseau que l’on étudie et l’usage qui e
considérée comme une remise en question profonde de la viaires dans une optique d’analyse des déplacements.