Un modèle de choix discret : le modèle logit multinomial

Les modèles de choix discret sont très utiles pour analyser précisément les comportements. Ils

ces couples de points. Nous utilisons donc les

nt Identifiant du PCC Longueur en mètres Pourcentage d’allongement Pris/pas pris

permettent, en travaillant indépendamment pour chaque contexte de choix individuel, de faire émerger des paramètres explicatifs pertinents.

1.1. Définition de l’ensemble de choix

L’objectif de la recherche étant d’étudier les choix d’itinéraires pédestres en milieu urbain, la première étape consiste à déterminer l’ensemble des choix potentiels pour chaque origine- destination recensée lors des enquêtes. Cet ensemble de choix correspond à tous les itinéraires qualifiés de raisonnables pour joindre

alternatives qui ont été générées via l’utilisation de l’algorithme de Dijkstra (1959), selon le procédé décrit dans la partie précédente. Les informations dont nous disposons prennent la forme présentée dans le tableau 12. A chaque trajet réalisé correspond un faisceau de plus courts chemins (PCC) constitué d’itinéraires potentiels, plus ou moins nombreux, dont la longueur est pour le moment la seule variable discriminante. Par ailleurs, le pourcentage d’allongement est calculé sur la base du plus court chemin optimal. Au sein de ces potentialités, un calcul de correspondance a permis de déterminer l’itinéraire effectivement emprunté. Le piéton qui a effectué le trajet 4 disposait de 7 itinéraires raisonnables et a opté pour le second, par ordre de longueur ; ce choix a occasionné un allongement de 5 %.

Identifia du trajet 4 1 505,74 0 0 4 2 531,04 5 1 4 3 549,71 8,69 0 4 4 555,94 9,93 0 4 5 557,01 10,14 0 4 6 568,79 12,47 0 4 7 576,32 13,95 0 252 1 860,32 0 1 252 2 874,88 1,69 0 252 3 930,9 8,2 0 283 1 601,78 0 0 283 2 625,04 3,87 0 283 3 650,11 8,03 0 283 4 651,54 8,27 0 283 5 674,8 12,13 1

Les modèles de choix discrets sont particulièrement adaptés à l’analyse de ce genre de tableau puisqu’ils permettent de modéliser un choix parmi un ensemble d’options définies. De nombreux modèles ont été développés pour travailler sur ce type de choix. Nombre d’entre eux appartiennent à la famille des modèles de la valeur extrême généralisée57 _{(GEV). C’est le cas}

de celui que nous privilégierons dans le cadre de ce chapitre, le modèle logit multinomial, développé par D. McFadden.

odèle (CERTU, 1998 ; Rodriguez et Joo, 2004 ; Zhang et al., 2004, etc.). Initialement utilisé pour modéliser les choix du m

marc aires

et à l’affectation des flux repose sur trois principes fondateurs (Dial, 1971) :

coûts différents, la moins coûteuse aura une probabilité de choix supérieure.

modéliser les

mbre

ombreux développements.

En théorie, chaque alternative k sera affectée d’un coût Ck , dans un prem

longueur. On ajoute ensuite au coût effectif de l’itinéraire Ck une variable aléatoir 1.2. Le modèle logit multinomial : un modèle simple de choix d’itinéraires

Parmi les modèles de choix discret qui permettent de simuler un choix entre plusieurs alternatives potentielles, le logit simple est l’un des plus utilisés, comme en témoigne l’abondance de la littérature consacrée aux différentes déclinaisons de ce m

ode de transport, il est tout à fait indiqué pour l’étude des choix d’itinéraires en he à pied. Comme tous les modèles stochastiques, son application aux choix d’itinér 1. Toutes les alternatives, considérées comme raisonnables peuvent être empruntées (il faut

cependant qualifier ce que l’on retiendra comme raisonnable) ;

2. Si deux alternatives ont le même coût, elles seront affectées d’une probabilité de choix égale ;

3. Lorsque deux alternatives ont des

Connaissant le coût de chaque option, le logit simple permet donc de

comportements des individus en affectant, pour chaque déplacement, une probabilité à chaque itinéraire potentiel. En fonction des spécificités du réseau, de l’éloignement entre origine et destination, le nombre d’alternatives considérées est très variable : pour nos deux zones, le nombre d’itinéraires potentiels varie de un à plus de 40. De ce point de vue, la mise en œuvre du modèle logit s’avère plus compliquée que dans le cadre des choix modaux, où le no d’options est en général fixe.

Le modèle calcule ensuite les probabilités d’usage d’un tronçon de voirie en fonction du nombre et des probabilités d’usage des plus courts chemins susceptibles de l’emprunter (ce qui, nous le verrons ultérieurement, peut-être perçu comme un inconvénient). Ce modèle s’appuie en effet sur un postulat d’indépendance des différents plus courts chemins, propriété dite IIA (Independence of Irrelevant Alternatives58_{) qui n’est pourtant que rarement vérifiée.}

Détaillons tout de même le formalisme de ce modèle qui sert de base à de n

ier temps égal à sa e

ε

_k

57 _{- Ge liz re lu}

représ an s p tion éventuelles des piétons et/ou l’ c u modé u n t l a ti ues d o te d M , 1998). On obtient ainsi le coût perçu V :

ent t les erreur de ercep incapa ité d lisate r à i tégrer outes es car ctéris q es c mpor ments indivi uels ( asson

k

k k k C

V = +

ε

Ensuite, pour estimer l’utilité mesurée Uk de chaque alternative, il suffit d’établir une relation

inversement proportionnelle59 _{au coût perçu C}

k par chaque piéton (Gleyze, 2001 ; Henn,

2001) :

k

k C

U =−

µ

⋅

où sp u x éri le

coû ren co qu lon eur a ern , on lera rati lité pos es piéton

L’ ili est re puisque la variable de perception

µ corre ond à la sensibilité de l’individ au caract stiques de l’alternative. Comme t ne p d en mpte e la gu de l’ lt ative par de ona sup ée d

s.

ut té donc une fonction aléatoi

ε

_k a été introdu dans le modèle. Toutefois, le logit simp base n’ is c r io atoire de l’utilit n c è er ative n p n p te e elles, e rs o e r a éatoi

ite le de util e pas ette fo mulat n alé

é. E effet, si l’on onsid re que les alt n s so t com lèteme t indé endan s entr on p ut alo supp ser qu les va iables l res

ε

_k le son e D o s,

cela ne remet de porter un

jugement non o ifie plutôt que

ces erreurs de perception sont relativem ’autre. Malgré le t égal ment. ans n tre ca pas en cause l’hypothèse selon laquelle les piétons risquent

bjectif et donc en partie erroné sur les trajets potentiels ; cela sign ent homogènes d’une personne à l

caractère critiquable d’une telle méthode, nous supposerons donc que la population de piétons est homogène et estime donc les coûts de manière identique. Cela implique que nous travaillerons uniquement à partir de la composante déterministe de l’utilité.

Si les

ε

_k sont des variables indépendantes et identiquement distribuées (distribution des aléas selon une loi de Gumbel) telles que,

(

,

)

0 cov ) ( , ′ ≠ ′ = ∀k k k k εk εk′ ,

on en déduit que la probabilité Pk qu’un piéton choisisse l’alternative k s’exprime comme suit :

∑

′

les probabilités d’usage des alternatives en fonction de l’utilité qu’elles représentent pour chaque individu (Ben-Akiva et Bierlaire, 1999). On peut noter que la probabilité Pk n’est alors fonction que du coût des différentes alternatives (composante

déterministe de l’utilité) et du paramètre µ ; elle suit une loi logistique. Elle est calculée en fonction de l’utilité de l’alternative considérée et de l’utilité des alternatives composant le contexte de choix (ici les plus courts chemins potentiels). En général, µ ne peut être estimé et

⋅ − ⋅ − ′ = k C C k _k k e e P µ_µ

Le modèle distribue donc

est souvent pris égal à 1. Mais comme le coût Ck n’est, dans un premier temps, égal qu’à la

longueur des itinéraires, nous utilisons ce paramètre pour déterminer la sensibilité des piétons à la longueur des itinéraires. En testant plusieurs modèles par itérations successives, cela nous permet, dans le cadre de notre recherche, de simuler la rationalité des comportements pédestres. Quand µ tend vers l’infini, on considère que l’erreur de perception est faible, le piéton est rationnel et emprunte le trajet le moins coûteux. A l’inverse, lorsque µ tend vers 0, l’erreur est élevée puisque la perception de toutes les alternatives est identique, quelles que soient leur longueur : l’usager choisit indifféremment une des options disponibles (figure 56).

Figure 56 : Probabilités de choix de cinq trajets

tule en revanche que les erreurs d’appréciation l’emportent et que les options de l’ensemble de choix sont perçues de manière quasi identique. Cette absence de rationalité peut s’expliquer par un manque d’information lorsque toutes les

alternative ent dû à

l’intervention effective d’autres facteurs non pris en compte lors de la formulation des en fonction de la valeur du paramètre µ

Par conséquent, plus on augmente µ, plus on simule des piétons qui maximisent leur choix en fonction de l’utilité réelle des différentes alternatives. On suppose alors que les individus sont capables d’effectuer un classement ordinal des itinéraires potentiels en fonction de leur efficience. Lorsque µ tend vers 0, on pos

s ne sont pas connues et/ou appréciées, par un manque de volonté, notamm

paramètres définissant l’utilité. Nous reviendrons plus tard sur ce défaut de précision du modèle qui laisse de côté certaines préférences de l’individu, notamment paysagères.

Une fois les probabilités calculées pour chaque itinéraire, il est possible d’affecter les résultats au réseau viaire. Ainsi, quelle que soit la valeur de µ, on pourra attribuer une probabilité de fréquentation théorique moyenne Ct à chaque tronçon t et pour chaque trajet :

∑

=

∈ k t

P

C

1

k t k

N

où Nk est le inéraires po pl t P lités

affecté éraires les ne son mmées que si elles transitent par le tronço , tout obabilités nt égales par ailleurs, un tronçon sur lequel passent cinq rieure à celle d’un tronçon ne comptabilisant que trois passages. En faisant varier le coefficient de rationalité µ

nombre d’it potentiels ur chaque dé acement e k les probabi

es à chacun de ces itin ; el t so n étudié t. Concrètement es pr éta

chemins potentiels aura une probabilité d’emprunt supé

pour privilégier ou non les itinéraires les plus courts, les probabilités d’usage des tronçons pour un trajet deviennent plus ou moins homogènes (figure 57).

Figure 57 : Rationalité et charges prédites

Cependant, l’utilisation du modèle logit pose problème car l’hypothèse IIA implique que le rapport des probabilités de deux trajets dépend seulement de l’utilité de ceux-ci : il reste donc indépendant des autres alternatives. Cette complication, plus connue sous le nom de paradoxe bus bleu/bus rouge (encart 6), a été mise en évidence par G. Debreu (1960).

G. Debreu a montré, dans les années 60, que l’hypothèse d’indépendance pouvait conduire à des résultats "non-raisonnables" voire contre-intuitifs. Connue sous le nom de "blue bus/red bus paradox", cette démonstration, teintée d’ironie, expose clairement le problème soulevé par l’IIA.

Des usagers utilisent pour se déplacer leur automobile ou un service de bus bleu. La répartition de la part de marché de chacun des modes est égale (50 % - 50 %). Si l’on ajoute un service de bus rouge dans le système et que l’on traite ces deux services comme deux options indépendantes, la part de marché des bus (c’est-à- dire le cumul des parts des deux services) est en augmentation. Le rapport entre l’automobile et les bus bleu demeurant inchangé, du fait de l’indépendance vis-à-vis des autres alternatives, le seul moyen pour maintenir le ratio égal à 1 est d’affecter à chaque mode 1/3 de la clientèle théorique.

Evidemment, cette hypothèse est irréaliste car la couleur du bus ne détermine en aucun cas les choix des individus et n’est donc pas apte à engendrer un report modal au profit des transports en commun ! La part de marché de l’automobile et des bus devrait donc rester identique (50 % - 50 %) et chaque service de bus, bleu et rouge, devrait avoir une part égale à la moitié de la part initiale des bus bleu (soit 25 % pour chacun). Or, ce résultat est impossible à obtenir avec un modèle logit de type multinomial simple.

Dans le document Modélisation des choix d'itinéraires pédestres en milieu urbain. Approche géographique et paysagère (Page 177-181)