Tests de stationnarité sur les coûts d’aide à domicile en France

L’étude des corrélogrammes nous indique qu’à partir du 3ème retard sur la série logarithme du salaire réel, les coe¢ cients d’autocorrélation ne sont plus signi…catifs. Sur la série logarithme du tarif CNAV semi annuel les coe¢ cients d’autocorrélation ne sont plus signi…catifs à partir du 6ème retard. Sur la série logarithme du tarif CNAV annuel réel, les retards ne sont plus signi…catifs à partir du 5ème retard.

Test de Dickey-Fuller augmenté

A…n de tenir compte d’une éventuelle autocorrélation des erreurs, on introduit un nombre p de retards sur la variable endogène. On a donc recours au test de Dickey-Fuller Augmenté (ADF). Ce test va nous permettre de décider si le processus est stationnaire ou non et s’il est non stationnaire, s’il est de type TS ou DS. Ce test peut se décomposer en trois étapes.

1. La première consiste à déterminer le nombre de retards p retenus sur la variable en di¤érence.

2. La seconde consiste à choisir un modèle avec constante, tendance ou ni l’une ni l’autre. 3. Nous pourrons alors conclure sur la stationnarité du processus.

Détermination du nombre de retards Il existe 3 méthodes couramment admises pour dé- terminer le nombre de retard d’un test ADF. La première consiste à étudier les autocorrélations partielles de la série Ct. On retient alors comme nombre de retard, le retard correspondant à

la dernière autocorrélation partielle signi…cativement di¤érente de 0. La seconde consiste à re- tenir les modèles qui minimisent les critères d’information d’Akaike et de Schwarz. La troisième suggérée par Campbell et Perron (1991) consiste à …xer une valeur maximale pour p, appelée pmax. On estime alors le modèle de régression du test ADF et l’on teste la signi…cativité du

terme Yt pmax.

La première et la troisième méthode nous amènent à partir des corrélogrammes à retenir un retard p = 0 sur les séries CNAV et salaire (Annexe du chapitre 3). Cela revient à tester un modèle de Dickey-Fuller simple. En ce qui concerne la variable CNAV semi annuel, l’étude du corrélogramme en di¤érence première nous conduit à retenir un retard p = 1.

Stationnarité du processus Lorsque le modèle est signi…catif, nous ne pouvons pas rejeter l’hypothèse de racine unitaire et ceci pour les 3 séries de coûts comme l’indique le tableau 3.1. L’hypothèse Ho testée ici correspond au cas où la série admet une racine unitaire. La colonne Prob. du tableau correspond ici à la probabilité que la série admette une racine unitaire12_.

1 2

Avec transformation log Sans tranformation log

t-Statistic Prob. t-Statistic Prob.

Cnav semi -2,081024 0,5410 3,031728 0,9988

Cnav -2,669947 0,2546 2,426626 0,9956

Salaire 2,290521 0,9931 -2,233802 0,4569

Tab. 3.1 –Test ADF sur série transformée et non transformée

Les séries de coûts d’aide à domicile semblent donc suivre un processus DS tout comme les résultats obtenus sur les données américaines. La variance de la mutualisation intercohorte n’est donc pas constante, elle croît avec le nombre de cohortes assurées. Nous trouvons donc des résultats similaires à ceux de Cutler. Nous pouvons alors estimer l’écart type du risque agrégé en suivant la même méthode.

Estimation du risque de dérive des coûts

Il convient de s’interesser à l’écart type du résidu de la régression suivante :

C_tln= + C_{t 1}ln + _t

L’écart type du résidu peut s’interpréter comme l’incertitude moyenne qui caractérise les innovations de coûts. Plus cet écart type est important, plus la série présente une probabilité élevée de connaître une forte augmentation d’une année sur l’autre. Si on retient la série CNAV semi qui présente le nombre d’observations le plus élevé, on obtient un écart type de l’innovation =3,33%. L’écart type du résidu d’une année sur l’autre est donc inférieur à celui observé sur les données américaines qui était de 5,2%. Il est donc possible maintenant d’essayer de prévoir ce que serait le risque agrégé moyen sur 20 cohortes à partir de la variation des résidus passés. Nous remplaçons donc dans la formule 3.8 les valeurs , par les valeurs estimées sur les séries passées. Nous simulons l’écart type du risque agrégé pour di¤érentes valeurs de k comme l’indique le tableau 3.2.

b be Horizon temporel k

Ct+1; t+k 5 10 15 20 25 30

Avec transformation log

Cnav semi 0,99072 0,03344 2,57% 2,33% 2,28% 2,26% 2,25% 2,23%

Cnav 0,95386 0,03981 2,99% 2,61% 2,48% 2,39% 2,31% 2,24%

salaire 1,00250 0,02984 2,32% 2,12% 2,10% 2,10% 2,11% 2,11%

DS 1 0,02984 2,31% 2,11% 2,09% 2,08% 2,08% 2,09%

Sans transformation log

Cnav semi 1,00836 0,38614 30,08% 27,68% 27,58% 27,75% 27,97% 28,20%

Cnav 1,02062 0,14243 11,19% 10,42% 10,50% 10,69% 10,89% 11,11%

salaire 1,01328 0,07433 5,81% 5,37% 5,38% 5,43% 5,50% 5,57%

DS 1 0,07433 11,03% 10,07% 9,96% 9,94% 9,95% 9,96%

Les valeurs sont

Tab. 3.2 –Prévisions de l’écart type du risque agrégé

Les résultats obtenus sont ici très di¤érents de ceux obtenus par Cutler. L’écart type du risque agrégé est assez faible et ceci pour toutes les séries. Il était de 14% à un horizon de 20 ans chez Cutler pour = 1 avec transformation logarithmique. Selon nos estimations, il varie entre 2,10 et 2,26%. Même lorsqu’on prend = 1, il varie très peu et tend même à diminuer à mesure que l’horizon temporel augmente, ce qui irait à l’encontre des prévisions du modèle théorique puisque l’écart type devait augmenter avec le nombre de cohortes en cas d’autocorrélation des coûts. La marge d’erreur semble beaucoup plus faible que ce que les travaux américains pouvaient laisser penser. Et surtout elle ne semble pas augmenter avec l’horizon temporel. On peut ensuite simuler ce que serait l’écart type du coût agrégé intercohorte sans passer par la transformation logarithmique. On estime alors la relation 3.13 sans appliquer la transformation logarithmique.

Ct= + Ct 1+ t (3.13)

donc non stationnaires et ne suivent pas non plus un processus TS. Cependant, l’écart type des résidus est plus faible que ceux obtenus sur données américaines lorsqu’on considère les séries transformées. Cela peut s’expliquer par plusieurs raisons :

– le fait que l’on s’intéresse à l’aide à domicile plutôt qu’à la prise en charge en institution ; – les di¤érences entre pays ;

– la qualité des variables retenues.

Fait troublant, on n’observe pas une augmentation signi…cative du risque (mesuré ici par

Ct+1; t+k) avec l’augmentation du nombre de cohortes. Le risque ne semble pas augmenter avec

le nombre de cohortes et diminue même sur certaines séries comme on peut l’observer sur la …gure 3-8. Par conséquent l’argument selon lequel l’assureur ne pouvait pas mutualiser le risque agrégé entre plusieurs cohortes perd de sa force.

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 5 10 15 20 25 30 horizon temporel k ec a rt -ty p e mo ye n Cnav semi Cnav salaire rho unitaire

Evolution de l’écart-type moyen (sans log) avec l’

Fig. 3-8 –Evolution de l’écart-type moyen (sans log) avec l’horizon temporel

Si le risque agrégé moyen n’augmente pas avec l’horizon temporel, cela signi…e qu’il est pos- sible de repousser la frontière de l’assurabilité. Il serait donc possible que les assureurs couvrent l’intégralité du risque à condition qu’ils couvrent l’aide à domicile. Les produits forfaitaires pourraient donc à terme proposer de plus en plus de services. On peut imaginer des produits qui garantissent un certain nombre d’heures par mois auxquels s’ajoute une rente. Si les produits garantissent contre le risque agrégé, les individus auront rationnellement intérêt à les acheter.

Nous pouvons maintenant essayer d’améliorer notre prévision du risque agrégé en recourant à des modèles de type ARM A.