Euclide Euclide a vécu à Alexandrie au début du IIIe siècle avant notre ère. De tous les géomètres de l’An- tiquité, il est celui qui a le plus profondément influencé la postérité. Son oeuvre principale, les
Éléments, comporte 467 théorèmes répartis en 13 livres divisés comme suit :
1. Livres I à IV : géométrie plane.
2. Livres V et VI : la théorie des proportions et ses applications. 3. Livres VII à IX : la théorie des nombres entiers.
4. Livre X : les nombres irrationnels.
5. Livres XI à XIII : géométrie de l’espace (polyèdres, etc.).
Cette oeuvre a fait autorité en matière de géométrie jusqu’au XIX siècle et est encore utilisable de nos jours, ce qui est une marque incontestable de sa qualité et de sa profondeur.14
12. Mouseion (Μουσεῖον) veut dire «temple des Muses». Cette appellation traduit le caractère littéraire et artistique qu’avait ini- tialement le Musée.
13. Pour plus de renseignements sur Alexandrie et ses institutions, voir [69].
14. Un site internet est consacré aux éléments d’Euclide, en contient le texte complet ainsi que des commentaires et des exemples animés :http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
L’apport principal d’Euclide est la méthode axiomatique, c’est-à-dire la construction d’un ensemble de propo- sitions mathématiques obtenues à partir d’un nombre fini de postulats à l’aide de raisonnements logiques rigoureux. En cela, Euclide est le véritable fondateur des mathématiques.
Le premier livre d’Euclide contient un ensemble de définitions (point, droite, angle, etc.) ainsi que cinq pos- tulats, qui forment la base de la géométrie :
1. On peut tracer une droite d’un point quelconque à un autre. 2. On peut prolonger tout segment de droite en une droite infinie. 3. On peut tracer un cercle de centre et de rayon quelconques. 4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.
5. Si deux droites sont coupées par une troisième et que la somme des angles intérieurs coupés par cette dernière, du même côté, est inférieure à deux angles droits, alors les deux premières droites se rencontreront de ce côté.15
La plus grande partie des Éléments est en fait une théorie des objets qu’on peut construire à l’aide de règles et de compas idéaux. La construction géométrique par règle et compas est l’outil quantitatif essentiel des mathématiques grecques, par opposition à l’algèbre ou au calcul arithmétique. Les quantités mathématiques considérées par Euclide sont les grandeurs (concept introduit par Eudoxe), les entiers et les rapports d’entiers ou de grandeurs.
Il est intéressant de noter que les Éléments comportent, à leur début, une suite de «définitions» d’objets géométriques primordiaux (point, droite, etc.). Ce besoin de définir ainsi des concepts fondamentaux est une faiblesse aux yeux de l’axiomatique moderne, mais une analyse philologique récente [67] prétend y voir un ajout effectué par des commentateurs ultérieurs, ce qui rehausse encore la valeur de l’oeuvre originale d’Euclide.
Pratiquement rien n’est connu de la vie d’Euclide. On ignore les années de sa naissance et de sa mort, mais on sait qu’il rédigea ses Éléments sous le règne de Ptolémée I. Celui-ci lui aurait demandé, selon la légende, s’il y avait une façon plus courte de connaître la géométrie, sans avoir à étudier les Éléments, ce à quoi Euclide aurait répondu:«il n’y a pas de voie royale à la géométrie», expression devenue proverbiale exprimant le fait que toute connaissance approfondie est le fruit d’un labeur inévitable.
Une autre anecdote démontre l’attachement d’Euclide à la connaissance désintéressée : l’un de ses élèves, après avoir commencé l’étude des Éléments et être parvenu laborieusement au premier théorème, se serait exprimé : «mais que vais-je gagner à apprendre tout cela ?» Euclide aurait alors dit à l’un de ses esclave : «Donne-lui une obole, puisqu’il doit gagner quelque chose pour apprendre…»
Archimède Archimède (–287/–212) a passé le gros de sa vie à Syracuse, en Sicile, bien qu’il ait étudié à Alexandrie. Il était géomètre et mécanicien et excellait à la fois dans les sciences théoriques et pratiques.
1. En mathématiques, Archimède est considéré comme un précurseur du calcul intégral, par son utili- sation fréquente de la méthode des exhaustions dans le calcul des aires, des volumes ou des longueurs de courbes (la méthode elle-même remonte à Eudoxe de Cnide).
15. On a longtemps conjecturé que le cinquième postulat pouvait être déduit des quatre premiers, sans pouvoir le démontrer. En fait, il a été démontré que ce postulat est indépendant lorsqu’on a construit des géométries non euclidiennes qui ne le contenaient pas (Lobatchevsky en 1826, Bolyai en 1831).
E. La période hellénistique
2. Dans son livre La mesure du cercle, il obtient une valeur approximative deπ en considérant une suc-
cession de polygones inscrits et circonscrits au cercle (jusqu’à 96 côtés). Il obtient 31071 < π < 317 ou 3, 1408< π < 3,1429.
3. Dans L’Arénaire, il décrit la manière d’exprimer des nombres très grands, par exemple, 108·108
, qu’il compare au nombre de grains de sable contenus dans la sphère des étoiles fixes (en fait, ce nombre est plus grand que le nombre de protons que l’Univers pourrait contenir s’ils étaient tassés les uns sur les autres !).16
4. Dans Les corps flottants, il énonce le célèbre principe d’Archimède, qui stipule que tout corps immergé dans l’eau subit une force vers le haut égale au poids de l’eau déplacée (c.-à-d. l’eau qui serait conte- nue dans le volume immergé). L’histoire de cette découverte est fameuse. Le tyran de Syracuse Hiéron avait acquis une couronne d’or et désirait savoir si elle était faite d’or pur ou si son orfèvre l’avait roulé en substituant une partie d’argent. Il demanda à Archimède de résoudre ce problème, sans endom- mager la couronne, bien sûr ! La légende dit qu’Archimède trouva la solution en prenant son bain et sortit aussitôt dans la rue en criant Eurêka! (j’ai trouvé !). Il posa la couronne sur une balance à fléaux, en équilibre avec une masse égale d’or pur sur l’autre fléau. Ensuite, il plongea le tout dans l’eau. Si la couronne avait été faite en partie d’argent, son volume aurait été plus grand que celui de l’or repo- sant sur l’autre plateau, la poussée hydrostatique aurait été supérieure sur le plateau supportant la couronne et celui-ci aurait été en déséquilibre. Il n’en fut rien, ce qui sauva la réputation (et la vie) de l’orfèvre.
Au-delà de cette histoire, les principes de l’hydrostatique sont utilisés par Archimède pour étudier la stabilité des navires et leur ligne de flottaison. Comme modèle, il étudie la flottaison d’un paraboloïde de révolution et calcule qu’une forme suffisamment évasée est toujours stable, alors qu’une forme plus longue n’est stable que pour une densité suffisamment grande.
(a) (b) (c)
Figure 2.9
Archimède démontre qu’un paraboloïde de révolution suffisamment évasé (a) est stable en flottaison, alors qu’un paraboloïde plus long est stable s’il est suffisamment dense (b) et instable dans le cas contraire (c).
Archimède est non seulement l’un des plus grands mathématiciens de son temps, il est aussi un mécanicien hors pair. Il est réputé inventeur de la vis sans fin dite vis d’Archimède, ainsi que de la moufle, poulie qui multiplie les forces de l’utilisateur, et avec laquelle un seul homme est en mesure de tirer à terre un navire de grande taille. Il a aussi construit des machines de guerre, notamment lors du siège de Syracuse par les Romains en −212, lors de la Deuxième Guerre punique. Il a inventé un système de «miroirs ardents» destiné
16. Notons que le système de numération des Grecs utilisait le principe de juxtaposition, comme celui des Égyptiens et des Ro- mains. Les calculs pratiques étaient donc difficiles, ce qui explique en partie l’importance accordée à la géométrie. Plus tard, un système savant sera mis au point, chaque nombre de 1 à 9 étant associé à une lettre, chaque dizaine de 10 à 90 associée à d’autres lettres, etc. (système semi-positionnel). Voir [37], tome 1, pp 441-451.
à enflammer les navires romains.17; il s’agit vraisemblablement d’un très grand nombre de miroirs plats
organisés de manière à faire converger les rayons du Soleil sur un point précis. Il périt de la main d’un soldat romain, lors de la prise de la ville.
ellipse cercle pa rabo le hyperbole Figure 2.10
Définition des sections coniques comme intersections de différents plans avec un cône. Si le plan est perpendiculaire à l’axe du cône, on obtient un cercle. S’il est incliné, mais à un angle inférieur à celui de cône, on obtient une ellipse. S’il est incliné à un angle égal à celui du cône, on obtient une parabole. Enfin, s’il est incliné à un angle supérieur, on obtient une hyperbole.
Appolonius de Perga Appolonius de Perga vécut à Alexandrie, à Éphèse et à Pergame, vers la fin du –IIIe siècle et le début du –IIe siècle. Il est l’auteur d’un ouvrage en 8 livres : Les coniques, dont sept nous sont parvenus, qui contiennent pas moins de 487 théorèmes. Rappelons (fig.2.10) que les co- niques sont définies par les intersections de différents plans avec un cône (un mathématicien de la période classique, Ménechme, a le premier introduit cette définition des coniques). Appolonius étudie en grand dé- tail les propriétés de ces courbes (ellipse, parabole, hyperbole). Son oeuvre sera plus tard essentielle aux travaux de Kepler sur les orbites et de Galilée sur les projectiles. Elle permet aux Grecs de résoudre des pro- blèmes algébriques du second degré. Même si Appolonius n’est pas l’inventeur des coniques, il demeure la référence la plus complète sur ce sujet et son ouvrage sera étudié avec soin par les mathématiciens jusqu’à l’époque moderne. Avec Eudoxe, Euclide et Archimède, Appolonius est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de l’antiquité.
Héron d’Alexandrie Héron vécut au Ier siècle de notre ère. Il est surtout célèbre pour ses machines, en particulier un lointain précurseur de la machine à vapeur, constitué d’un globe tour- nant par la réaction de la vapeur sortant de deux orifices (réacteurs) qui lui sont attachés. Héron est avant tout un mécanicien, mais aussi l’auteur d’un traité intitulé Le dioptre, dans lequel il décrit un instrument de mesure longtemps utilisé en arpentage et en astronomie. Il décrit plusieurs machines pratiques (pressoirs, vis sans fin, leviers, etc.). Il est aussi l’auteur des Métriques, traité de géométrie à tendance pratique, dans lequel il donne une prescription pour le calcul de l’aire d’un triangle en fonction de ses côtés a , b , c et du demi-périmètre p= (a + b + c )/2, équivalente à la formule suivante, dite «de Héron» :
A=Æp(p − a)(p − b )(p − c ) (2.1)
E. La période hellénistique
Ce qui est nouveau dans cette pratique est le calcul de la quatrième puissance d’une longueur, chose in- concevable pour les géomètres plus anciens, pour lesquels toute quantité devait avoir un sens strictement géométrique. Héron distinguait les grandeurs géométriques des nombres associés à ces grandeurs.
2.E.2
Astronomes
Nous ne disposons d’aucun traité d’astronomie datant de la période hellénistique proprement dite. Ce que nous savons de cette période doit être inféré indirectement, à travers des textes écrits plus tard. Le plus important de ces textes est l’Almageste de Claude Ptolémée, écrit au 2e siècle de notre ère. L’almageste, ainsi que d’autres textes moins volumineux, nous aide à reconstituer en partie l’astronomie de l’époque.
Aristarque de Samos Aristarque de Samos (–310/–230), élève de Straton, fut le premier à proposer claire- ment un système du monde héliocentrique : le Soleil est au centre du monde et tous les astres tournent autour de lui. La Terre est un astre comme les autres et tourne sur elle-même en une journée, ce qui explique le mouvement quotidien des autres astres. Nous ne connaissons malheureusement que peu de choses sur les idées d’Aristarque, car aucune de ses oeuvres ne nous est parvenue, sauf une brève explication de la méthode utilisée pour estimer la distance Terre-Lune et Terre-Soleil. Ce n’est qu’indirec- tement, entre autres par un passage très bref d’Archimède, qu’on connaît son oeuvre. En particulier, nous ignorons si Aristarque avait proposé un principe – comme la gravitation universelle – expliquant la position centrale du Soleil.
Il est possible que ce système ait réellement été proposé par Héraclide du Pont (–388/–312), mais probable que le système d’Héraclide ne donnait comme satellites du Soleil que Mercure et Vénus. En tout cas, Héraclide fut le premier à professer la rotation de la Terre sur elle-même.
Il est intéressant de noter que la notion de sphère des étoiles fixes, défendue notamment par Aristote, n’est nécessaire que dans un système où la Terre est considérée fixe, c’est-à-dire sans rotation diurne. Comment expliquer sinon que toutes les étoiles tournent au même rythme autour de la Terre ? Par contre, dès lors qu’on accepte la rotation diurne de la Terre, cette notion de sphère des fixes n’est plus nécessaire. Ainsi, on a tout lieu de croire qu’Héraclide, Aristarque et les autres héliocentrises de l’antiquité ne considéraient pas la sphère des fixes autrement que comme un outil de calcul et qu’ils ne lui accordaient aucune existence physique. Un traité de l’astronome Geminos (1er siècle avant notre ère) parle de la «soi-disant» sphère des étoiles fixes, insiste qu’il ne s’agit que d’un objet conventionnel, utile dans le positionnement des astres, et qu’elle n’existe pas en réalité, car les étoiles, selon lui, ne sont pas toutes à égale distance de la Terre. On a tout lieu de croire que le système héliocentrique d’Aristarque fut accepté par plusieurs astronomes de l’époque. On pourrait parler d’une école héliocentrique. Pourquoi ce système, redécouvert par Copernic 18 siècles plus tard, fut-il abandonné ? Aucune réponse claire n’existe. On peut citer les raisons possibles suivantes :
1. L’absence de parallaxe visible des étoiles fixes. On supposait alors que les étoiles fixes étaient relative- ment proches de la Terre et on ne comprenait pas que les constellations n’apparaissent pas déformées lorsque la Terre se déplace autour du Soleil. Aristarque avait du supposer que les étoiles fixes étaient extrêmement éloignées.
2. L’élément «terre», le plus lourd, devait être au centre de l’Univers. Ce principe tenait lieu de gravita- tion universelle aux Anciens.
S O A
θ
θ
Figure 2.11Diagramme illustrant la méthode d’Ératosthène pour calculer la circonférence de la Terre.
Ératosthène Ératosthène de Cyrène (–275/–175) est célèbre pour avoir donné la première estimation pré- cise du diamètre de la Terre. Nous ne disposons pas de l’oeuvre d’Ératosthène lui-même, mais ses travaux nous sont connus par l’intermédiaire de Cléomède, qui écrivait au premier siècle avant notre ère. Cléomède explique la méthode d’Ératosthène comme suit (voir figure2.11) :
Il était connu qu’aux environs de Syène18(S), le jour du solstice d’été, le Soleil éclaire un puits jusqu’au fond à midi. C’est donc en ce point que se trouve le tropique du Cancer, et le point S est situé sur la droite qui va du centre de la Terre (O) au Soleil à ce moment-là. Le même jour, Ératosthène mesura l’angleθ que fait l’ombre
d’un objet vertical à midi, à Alexandrie (A) et obtintπ/25 radians (7,2◦). Connaissant la longueur de l’arc de cercle AS (5000 stades, sur le même méridien), il en déduisit que la circonférence C est 50×5 000 = 250 000 stades.
L’explication de Cléomède n’est qu’une vulgarisation de la méthode, plus complexe, utilisée par Ératosthène. Le diamètre terrestre attribué à Ératosthène par les auteurs anciens est en fait 252 000 stades. Comment com- parer cette valeur à ce que l’on sait aujourd’hui ? Pline l’ancien (1er siècle de notre ère) donne une équiva- lence entre le stade utilisé par Ératosthène (différent du stade standard) et une mesure romaine de l’époque dont on connait la valeur, ce qui nous permet d’affirmer que le stade d’Ératosthène valait entre 155 m et 160 m. La circonférence de la Terre, selon Ératosthène, est donc située entre 39 060 km et 40 320 km, alors que la valeur moderne est de 40 000 km (d’après la définition originale du mètre). Ératosthène a donc estimé le diamètre terrestre avec une erreur d’au plus 2.4% ! Remarquons que cette erreur est avant tout due à notre ignorance de la valeur précise du stade ! L’erreur intrinsèque d’Ératosthène était peut-être inférieure à cela. L’explication donnée par Cléomède est critiquable, car (i) la distance entre Syène et Alexandrie est supérieure à 5 000 stades (ii) Alexandrie et Syène ne sont pas vraiment sur le même méridien et (iii) Syène n’est pas exactement située sur le tropique. Étant donné ces erreurs, il est douteux qu’Ératosthène soit arrivé à une valeur si précise de la circonférence terrestre. Mais il ne faut pas prendre le texte de Cléomède au pied de la lettre ici, car il ne fait qu’illustrer un principe, et très brièvement, alors qu’on sait qu’Ératosthène avait écrit tout un livre sur la question. Il est plausible que les calculs d’Ératosthène tenaient compte de tous ces facteurs. L’Égypte ptolémaïque, comme celle des pharaons, tenait un cadastre très serré et des arpenteurs au service du roi consignaient les distances de village en village. Ératosthène et son équipe (car un tel projet n’est pas entrepris par un seul homme) devaient avoir ces données à leur disposition. Au fond, le fait que Syène ne soit pas sur le même méridien qu’Alexandrie n’est pas important, car en pratique les mesures ne sont pas faites en même temps à Alexandrie et sur le tropique ! L’important est de pouvoir localiser le tropique avec une précision suffisante, ce qu’Ératosthène pouvait faire avec une marge d’erreur de 300 stades, toujours selon Cléomède.
E. La période hellénistique
Ératosthène est aussi connu pour sa méthode du «crible» pour trouver les nombres premiers : il s’agit d’éli- miner de la liste des nombres entiers tous les multiples des entiers, en succession.
Hipparque Hipparque (−161/ − 127) fut le plus grand astronome de l’antiquité. Malheureusement, pra- tiquement rien de son oeuvre ne nous est parvenu et on doit reconstruire ses idées à partir de commentaires figurants dans d’autres oeuvres, en particulier celle de Claude Ptolémée, écrite trois siècles plus tard. Hipparque fut à la fois un observateur méticuleux et un mathématicien de génie. Il effectua des observations astronomiques précises et méthodiques, à l’aide d’instruments perfectionnés pour l’époque. Signalons quelques-unes de ses contributions.
— Hipparque construisit un catalogue d’au moins 800 étoiles, en notant leurs positions avec précision et en évaluant leurs magnitudes apparentes. Il aurait réalisé ce catalogue dans le but de léguer à la postérité un outil permettant de détecter l’apparition de nouvelles étoiles (novas) ou même de pou- voir observer, à long terme, le mouvement des étoiles les unes par rapport aux autres. Hipparque, en avance sur son temps, semble avoir délaissé la notion de sphère des étoiles fixes pour lui préférer une espace infini dans lequel les étoiles peuvent se déplacer librement. Or, l’astronome anglais Hal- ley, en examinant en 1718 le catalogue d’Hipparque (transmis par Ptolémée) y décela des différences d’avec ses observations sur Sirius, Arcturus et Aldébaran, qui confirmèrent le mouvement propre de ces étoiles. Sirius s’était déplacée de 30′, et Aldébaran de 1 degré. Hipparque réussit donc son pari, après presque 2000 ans.
— Hipparque, dans le but de répertorier les positions des étoiles, inventa la trigonométrie, en particulier la trigonométrie sphérique, c’est-à-dire l’étude des triangles découpés sur la surface d’une sphère. Il élabora à cet effet une table de cordes (les quantités plus familières aujourd’hui, sinus et cosinus, furent introduites plusieurs siècles après par les astronomes indiens). Notons que la corde d’un angle
θ , illustrée ci-contre, est la longueur AB, alors que le sinus de la moitié de cet angle est AC, si le rayon
du cercle est l’unité. La corde d’un angleθ est donc égale à 2sin(θ /2).
θ
A
C
B
— Hipparque fut le premier à reconnaître la précession des équinoxes, c’est-à-dire le déplacement lent du point vernal (équinoxe de printemps) sur le zodiaque. Il obtint la valeur de 46′′par année pour cette