Du point de vue théorique, le modèle de Rutherford est intéressant, mais pose des problèmes énormes. En particulier, il découle des lois de l’électromagnétisme que toute charge accélérée doit émettre des ondes électromagnétiques. Si l’électron tourne autour du noyau, il doit en émettre aussi et on peut calculer que l’atome devrait perdre de l’énergie par rayonnement à un taux si élevé que l’électron s’écraserait sur le noyau en une fraction de seconde. Plus généralement, il est impossible de comprendre le caractère stable des propriétés de chaque atome (et de chaque élément) avec un modèle planétaire classique de l’atome. En effet, même en oubliant le problème du rayonnement des ondes électromagnétiques, le mouvement classique d’un électron autour d’un noyau ne pourrait être circulaire ou elliptique que si ces deux particules (électron et noyau) étaient seules au monde. Dès que d’autres atomes sont présents, ou d’autres électrons, comme dans un atome plus lourd que celui d’hydrogène, le mouvement deviendrait en théorie inextricablement compliqué et chaotique. Les propriétés de l’atome (son spectre, les liaisons qu’il forme avec d’autres atomes, etc.) ne peuvent être permanentes dans un tel scénario ; en fait, l’atome devrait perdre toute son individualité.3
3. Il faut souligner la différence suivante entre un atome à plusieurs électrons et le système solaire. Dans ce dernier, les diffé- rentes planètes n’exercent qu’une faible influence les unes sur les autres, car la force gravitationnelle est proportionnelle au produit de masses et les masses des planètes sont petites en comparaison de celle du Soleil. On peut donc considérer, en première approxima- tion, que les planètes tournent autour du soleil indépendamment les unes des autres. En réalité, l’influence mutuelle des planètes résulte en de petites perturbations de leurs orbites elliptiques. Dans l’atome, au contraire, les forces mutuelles (électriques) des électrons sont aussi importantes que la force qui attire chaque électron vers le noyau et le tout ne peut pas former, dans le schéma newtonien, une structure stable et permanente.
A. La structure de l’atome
Le modèle de Bohr Il semble donc que la mécanique classique, celle de Newton et même celle d’Einstein, ne puisse être appliquée au mouvement des électrons dans les atomes. Ceci est com- pris par le Danois Niels Bohr (1885/1962), qui propose en 1913 une théorie de l’atome d’hydrogène dans laquelle l’électron suit des orbites circulaires autour du noyau ; seulement, seules sont permises les orbites dont le moment cinétique J est un multiple entier de h/2π, où h est la même constante invoquée par Ein- stein dans son hypothèse du photon et par Max Planck dans sa solution du problème dit du «corps noir». Bohr décrète que l’électron ne rayonne pas d’ondes électromagnétiques quand il est sur son orbite, mais uni- quement quand il passe d’une orbite à l’autre, de manière discontinue. Chaque orbite circulaire correspond à une certaine énergie totale de l’électron, obtenue de son moment cinétique en appliquant les formules classiques de la force centripète et de la loi de Coulomb. L’atome peut donc être dans différents états d’éner- gies bien séparées et le passage d’un état à l’autre se fait par émission ou absorption d’un photon d’énergie
hν. En fonction de la constante de Planck h, de la charge de l’électron e et de sa masse m, Bohr calcule très
simplement que les fréquences permises pour ces photons sont
ν =2π2m e4 h3 1 n2− 1 n′2 (8.3) ce qui est exactement le spectre observé de l’atome d’hydrogène. Bohr peut expliquer non seulement la forme du spectre, mais aussi la valeur de la constante de Rydberg R et il peut la relier à la constante de Planck.
Voyons comment on peut parvenir à ce résultat de Bohr. Considérons l’électron en orbite circulaire autour du noyau. La force centripète qui le garde dans cette orbite est la force électrique e2/r2, où r est le rayon
de l’orbite et e la charge élémentaire (nous utilisons le système d’unités gaussien, couramment utilisé en physique théorique). Cette force centripète est aussi égale à m v2/r , où v est la vitesse de l’électron le long de son orbite et m est sa masse. Donc m v2/r = e2/r2, ce qui nous permet d’exprimer le r en fonction de v :
r = e2/mv2. Le moment cinétique de l’électron est alors J = mv r = e2/v . La quantification du moment
cinétique donne J= nħh ou v = e2/nħh. Enfin, l’énergie totale de l’atome (cinétique et potentielle) est
E =1 2m v 2 −e 2 r = − 1 2m v 2= − m e4 2n2ħh2= − 2π2m e4 n2h2 (8.4)
Ici n désigne le niveau d’énergie de l’atome. La différence entre les énergies de deux niveaux n et n′corres- pond à un photon d’énergie hν, donc
hν =2π 2m e4 h2 1 n2− 1 n′2 (8.5) ce qui mène de suite à la formule ci-haut pourν.
La théorie de Bohr est raffinée par Arnold Sommerfeld en 1916, en permettant des orbites elliptiques quan- tifiées et en tenant compte des effets de la relativité restreinte. Ce dernier raffinement permet d’expliquer la structure fine du spectre de l’hydrogène. La théorie de Bohr et les raffinements subséquents qui lui sont apportés jusqu’en 1925 forment ce qu’on appelle l’ancienne théorie quantique. Cette théorie ne satisfait pas ses auteurs, car elle ne propose pas de règles générales pour l’étude du mouvement : elle n’est qu’un ensemble de conditions supplémentaires (conditions de quantification), d’apparence arbitraire, imposées au mouvement classique des électrons. D’ailleurs, la structure des atomes à plus d’un électron n’est pas du tout expliquée par cette théorie.
La mécanique ondulatoire En 1924 un aristocrate français, le prince Louis Victor de Broglie4(1892/
1988), défend sa thèse de doctorat dans laquelle il propose que les particules de matière (en particulier les électrons) aient une double nature, ondulatoire et corpusculaire, tout comme les particules de lumière (photons). Ainsi, il doit être possible de faire interférer un faisceau d’électrons, de le diffracter, etc. De Broglie propose que la longueur d’onde d’une particule soit déterminée par sa quantité de mouvement en vertu de la relation p= h/λ (cette relation, appliquée au photon, correspond à l’hypothèse d’Einstein E= hν). Comme les particules matérielles ont une quantité de mouvement généralement grande par rapport à celle des photons, leur longueur d’onde doit être d’autant plus petite, ce qui explique qu’on ne l’ait jamais remarquée auparavant. Cette idée, révolutionnaire, est confirmée expérimentalement en 1927 quand les Américains C.J. Davisson et L.H. Germer découvrent par accident le phénomène de la diffraction des électrons par un cristal. Le cristal joue ici le rôle du réseau de diffraction et le phénomène de diffraction est observé parce que la longueur d’onde des électrons est du même ordre de grandeur que la distance in- teratomique dans le cristal. De Broglie explique la condition de quantification utilisée par Bohr simplement en proposant que l’électron, autour du noyau, est une onde stationnaire refermée sur elle-même et la condi- tion de Bohr ne fait qu’affirmer qu’une onde stationnaire doit comprendre un nombre entier de longueurs d’onde à l’intérieur de son espace d’oscillation. Autrement dit, la circonférence de l’orbite circulaire (2πr ) est un nombre entier n de longueurs d’onde, ou 2πr = nλ = nh/p, ce qui revient à la condition de Bohr
J = r p = nh/2π.
De Broglie avait eu une intuition géniale, mais n’avait pas la finesse mathématique de l’Autrichien Erwin
Schrödinger (1887/1961). Celui-ci suggère en 1926 une équation différentielle pour la fonction d’onde (l’am-
plitude de l’onde) de l’électron, applicable dans le cas des vitesses petites par rapport à celle de la lumière et peut retrouver exactement tous les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène. Cette équation peut éga- lement être appliquée aux atomes plus complexes. Parallèlement à Schrödinger, d’autres physiciens tra- vaillaient à une nouvelle mécanique, généralisation de la théorie de Bohr : Werner Heisenberg (1901/1976), Wolfgang Pauli (1900/1958), Max Born (1882/1970) et Paul Dirac (1902/1984), pour ne citer que ceux-là. Ils mettent au point une théorie abstraite, originellement appelée mécanique des matrices et arrivent aux mêmes résultats que Schrödinger. Ce dernier démontre d’ailleurs que sa mécanique ondulatoire est tout à fait équi- valente à la mécanique des matrices. Le mariage des deux donne ce qu’on appelle maintenant la mécanique
quantique.
La mécanique quantique est un schéma général d’analyse du mouvement des objets microscopiques, comme la mécanique de Newton est une théorie générale du mouvement des objets macroscopiques. On peut mon- trer que la mécanique de Newton est un cas limite de la mécanique quantique. Celle-ci est d’ailleurs formulée à l’aide d’un appareil mathématique considérablement plus lourd que celui de la mécanique de Newton et elle demande plus de temps à être maîtrisée par les étudiants. Cependant, elle a apporté à la science sa plus forte croissance en pouvoir de prédiction de tous les temps. Les progrès réalisés pendant la décennie qui a suivi l’élaboration de la mécanique quantique (1925-1926) sont stupéfiants. Citons-en quelques-uns :
1. La structure des atomes a pu être comprise par le modèle des couches et ses raffinements. Le tableau périodique a pu être expliqué. Un ingrédient fondamental de cette explication est le spin de l’élec- tron (moment cinétique intrinsèque de l’électron, comme s’il tournait sur lui-même) et le principe d’exclusion de Pauli : deux électrons de même spin ne peuvent se trouver dans la même orbitale ou état quantique.5
4. On prononce «de Broille». Sa famille est d’origine piémontaise et entra au service du roi de France en 1643. Le chef de famille porte le titre de «duc», les cadets de «prince» ou «princesse».
5. Ce principe est en fait plus subtil que ce qui est évoqué ici et fait fondamentalement référence à l’antisymétrie de la fonction d’onde lorsqu’on échange deux électrons. Il est fondamentalement lié au fait que tous les électrons sont indiscernables, c’est-à-dire
A. La structure de l’atome
Figure 8.3
Erwin Schrödinger (1887/1961) et Wolfgang Pauli (1900/1958)wikipédia (Schrödinger) (Pauli)
2. La liaison chimique a été expliquée en fonction des forces électriques entre les électrons et les noyaux (Slater, Heitler, London, Pauling). La structure spatiale des molécules peut ainsi être prédite ou expliquée.
3. La mécanique quantique a été appliquée au champ électromagnétique, ce qui a mené à une compré- hension détaillée des processus d’émission et d’absorption de photons. Le laser est le produit le plus connu résultant de cette compréhension.
4. Les propriétés de base de la phase solide (conductivité, chaleur spécifique, etc.) ont été obtenues en combinant la mécanique quantique avec la mécanique statistique. Les conséquences technologiques de cette compréhension sont capitales : la physique des semi-conducteurs à permis l’éclosion de la
microélectronique et donc des télécommunications et des ordinateurs.
5. Dirac, en généralisant l’équation de Schrödinger au cas des grandes vitesses pour la rendre compatible avec la théorie de la relativité, fut amené à prédire l’existence d’une particule identique à l’électron, mais de charge opposée : son antiparticule, en quelque sorte. Cette particule, le positron, a été décou- verte expérimentalement en 1932 par Carl Anderson, trois ans après sa prédiction par Dirac. 6. Plus subtilement, la mécanique quantique, en permettant de dénombrer en principe les états possibles
d’un système physique, a permis une définition plus précise de son entropie et a permis de formuler correctement la troisième loi de la thermodynamique, dont l’une des conséquences est qu’on ne peut atteindre le zéro absolu en un nombre fini d’étapes.
La mécanique quantique et le mouvement
Non seulement l’avènement de la mécanique quantique nous a-t-il permis de prédire et de comprendre beaucoup mieux qu’auparavant les proprié- tés de la matière, mais il a complètement bouleversé notre conception du mouvement. La notion de trajectoire, centrale dans la mécanique de Newton et devenue partie intégrante de l’intuition des physiciens, n’a plus de sens en mécanique quantique. Dans sa formulation la plus imagée (la mécanique ondulatoire), la description d’un système physique comme un atome repose sur notre connais- sance de la fonction d’ondeψ(x , y, z , t ) de l’électron (dans un atome à plusieurs électrons, la fonction d’onde dépend des positions de tous les électrons). À chaque état possible de l’atome correspond une fonction d’onde différente. La notion d’état est ici centrale, comme dans le modèle primitif de Bohr. Quant à la position et la
vitesse de l’électron, elles ne sont pas déterminées quand l’atome est dans l’un de ses états d’énergie bien définie. En fait, des quantités physiques comme la position ou la vitesse ne sont en général pas déterminées a priori, mais uniquement par un processus de mesure. Le processus de mesure force en quelque sorte le système physique à «choisir» une valeur de la quantité mesurée, ce qu’il fait selon une loi de probabilité déterminée par la fonction d’onde. Par exemple, l’interprétation physique de la fonction d’ondeψ est que son module carré |ψ|2représente la probabilité par unité de volume d’y trouver l’électron, d’où l’expression
«nuage de probabilité» souvent utilisée pour décrire la place de l’électron dans l’atome.6En somme, la mé-
canique quantique ne nous permet pas de faire des prédictions certaines sur les mesures effectuées, mais uniquement des prédictions statistiques.
Cependant, des quantités comme les niveaux d’énergie ou les différences de niveaux d’énergie peuvent être calculées et observées avec un précision souvent très grande. L’exemple le plus frappant est ce qu’on appelle le facteur gyromagnétique de l’électron, noté g , qui détermine l’espacement des niveaux d’énergie d’un électron isolé qu’on place dans un champ magnétique. Des expériences extrêmement précises, fondées sur le principe de la résonance, ont permis de mesurer ce nombre, avec le résultat suivant :
1
2g= 1,001 159 652 180 85 (76) (8.6)
(les nombres entre parenthèses représentent l’incertitude sur les derniers chiffres). Par contre, la mécanique quantique, dans sa version relativiste, prédit une valeur de g/2 exprimée en fonction de la constante de structure fineα = e2/ħhc . En utilisant une valeur de α provenant des mesures spectroscopiques les plus
précises, on trouve une valeur de g/2 en accord avec la valeur mesurée à 10 chiffres après la virgule. Une telle précision dans un accord entre théorie et expérience est inégalée dans toute la science. En fait, cette précision est si grande qu’on propose maintenant de définir la constanteα à l’aide de cet accord, de sorte que
α−1= 137,035 999 710 (96) (8.7)