2.4.2.2 Concepts mathématiques relatifs aux analyses fractales

Pour réaliser l’analyse fractale d’un objet, celui-ci est décrit au travers de l’une de ses caractéristiques quantifiables, par exemple, sa taille, qui dépendra donc de l’échelle à laquelle il est mesuré. Cette relation, entre une des propriétés de l’objet et l’échelle à laquelle elle est mesurée, est caractérisée par un indice appelé dimension fractale. La dimension fractale décrit donc la relation

entre la propriété statistique d’un objet mesuré à petite échelle et celle mesurée à grande échelle. Prenons l’exemple de l’arbre communément utilisé pour illustrer ce principe (Figure 16) :

Figure 16. Représentations progressives de l’arborescence d’un arbre fractal.

Si l’on illustre graphiquement le nombre de branches en fonction de leur taille on obtient, la loi de puissance de la distribution.

𝑦 = 𝐴𝑥

Figure 17. Graphique représentant le nombre de branche (axe y) en fonction de leurs tailles (axe x ; figure d’illustrative ; unité arbitraire).

A présent, si l’on transforme ce graphique en graphique bilogarithmique on obtient une droite dont la pente nous indique la relation qui existe entre la taille des branches et leur nombre. La transformation de ce rapport en rapport bilogarithmique permet donc de construire une droite de type : y = ax + b (Figure 17). Ainsi, la pente « a » de la droite du graphique bilogarithmique obtenue sera égale à « n » l’exposant de l’équation initiale.

log 𝑦 = log 𝐴 + 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑥 0 50 100 150 200 250 300 -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8 N o m b re d e b ra n ch e s

Figure 18. Graphique bilogarithmique du nombre de branches (axe y) par rapport à leurs tailles (axe x).

Une caractéristique des séries temporelles dites fractales est donc la présence de corrélations entre données successives qui caractérisent les dimensions fractales, et font référence à la relation statistique qui existe entre les variations mesurées sur de petites échelles et à de grandes échelles de temps. En d’autres termes, la présence de corrélations sérielles entre les données successives au sein d’une série temporelle signifie que les données observées à l’instant t dépendent des données exprimées précédemment. Dans une série aléatoire les données ne sont pas corrélées entre elles, puisque les données observées à un instant t peuvent donner à l’instant suivant l’ensemble des données possibles avec la même probabilité d’apparition. A l’inverse, si les valeurs sont corrélées entre elles alors la valeur actuelle est déterminée, au moins partiellement, par la valeur précédente. La corrélation peut également n’être qu’incomplète, il ne subsistera alors qu’une fraction de la valeur précédente dans la valeur actuelle, déterminant ainsi la force des corrélations présente entre les valeurs successives. Les corrélations susmentionnées correspondent donc à des corrélations dites « à court terme », dans la mesure ou la valeur mesurée ne conserve la mémoire que des valeurs qui l’on directement précédée. Or, la caractéristique principale d’une série fractale est certes la présence de corrélations à court terme, mais également de corrélations à long terme.

La notion de patron spécifique dans un série temporelle fractale, renvoie par exemple, une tendance positive entre des valeurs successives à une échelle de temps donnée, tendance intégrée au sein d’une tendance positive similaire observées à une échelle plus grande. Ainsi, si l’on observe une tendance à la croissance dans une série temporelle, celle-ci aura tendance à se prolonger dans le futur. Des fluctuations statistiquement similaires peuvent être observé à différentes échelles de temps ; de la seconde, à la minute, à l’heure, au jours, au mois, ceci étant dépendant de la nature des données collectées. La série temporelle fractale possèderait ainsi la « mémoire » des valeurs qui

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Lo g (n o m b re d e b ra n ch e s)

ont précédé. Cette notion se retrouve fréquemment dans l’étude des systèmes dynamiques, où il y est fait référence sous différents noms tels que : mémoire à long terme, dépendance à long terme, corrélation à long terme, processus fractal, ou bruit 1/f. En substance, la présence de ce processus au sein d’une série temporelle signifie que la valeur observée à un instant t est dépendante de l’histoire antérieure des fluctuations de la série (Delignières et Torre 2009). Ainsi, au sein d’une série temporelle fractale la présence de ces corrélations entre les données constitue un marqueur des processus déterministes à l’œuvre dans l’expression du système mesuré.

L’analyse fractale d’une série temporelle repose plus spécifiquement sur la mesure de la force des corrélations présentes entre les données d’une série temporelle. La méthode développée

par Newell et Slifkin (1998), consistant à établir la couleur du signal au moyen de l’analyse des

fréquences qui le composent, constitue l’un des moyens de mesurer les corrélations présentes dans une série temporelle. Ainsi, la pente issue du graphique bilogarithmique illustrant le rapport de la puissance en fonction de la fréquence, nous permet de mesurer les corrélations présentent dans la série analysée (Figure 18). Plus la pente est forte plus le rapport entre la rareté des événements et leur impact sur le système est important. Ainsi, au sein d’un système exprimant du bruit blanc l’impact des évènements sur le système est totalement indépendants de la régularité avec laquelle ils sont présents dans celui-ci ; un évènement rencontré fréquemment aura le même impact qu’un évènement plus rare. Aucune corrélation n’est présente, la pente est donc égale à 0. A l’inverse, l’augmentation des corrélations au sein de la série temporelle va engendrer une inclinaison négative de sa pente proportionnelle aux corrélations présentent, et donc sa prédictibilité (Figure 18). Une pente négative nous indique donc que les événements les plus rares affectent davantage le système que les événements les plus fréquents. Les données seront alors corrélées, et ce, de façon d’autant plus prononcée que la pente est négative. Les séries fractales sont caractérisées par une pente proche de moins 1, appelée aussi bruit 1/f, et représentant une sorte d’équilibre entre une absence totale d’ordre (série totalement aléatoire ; pente proche de 0) et un ordre trop rigide (série périodique : pente < -1). Ainsi la série fractale est une série complexe car son comportement n’est dicté ni par un déterminisme trop strict, ni par une absence de déterminisme. Selon Delignières et

Torre (2009), le bruit 1/f serait donc la signature naturelle de la dynamique intrinsèque des systèmes

I.2.4.2.3. Méthodes d’analyse des dimensions fractales basées sur le Bruit Gaussien et