2.4.2.3.3 Analyses des fluctuations redressées

L’Analyse des fluctuations redressées est une procédure communément utilisée pour étudier les séries temporelles issues de système biologiques (Peng et al. 1993). Comparativement aux méthodes précédemment citées, celle-ci permet de détecter le phénomène d’autosimilarité au sein de séries temporelles en apparence non stationnaires, et elle évite également la fausse détection de l’autosimilarité manifeste qui est un artefact de non-stationnarité. Cette méthode se base sur le postulat selon lequel les séries fractales ont une forme statistique particulière pouvant être décrites par une loi de puissance. Dans une première étape, la série originale x(i) est intégrée. Pour cela on remplace chaque donnée par la somme cumulée des écarts à la moyenne :

𝑦 𝑘 = [𝑥 𝑖 − 𝑥̅]

On peut noter que si la série originale constitue un bruit blanc, la série intégrée sera un mouvement brownien. La série intégrée est ensuite divisée en fenêtres indépendantes de longueur équivalente n. Dans chaque fenêtre de longueur n, une droite des moindres carrés est estimée, représentant la tendance de cette fenêtre. On note yn(k) les coordonnées y sur ces droites. La série

intégrée est ensuite redressée en retranchant la tendance locale, dans chaque fenêtre (y(k)- yn(k)).

L’analyse porte donc sur les résidus de la régression. Pour une longueur de fenêtre donnée, la grandeur caractéristique des fluctuations pour cette série intégrée et redressée est :

𝐹 𝑛 = 𝑁 [𝑦 𝑘 − 𝑦 𝑘 ]

F(n) peut être considéré comme un écart-type, calculé par rapport à la moyenne redressée. Ce calcul est répété pour toutes les tailles de fenêtre pour produire une relation entre n et F(n). Les valeurs quadratiques moyennes sont ensuite moyennées pour connaitre la valeur moyenne des fluctuations pour l’ensemble des intervalles de longueur n. L’ensemble des étapes présentées précédemment est fait pour des fenêtres de tailles diverses :

𝐹 ∝ 𝑛

De manière typique, F(n) croît avec n. Une relation linéaire, sur graphique bilogarithmique, représentant F(n) en fonction de la longueur de l’intervalle, révèle la présence d’autosimilarité. Le calcul du DFA permet donc de distinguer le fGn dont la valeur de α est comprise entre 0 et 1 du fBm dont la valeur de α est comprise entre 1 et 2, puis ensuite de convertir α en une valeur de H selon l’équation suivante :

𝐻 = 𝛼 Pour fGn 𝐻 = 𝛼 − Pour fBm

I.2.5. Mesure de la complexité pour l’analyse du contrôle postural I.2.5.1. Intérêt des mesures d’autosimilarité dans l’étude du mouvement

Depuis une vingtaine d’années, l’utilisation d’outils issus de la TSD pour l’analyse du mouvement a offert de nouvelles perspectives pour la compréhension des mécanismes en jeu dans la régulation des activités motrices. En évaluant sa non-linéarité, sa chaoticité, et son niveau de prédictibilité, ces mesures fournissent un éclairage sur la dynamique sous-jacente à la production du mouvement. Pour utiliser ces outils sur des signaux émis par un système, celui-ci doit posséder une dynamique complexe, qui s’exprime par des fluctuations non aléatoires existant au travers de multiples échelles temporelles et spatiales. L’utilisation de ces méthodes d’analyse a donc pour objectif premier d’identifier les mécanismes impliqués dans le fonctionnement du système, leurs dynamiques, ainsi que leurs évolutions en réponse à des bouleversements internes (e.g. l’avancée en âge, la pathologie, le développement, ou l’entrainement), mais également externes (e.g. modification de l’environnement). Ainsi, l’analyse de la structure temporelle des déplacements du centre des pressions met en lumière la nature non-linéaire et complexe de la dynamique générée par les

processus en jeu dans le maintien de l’équilibre postural. Étant donné le floue demeurant, encore à ce jour, sur la nature chaotique ou non des fluctuations issues des déplacements du CdP, nous avons, ici, choisi d’explorer la dynamique du système postural à l’aide de mesures d’autosimilarité. En effet, contrairement à d’autres mesures non-linéaires telles que l’exposant maximal de Lyapunov ou les dimensions corrélées, qui cherchent à formaliser la dynamique exprimée par système, les mesures d’autosimilarité n’exigent pas un comportement de nature strictement chaotique. Parmi ces mesures, nous nous sommes concentrés sur les analyses fractales et d’entropie, en raison de leur fiabilité et de leur complémentarité dans le cadre de l’analyse de la complexité du système postural.

L’entropie, du fait qu’elle cherche à mesurer la probabilité de rencontre de patrons au sein d’une série temporelle, permet d’en quantifier la régularité. En cela, elle constitue donc une mesure permettant de quantifier la quantité d’informations générées par le système mesuré.S’il est vrai que la complexité ne peut être réduite à la régularité du signal telle que mesurée par l’entropie, cette dernière suggère néanmoins la richesse des mécanismes en jeu au sein d’un système. Ainsi, on peut raisonnablement supposer que plus le nombre de mécanismes en jeu est limité, plus le signal mesuré sera composé d’un faible nombre de patrons, et donc, plus celui-ci sera régulier.A l’inverse, plus le nombre de mécanismes impliqués dans la régulation du système mesuré est important, plus leurs actions sur le système, ainsi que leurs interactions entre eux, enrichiront la structure du signal émis par le système, le rendant par conséquent plus complexe. Cependant, comme nous l’avons mentionné précédemment, un signal irrégulier n’est pas systématiquement synonyme de signal complexe, car une valeur très élevée d’entropie (i.e. faible régularité) peut également refléter l’absence de mécanismes de régulation efficients au sein du système, en d’autres termes la nature aléatoire du signal recueilli. Or, un système complexe est un système qui possède une variabilité traduisant sa capacité à s’auto-organiser en produisant des états à fois stables et flexibles. Il va donc produire un comportement qui reflète une organisation mi-chemin entre l’ordre (signal périodique) et désordre excessif (signal aléatoire ; Stergiou et Decker 2011). Ces deux phénomènes reflètent une perte de complexité qui va tantôt se traduire par un comportement très prédictible (i.e. augmentation de la régularité du signal), tantôt par un comportement non prédictible (i.e. diminution de la régularité du signal). Par conséquent, si la mesure de la régularité d’un système constitue un indicateur de sa prédictibilité, elle n’est pas suffisante pour statuer sur sa complexité. En cela la structure fractale nous offre un éclairage plus direct sur la complexité puisqu’elle constitue la signature d’un système présentant une coordination optimale entre ses multiples composants, sous-systèmes et sous-fonctions (Kello et al. 2007). Un système complexe exprimera donc des corrélations à long terme, témoignant de la présence d’une mémoire des données

antérieures dans l’expression du système à l’instant « t » (Duarte et Sternad 2008 ; Goldberger et al.

2002).

La notion de fractal renvoi à la présence de fluctuations non aléatoires, présentes à différentes échelles temporelles, au sein d’une sortie physiologique d’apparence irrégulière.La cause et la fonction des corrélations à long-terme observées, la plupart du temps, dans des systèmes sains et fonctionnels, ne sont pas clairement établies. Il est actuellement suggéré que les dimensions fractales exprimées par un système refléteraient de la connectivité entre les processus biologiques impliqués dans son fonctionnement. Ainsi, plus un système exprime de dimensions fractales plus la connectivité entre ses processus sera importante. A l’inverse une baisse des dimensions fractales émergerait d’une détérioration graduelle dans le nombre de composantes fonctionnelles impliquées dans le système, ainsi que d’une baisse de leurs interactions. En effet, Goldberger et al. (2002) montrent dans leur analyse du rythme cardiaque que les séries d’intervalles inter-battements, présentes chez les sujets sains, possèdent des propriétés fractales, qui tendent à disparaitre avec l’apparition de pathologie, cet intervalle devenant alors régulier et périodique.La nature fractale d’un système résulterait donc à la fois du nombre de composantes au sein du système, mais également, et surtout, de l’organisation et de la coordination, qui émergent entre celles-ci, et qui vont se traduire par l’émergence de fluctuations non aléatoires présentent à différentes échelles temporelles.Cette organisation serait un compromis optimal entre flexibilité et rigidité, conférant au système son adaptabilité, et permettant à l’organisme de s’adapter au stress d’un nouvel environnement (Van Orden 2007). La présence de corrélations à long terme, indicatrices de la complexité, constitue donc une propriété essentielle, qui peut être perdue avec le vieillissement et la maladie, et rétablie avec la réhabilitation et l’apprentissage.Toutefois, comme nous allons le voir, l’utilisation des analyses fractales pour analyser le fonctionnement du système postural n’est pas sans poser certaines difficultés.

I.2.5.2. Intérêt des mesures d’autosimilarité dans l’étude du contrôle postural

I.2.5.2.1. La régulation du contrôle postural : quels paramètres pour quelles