Étude du mouvement : exploration des caractéristiques des séries temporelles en vue d’analyses non-linéaires

Que ce soit pour l’exploration des caractéristiques d’un système au moyen d’outils linéaires ou non-linéaires, celle-ci se fait par le biais d’outils à même de capturer au moins une partie de son fonctionnement (e.g. ECG, plateforme de force, capture du mouvement). Le signal ainsi acquis permet d’obtenir une mesure partielle de l’expression du système d’intérêt, et fournit une

succession de valeurs réparties sur la durée de l’acquisition, en d’autres termes : une série temporelle. Une série temporelle est donc « une liste de nombres supposés être l’expression des processus enregistrés sur une période de temps » (Stergiou 2004). Le but de l’analyse des séries

temporelles au moyen des mesures issues de la TSD est de déterminer les mécanismes qui sous- tendent les différentes dynamiques présentes dans le signal. Cependant, le recours à de tels outils nécessite de nombreuses précautions, ainsi que la présence de certaines caractéristiques dans la série temporelle recueillie justifiant le bien-fondé de leur utilisation.

En premier lieu, l’utilisation d’outils issus de la TSD nécessite que l’on porte attention à la taille de la série temporelle. En effet, la série temporelle en ce qu’elle représente qu’un échantillon prélevé sur un temps déterminé, ne constitue qu’une fenêtre d’observation par laquelle on peut entrevoir une partie du fonctionnement du système. La taille de la série temporelle doit donc être adaptée pour capturer de façon aussi exhaustive que possible la dynamique du système. Sa taille doit être établi relativement à la temporalité dans laquelle évolue le système mesuré, mais également, en tenant compte de l’outil utilisé pour réaliser la capture. Ainsi, un enregistrement de la marche nécessitera une durée d’acquisition bien plus courte que l’observation de la révolution de la terre autour du soleil, car ces deux systèmes évoluent sur des échelles de temps différentes. Afin de déterminer la longueur de la série temporelle nécessaire à la capture de la dynamique du système, la formule suivante a été proposée : longueur de la série = 10D_{, D représentant le nombre de}

dimensions nécessaires pour encastrer la dynamique du système (i.e. technique de l’espace des phases). Ainsi un système exprimant 5 dimensions nécessitera, une série temporelle de 100.000 points. Toutefois, ce facteur doit être appréhendé conjointement avec celui de la résolution et/ou de la fréquence d’échantillonnage de l’outil utilisé. La fréquence d’échantillonnage doit être suffisamment haute pour pouvoir capturer la dynamique du changement le plus rapide opérant au sein du système. L’analyse spectrale permet de déterminer les fréquences contenues dans le signal enregistré, ainsi que leurs puissances (cf. Figure 12 - Spectre de puissance). De cette manière, il est possible d’observer l’ensemble des fréquences exprimées et, ainsi, de déterminer la fréquence nécessaire à son acquisition. L’observation du spectre de puissance est particulièrement importante dans le cadre d’analyses non-linéaires car elle permet également de détecter les éventuels bruits présents dans le signal mesuré. Le bruit et/ou les erreurs générés par le matériel utilisé représentent également un facteur de biais lors de l’utilisation des mesures non-linéaires. Cependant, ce dernier étant inhérent à l’ensemble des outils de mesure, l’objectif n’est pas de l’éliminer totalement, mais de le minimiser afin que la contamination des données soit constante et/ou de permettre de répondre aux hypothèses de recherche. Le bruit peut être blanc et se répartir sur l’ensemble du spectre de fréquence, ou investir une fréquence spécifique à laquelle émet l’outil de mesure. Dans

un cas comme dans l’autre le filtrage des fréquences non inhérentes au système mesuré demeure la solution la plus utilisée afin d’obtenir, si ce n’est une valeur absolue du système mesuré, au moins une mesure fiable et reproductible. Ainsi l’utilisation de filtre permet de sélectionner au sein du spectre les fréquences d’intérêt et d’éliminer celles résultant du bruit matériel. La question des fréquences auxquelles émet le signal est donc importante, et doit être déterminée à la fois par l’observation des données, mais également au regard de la littérature sur le système étudié. Enfin, certaines mesures non-linéaires nécessitent la prise en compte d’un facteur supplémentaire : la stationnarité. Une série temporelle est non stationnaire si sa distribution change au cours du temps (e.g. déplacements de centre des pressions). A l’inverse, une série stationnaire conserva une valeur moyenne et de variance constante au cours du temps. Toutefois, la stationnarité des données n’est pas systématiquement requise pour l’utilisation des outils non-linéaires, et lorsqu’elle l’est, il est possible de contourner le problème en réalisant une différentiation de la série temporelle originale. Également, les outils issus de la TSD étant des outils de mesure non-linéaires, pour que leur utilisation soit pertinente le système étudié doit présenter des dynamiques non-linéaires. C’est-à- dire que l’expression de l’ensemble du système, est plus grande que la somme de l’expression de ses composantes. Ainsi, la non-linéarité s’exprime par une réaction qui n’est pas simplement proportionnelle au stimulus appliqué. L’objectif est donc de parvenir à déterminer la non-linéarité du signal afin de justifier de l’utilisation de ces outils, mais également que la non linéarité ne provient pas d’une déformation de la mesure, ce qui conférerait à tort à un système linéaire des caractéristiques non-linéaires. Pour déterminer la non-linéarité d’un signal deux méthodes sont possibles ; celle des substitutions ou celle de l’espace des phases.

La méthode la plus communément utilisée pour y parvenir est celle de la substitution (i.e. surrogate data method). Initialement développée pour prévenir les mauvais diagnostics de processus stochastiques, la méthode de la substitution permet, en reproduisant des équivalents partiels de séries temporelles originales de tester leur non-linéarité. La série temporelle générée par la méthode des substitutions partage certaines des propriétés de la série temporelle d’origine (e.g. longueur, moyenne, variance, spectre de fréquence). Les séries ainsi générées partagent donc l’ensemble des caractéristiques de la série originale, excepté l’éventuelle origine déterministe de la variabilité qu’elle exprime. L’objectif de cette méthode est donc de confronter les séries temporelles substituée à la série temporelle originale afin de vérifier la véracité de l’hypothèse nulle suivante : la série temporelle est générée par un processus Gaussien stochastique linéaire. On compare donc la mesure non-linéaire d’intérêt lorsqu’elle est appliquée sur la série originale, ou sur celles générées par calcul. On détermine ainsi si cette dernière est significativement différente de celle obtenue avec la série originale (t pour échantillon appareillé). Si la série temporelle originale est

significativement différente des séries temporelles substituées, les données possèdent les caractéristiques non-linéaires capturées par l’indice d’intérêt (e.g. mesure d’entropie, mesure fractal), le résultat du test des séries temporelles substituées sera un échec de l’hypothèse nulle.

Différentes méthodes existent pour générer des séries temporelles substituées ; chacune d’entre elles testent une hypothèse nulle différente. En effet, chacun de ces algorithmes va produire des séries temporelles préservant des caractéristiques différentes de la série temporelle originale. L’objectif de cette méthode est donc d’obtenir des séries temporelles substituées possédant la quasi-totalité des caractéristiques de la série originale, en dehors de son éventuelle non-linéarité. En démontrant que le résultat obtenu à partir de la série originale est significativement différent du résultat obtenu avec les séries temporelles substituées, on peut interpréter cette différence comme résultant de la seule caractéristique divergeant entre série originale et substituée à savoir : la non- linéarité. Parmi les différentes méthodes celle de la Transformée de Fourier à Amplitude Ajustée (i.e. amplitude adjusted Fourier transform - AAFT) reste la plus fiable, car applicable à la plupart des séries temporelles indépendamment de leur nature périodique ou de leur stationnarité (Theiler

et al. 1992). Cette méthode permet de créer des séries temporelles substituées au sein desquelles

l’amplitude de la distribution est préservée, ainsi que les corrélations linéaires entre les données, et le spectre de puissance de la série temporelle originale. A l’aide de cette méthode l’hypothèse H0, selon laquelle la série originale est significativement similaire aux séries substituées, va être testée. Pour ce faire, on va calculer N (ici 20) séries temporelles substituées possédant l’amplitude de la distribution, ainsi que la corrélation linéaire entre les données, et le spectre de puissance de la série temporelle originale. Puis, pour chaque série substituée sera calculée la mesure d’intérêt Q (e.g. entropie). Ainsi, si la série originale possède une valeur Qo supérieure ou inférieure à Qn, c’est-à- dire différente de Qn, alors l’hypothèse Ho est rejetée. Pour tester Ho avec un niveau de signification à 95%, un minimum de 19 séries substituées est nécessaire pour un test statistique unilatéral, et 39 pour un test bilatéral.

I.2.4. Mesures d’autosimilarité