8 Les mathématiques dans les sciences empiriques
8.3 Poser et résoudre une équation : histoire d’un long processus
8.3.1 Une brève histoire du calcul
• XVIIIe siècle avant notre ère : les savants mésopotamiens savent résoudre des équations du second degré, ainsi que certaines équations du troisième et du quatrième degré. Ils savent également résoudre des systèmes de deux équations à deux inconnues. Plus précisément, ils connaissaient les solutions de certains problèmes, mais ne possédaient pas de méthodes générales.
• XVIe siècle avant notre ère : les égyptiens connaissent une algèbre rudimentaire.
• Ve siècle avant notre ère : époque de Pythagore en Grèce. Découverte de l’irrationalité de la racine de 2 ; étude du pair et de l’impair ; théorie des nombres figurés (nombres entiers représentables sous forme géométrique).
• IIIe siècle avant notre ère :
o Archimède : Extension de la numération grecque aux très grands nombres ; démonstration que 3 + 10/71 < π < 3+10/70; algorithme d’Archimède permettant de calculer π avec une précision donnée o Euclide : fondements de la géométrie classique ; étude des nombres
pairs et impairs; étude des nombres premiers ; puissance entière des fractions
• IIIe siècle (de notre ère) : Diophante d’Alexandrie publie son Arithmetica : pour la première fois dans l’histoire des mathématiques grecques, les fractions sont reconnues comme des nombres ; traitement systématique des équations du premier degré et de degré supérieur ; problèmes d’analyse indéterminée, qui préfigurent l’algèbre moderne.
• IVe-Ve siècles : découverte du zéro et de la numération décimale de position d’origine indienne. Cette nouveauté permettra l’essor de l’idée généralisatrice du nombre et de l’algèbre
• 628 : le mathématicien et astronome indien Brahmagupta publie son Brahmasphutasiddhânta : apparition d’une parfaite maîtrise de la numération
décimale de position au moyen des neuf chiffres et du zéro ; méthodes de calcul très proches de méthodes actuelles ; introduction de règles algébriques fondamentales – nombres positifs et négatifs, théorisation du zéro comme
« nombre nul » ; infini mathématique défini comme l’inverse du zéro
• 629 : le mathématicien indien Bhâskara publie son Commentaire de l’Âryabhatîya : utilisation parfaite du zéro, de la numération décimale de position, de la règle de trois ; calculs sur les fractions arithmétiques, notées sous forme moderne (mais sans la barre de fraction, qui ne sera introduite par les mathématiciens arabes que quelques siècles plus tard)
• 820-850 : époque du mathématicien et astronome musulman Al Khuwarizmi, dont les œuvres contribueront largement à la propagation des chiffres indiens et des méthodes de calcul et de l’algèbre indiennes en pays d’Islam et dans l’Europe chrétienne. Son nom est bien connu (inconsciemment) du grand public : latinisé en algorismus, puis francisé en algorisme, il donnera naissance à algorithme. Le titre de son ouvrage Al jabr wa’l muqabala (« transposition et réduction » : transposition d’un terme négatif d’un membre à l’autre d’une équation et réduction des termes semblables) donnera naissance au mot algèbre.
• Xe siècle :
o Abu Kamil : continuation des travaux de Al Khuwarizmi ; développements algébriques qui serviront de base à Fibonacci en 1202 o Al Karaji : travaux sur l’arithmétique des fractions ; sur la base des
travaux de Diophante et d’Abu Kamil, travaux sur les équations de degré 2 et 2n ; maniement souple des nombres irrationnels, qui initie l’évolution qui conduira à l’élimination de l’algèbre géométrique d’origine grecque grâce au développement du symbolisme mathématique.
• 1202 : le mathématicien italien Leonard de Pise (surnommé Fibonacci) publie son Liber Abaci (« Traité de l’abaque ») où il introduit dans le monde occidental l’art du calcul au moyen des neuf chiffres d’origine indienne, après des voyages en Afrique du nord et au Proche-Orient.
• XVe siècle :
o Travaux du mathématicien persan Ghiyat ad din Ghamshid al Kashi : algèbre, formule du binôme, calcul des fractions décimales, puissances d’exposant entier, racines n-ièmes, nombres irrationnels, …
o 1484 : Nicolas Chuquet utilise les méthodes indiennes et le zéro, et introduit pour la première fois en Europe occidentale les nombres négatifs ; proposition d’une terminologie parfaitement élaborée pour désigner les puissances de 10 ; introduction d’une notation exponentielle un peu semblable à la forme moderne qui comprend des exposants négatifs et positifs
o 1489 : le mathématicien allemand Johann Widmann d’Eger introduit les signes + et – en place des lettres p (initiale de piu – plus) et m (pour minus – moins)
• XVIe siècle :
o Le mathématicien allemand Rudolff introduit le symbole de la racine carrée √, qui constitue une abréviation de l’initiale du nom latin du radical, R
o 1545-1560 : les mathématiciens italiens Gerolamo Cardano et Raffaele Bombelli introduisent les « nombres imaginaires », appelés aujourd’hui nombres complexes.
o 1557 : le mathématicien anglais Robert Recorde introduit le symbole de l’égalité =
o 1582 : le mathématicien belge Simon Stévin publie son De Thiende, qui est le premier ouvrage européen consacré à la théorie générale des fractions décimales (qui sont connues des arabes depuis le temps d’Al Uqlidisi en 952 et des européens depuis Emmanuel Bonfils de Tarascon en 1350) ; il est le premier à les substituer aux fractions ordinaires ; pas décisif vers la notation actuelle des nombres décimaux en symbolisant l’ordre des unités décimales : il écrit 679 (0) 5(1) 6(2) pour la forme moderne 679,56
o 1592 : le mathématicien italien Magini introduit la notation anglo-saxonne actuelle du point décimal : 679.56
o 1594 : le mathématicien écossais John Napier of Merchiston (dit Néper) découvre la correspondance entre les termes d’une progression géométrique et d’une progression arithmétique, qui sera à l’origine des logarithmes.
• XVIIe siècle
o 1608 : Le mathématicien néerlandais Willebrord Snellius introduit la notation décimale à virgule : 679,56
o 1614 : Néper élabore la théorie des logarithmes (il introduit ce terme) et publie la première table de logarithme (base e)
o 1615 : le mathématicien anglais Henry Briggs introduit les logarithmes décimaux et publie une table pour les 31 000 premiers nombres entiers avec 14 décimales !
o 1631 : le mathématicien anglais Thomas Hariot introduit les symboles de l’inégalité : < et >
o 1632 : le mathématicien anglais William Oughtred introduit le symbole de la multiplication : x
o 1637 : René Descartes invente la géométrie analytique. Il crée la notation algébrique moderne et introduit la notation exponentielle moderne pour les exposants positifs.
o 1640 : Le mathématicien français Pierre de Fermat établit les bases de l’analyse combinatoire
o 1654 : en collaboration avec Pierre de Fermat et Georges de Méré, Blaise Pascal établit les principes du calcul des probabilités
o 1656 : le mathématicien anglais John Wallis étend la notation exponentielle de Descartes aux exposants négatifs ou fractionnaires o 1670-1684 : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz établissent le
fondements du calcul infinitésimal moderne
o 1672 : Leibniz invente le calcul différentiel et intégral
o 1696 : publication du premier traité classique de calcul intégral par le marquis de l’Hospital : Analyse des infiniment petits.
• XVIIIe siècle :
o 1748 : Leonhard Euler publie un livre traitant de l’étude générale des fonctions : fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques ; développements en série ou en produit infinis
o 1750 : première étude approfondie des systèmes d’équations par le mathématicien suisse Gabriel Cramer
o 1770 : le mathématicien français Alexandre Vandermonde invente la théorie des substitutions
o 1797 : le mathématicien français Louis Lagrange crée la théorie des fonctions analytiques, qui fonde l’analyse mathématique moderne.
• XIXe siècle :
o 1807-1822 : Joseph Fourier étudie les séries trigonométriques (séries de Fourier)
o 1821-1893 : Augustin Cauchy démontre l’existence des solutions des équations différentielles et aux dérivées partielles. La théorie des équations différentielles sera ensuite développée par Lipschitz et Picard.
o 1828 : le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton donne la première définition rigoureuse des nombres complexes.
o 1843-1844 : W.R. Hamilton et le mathématicien allemand Grassmann publient les premiers travaux faisant apparaître le calcul vectoriel o 1858 : l’avocat et mathématicien Arthur Cayley fonde le calcul
matriciel