S UR LES ORGANISATIONS MATHEMATIQUES

Dans ce paragraphe, nous décrivons les organisations mathématiques construites dans les trois manuels analysés, et principalement les types de tâches autour desquelles celles-ci se bâtissent. Avant de préciser ces types de tâches, considérons des définitions qui sont données dans les manuels par rapport au thème en jeu : qu’est-ce que factoriser ? Qu’est-ce qu’un polynôme irréductible ? Qu’est-ce que factoriser complètement un polynôme ? Qu’est-ce qu’un facteur commun d’un polynôme ?

Figure 19 : Extrait de la table de matières du M3

Manuels Question M1 M2 M3 Qu’est-ce que factoriser un polynôme ? Factorizar un polinomio es expresarlo como el producto de dos o más polinomios de igual o

menor grado que él (p. 6)

Factorizar un polinomio de

grado mayor o igual que 0 es

expresarlo como la multiplicación de 2 o de más polinomios diferentes de 1 y de -1, llamados factores (p. 30) −

(emploi mais pas défini)

Qu’est-ce qu’un polynôme irréductible? Un polinomio es irreductible o canónico si no es posible factorizarlo (p. 6)

Los polinomios de grado mayor que 0 que no se pueden

factorizar se denominan polinomios irreductibles. Los

polinomios de grado cero son irreductibles (p. 30) − Qu’est-ce que factoriser complètement un polynôme ? Si los polinomios factores son irreducibles,

entonces el polinomio está factorizado completamente (p. 6) Factorizar completamente un polinomio consiste en expresarlo como la multiplicación de 2 o de más polinomios irreductibles, diferentes de 1 y de -1 (p. 30) −

(emploi mais pas défini)

Qu’est-ce qu’un facteur commun d’un polynôme?

−

(emploi mais pas défini)

Un factor común de un polinomio es un polinomio que es factor de cada término

de ese polinomio (p. 30)

−

Tableau 8 : Certaines définitions dans les trois manuels analysés

Notons dans chaque définition donnée, et nous pouvons l’observer dans la plupart des propositions des manuels, que l’ensemble de définition des expressions polynômiales auxquelles fait allusion le chapitre n’est pas explicité ; ce qui serait nécessaire pour des expressions irrationnelles par exemple. Notamment, le seul moment où la délimitation du domaine est évidente a lieu pendant l’étude du discriminant d’un trinôme du second degré, où pour chacun des cas, dans les manuels, l’ensemble auquel appartiennent les zéros du polynôme est mentionné :

« Si el discriminante es igual a cero, el trinomio […] si es factorable en IR » (M3, p.21), « si Δ > 0, entonces la ecuación tiene 2 soluciones reales diferentes » (M2, p. 13)

« Cuando el discriminante es negativo (Δ < 0) el polinomio no tiene factorización porque la raíz cuadrada de un número negativo no existe en el conjunto de los números reales » (M1, p. 13)

Remarquons aussi que pour M3 les objets : factoriser un polynôme et factoriser complètement un polynôme sont des objets paramathématiques83, ainsi que l’objet « facteur commun » dans M1. Ils ne sont alors pas définis.

Organisations mathématiques

Tout au long du chapitre du manuel M1 concernant la factorisation, nous ne repérons qu’un seul type de tâches T1 : factoriser un polynôme réel donné. Dans chacun des trois manuels, les

manières d’accomplir T1 sont, avec quelques particularités, les mêmes :

τ11 : Facteur commun (regroupement).

τ12 : Identités remarquables (différence de deux carrés, trinôme carré parfait (ax± by)2,

somme et différence de deux cubes).

τ13 : Formule générale pour trouver les zéros d’un polynôme du second degré.

τ14 : Inspection.

Pour le manuel M1 l’organisation mathématique relative à T1 est une organisation ponctuelle.

Il n’y a aucun autre type de tâches présenté dans la partie de la factorisation des polynômes qui mobilise des techniques pour factoriser. En outre, comme nous l’avons remarqué plus haut, c’est une organisation dont la plupart des techniques deviennent « autotechnologiques », car elles sont les seules reconnues dans l’institution. Cependant, nous retrouvons dans la présentation du cas général de la « méthode d’inspection » pour factoriser des polynômes de la forme ax2 + bx+ c, dont la racine carrée du discriminant est un entier (p. 17), des éléments qui justifient et expliquent cette technique « d’inspection » :

83

« A côté des « notions mathématiques » […] se rangent des notions qu’on peut dire « paramathématiques » : par exemple, la notion de paramètre, la notion d’équation, la notion de démonstration […]. Les notions paramathématiques sont des notions-outils de l’activité mathématique ; elles ne sont pas « normalement » des

objets d’étude pour le mathématicien […] sont en général préconstruites (par monstration) ». (Chevallard, 1991,

En ce qui concerne le manuel M2, en dehors de T1, nous repérons autres types de tâches qui

mobilisent des techniques de factorisation étudiées dans le chapitre. Par exemple,

T2 : Reconnaître si une expression est un facteur commun « d’un polynôme »

T3 : Ecrire le polynôme P(x) en sachant que P(a)=0 et P(b)=0

T4 : Déterminer la valeur du discriminant d’un trinôme quadratique

T5 : Déterminer si un polynôme du second degré est factorisable en IR

T6 : Identifier si un polynôme est complètement factorisé

T7 : Reconnaître la « méthode » utilisée pour factoriser un polynôme

T8 : Résoudre des problèmes qui mobilisent des techniques de factorisation

Cette diversité de tâches autour d’une même technologie (nous pourrions signaler comme élément technologique θi1 : « tout polynôme entier de degré n de la variable réelle peut être décomposé en un produit de n facteurs du premier degré de sa variable ») détermine donc une organisation mathématique locale.

Pour le manuel M3, et toujours en outre T1 qui est notamment privilégié en tant que type de

tâches principal, nous repérons d’autres types de tâches. Par exemple :

T4 : Déterminer la valeur du discriminant d’un trinôme quadratique

T5 : Déterminer si un polynôme du second degré est factorisable sur IR

De la même manière que pour le manuel précédent, dans M3 nous n’avons pas d’OM qui se bâtisse autour d’une même technologie ou des éléments technologiques (θ(4∧5)2 : si x ∈ IR

alors x ≥ 0). En d’autres termes, des organisations mathématiques locales sont données à étudier dans ce manuel.