L A FACTORISATION DES POLYNOMES DE LA VARIABLE REELLE
4. Expressions quadratiques : la fonction, l’équation et le polynôme 5 Polynômes et expressions rationnelles
6. Fonction réciproque
7. Fonction exponentielle et équations exponentielles 8. Fonction logarithmique et équations logarithmiques
Dans la colonne « contenus » du Programme d’Etude correspondant au quatrième secteur « Expressions quadratiques », la factorisation des polynômes devrait être étudiée à partir du thème : « solution de l’équation quadratique ». Y est indiquée l’utilisation des techniques de : formule générale des solutions d’une équation de second degré, « inspection », « facteur commun » pour les expressions du type ax2 + bx = 0, ainsi que la résolution d’équations à l’aide de la calculatrice.
Expliquons brièvement les trois premières techniques à partir de leur mise en œuvre dans une tâche, en essayant de montrer les traces écrites qu’un professeur pourrait laisser au tableau. Nous reprendrons cette partie durant l’analyse des manuels dans le paragraphe suivant.
Fórmula General (Formule générale)
Tâche : Trouver les solutions de l’équation 2x2 − 3x − 1 = 0
a = 2 Δ = b2 − 4ac x = a b 2 Δ ± − b = −3 = (−3)2 − 4(2)( −1) x = 4 17 3 ± c = −1 = 17
Certes, en appliquant cette technique, les élèves n’ont pas besoin d’avoir recours à la factorisation du polynôme.
Inspección (Inspection)
Tâche : Trouver les solutions de l’équation 2x2 + 5x − 3 = 0 2x2 + 5x − 3 = (2x − 1)(x + 3) = 0
2x −1 2x − 1 = 0 ∨ x + 3 = 0 x 3 6x − x = 5x x =
2
1 x = − 3
Probablement, une fois obtenu l’accord de la classe sur la possibilité de trouver les solutions de l’équation en appliquant la « méthode d’inspection », l’enseignant accompagnera ce qui est écrit au tableau en disant : « nous avons le polynôme 2x2 + 5x − 3. Que pourraient être les deux expressions qui en les multipliant donne 2x2 et les deux autres qui donnent − 3 ? De manière à ce qu’en les additionnant on obtienne 5x ? » Une fois trouvées les expressions et vérifié au tableau qu’elles satisfont les conditions, le professeur peut continuer : « comment factorise-t-on ce polynôme, alors ? » Les élèves vont répondre et l’enseignant pourra rappeler : « souvenez-vous qu’on multiplie en croix, mais qu’on écrit les facteurs en regardant horizontalement les expressions »
Factor común (Facteur commun)
Tâche : Trouver les solutions de l’équation 9x2 − 15x = 0 3x(3x − 5) = 0
3x = 0 ∨ 3x − 5 = 0 x = 0 ∨ x =
3 5
Avec une telle structuration : équation → factorisation, pour les polynômes du second degré, cette dernière technique pourrait être rencontrée comme un outil pour accomplir une tâche relative aux équations, en donnant à la factorisation une raison d’être au sein des mathématiques. L’enseignant pourrait aussi démarrer l’étude en proposant un problème qui demanderait une mise en équation. Ce faisant, la factorisation pourrait aussi « exister » dans l’institution, à partir du besoin éprouvé de résoudre les types des tâches associés au problème. Remarquons que, d’après la programmation des savoirs dans les instructions officielles, les
des polynômes en neuvième, l’année d’avant. Elle apparaît comme le dernier thème à étudier. Ainsi, est-il indiqué dans le domaine de l’algèbre :
Objetivo Contenido Procedimiento
3. Efectuar la factorización de polinomios en forma completa Factorización completa de polinomios mediante:
•Factor común (con una o dos variables).
•Diferencia de cuadrados (en una variable).
•Trinomio cuadrado
perfecto
(en una variable).
•Combinación de factor común y productos
notables.
Discriminación entre factorización y
factorización completa de un polinomio.
Reconocimiento del factor común en polinomios.
Descripción del proceso para factorizar un
polinomio por factor común.
Reconocimiento del uso de las fórmulas notables
para factorizar la diferencia de cuadrados, o el trinomio cuadrado perfecto.
Identificación del método adecuado para
factorizar un polinomio.
Factorización completa de polinomios utilizando
el factor común o los productos notables.
Tableau 6 : Extrait des instructions officielles pour la 9e sur la factorisation des polynômes
Ainsi, trois techniques de factorisation sont étudiées : facteur commun, différence de deux carrés et le « trinôme carré parfait ». Les deux dernières, dans leur emploi pour « développer » une expression algébrique, avaient été déjà rencontrées l’année précédente, en huitième. Même si la factorisation est indiquée comme étant à enseigner en neuvième, il se peut pourtant que certains élèves, en arrivant en dixième, n’aient pas étudié la factorisation − comme l’ont signalé certains élèves dans les classes de Sam durant le premier entretien collectif. Ceci peut se produire parce que, comme ce thème est le dernier à être enseigné, en raison de contraintes de temps, quelques enseignants font le choix de privilégier d’autres thèmes qui seront évalués dans l’évaluation nationale de ce niveau.
Revenant sur le programme d’étude de la dixième, et comme nous l’avons indiqué dans le chapitre précédent, même si la consigne donnée dans les instructions officielles est de respecter la programmation des savoirs, à partir de l’expérience personnelle de la chercheuse
et d’autres professeurs, nous savons que des variations existent au sein de la communauté d’enseignants. Ces variations établissent une nouvelle programmation de la manière suivante :
0. Révision des opérations sur les polynômes,
1. FFaaccttoorriissaattiioonnddeessppoollyynnôômmeess 2. Expressions rationnelles
3. Equations polynomiales
4. Fonctions : concepts généraux, fonction linéaire, droites dans le plan 5. Fonction quadratique
6. Fonction réciproque
7. Fonctions et équations exponentielles et logarithmiques
Selon les enseignants participant à notre étude, cet ordre a une fonction « didactique » : on démarre avec les opérations sur les polynômes pour rappeler les connaissances préalables dont les élèves auront besoin et en même temps, cela permet de réaliser un diagnostic sur leur niveau. Ensuite, il faut aborder la factorisation des polynômes, car « on en aura besoin pour étudier les équations et les expressions rationnelles, et plus loin dans les fonctions ». En d’autres termes, cette chronologie présente la factorisation comme un contenu de transition. Certes, elle ne favorise pas la possibilité de faire vivre la raison d’être : « pourquoi étudie-t-on la factorisation ? » Le savoir est donc présenté comme « autosuffisant » : on l’étudie parce qu’il est important.
Dans le « plan de estudios », nous retrouvons des spécifications concernant les techniques à étudier :
Factorización del trinomio de segundo grado con una variable :
Fórmula general, inspección, fórmula notable, teorema del factor, usando calculadora
Par rapport aux techniques que nous avons illustrées plus haut, cette partie du « plan » en indique deux autres : identités remarquables et « théorème du facteur ». Nous n’avons trouvé aucune référence sur les identités remarquables à étudier. Nous inférons donc que c’est à chaque professeur de décider lesquelles enseigner. Par exemple, comme nous l’avons observé dans les classes des participants, Ron en a étudié huit et Sam sept.
La technique designée par « théorème du facteur » : (x − a) est un facteur du polynôme P(x) ⇔ P(a) = 0 », fait allusion à la division des polynômes. Elle consiste à trouver les zéros du polynôme P(x) = ax2 + bx + c, en appliquant le théorème sur les « possibles zéros rationnels d’un polynôme ». Selon ce dernier, tous les nombres de la forme
n m
, dont le numérateur est un diviseur de « c » et dont le dénominateur est un diviseur de « a », sont des possibles zéros du polynôme P(x). Ainsi, en sachant que « le reste de P(x)÷(x – a) est P(a) », il s’agit de trouver les divisions du type P(x)÷(x – m
n ) qui ont un reste nul
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. On peut
s’interroger sur la raison d’être de cette technique pour l’accomplissement de tâches relatives aux polynômes de second degré, étant donnée que la « formule générale » est enseignée ! Nous reviendrons sur cette technique du « théorème du facteur » plus loin, dans l’analyse de manuels.
Remarquons que la « formule générale », selon cette partie du programme d’étude, doit être étudiée afin de factoriser des trinômes quadratiques. Néanmoins, comme pour le cas précédent, nous nous demandons quels arguments justifient cette étude si, finalement, elle n’est utilisée, que pour la résolution d’équations ! C’est-à-dire :
Tâche : Trouver les solutions de l’équation 2x2 − 3x − 1 = 0 Δ = b2 − 4ac = (−3)2 − 4(2)( −1) = 17 Alors, x = a b 2 Δ ± − = 4 17 3 ±
La suite du « plan de estudios » mentionne d’autres polynômes à enseigner et les techniques à mettre en œuvre pour accomplir les types de tâches qui leur sont associées :
Factorización completa de polinomios de tres y cuatro términos con una o dos variables. • Factor común y fórmula notable.
• Grupos80
y factor común.
• Grupos y diferencia de cuadrados.
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Vue la « grande » quantité de divisions à effectuer, « la division synthétique » est enseignée en utilisant seulement les coefficients numériques du polynôme P(x).
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La technique de « grupos », que nous avons traduit comme « regroupement » réfère à une double application de la technique du « facteur commun ». Par exemple, lors de la factorisation du polynôme : xn + xm + yn + ym.
(
4x−3− 17)(
4x−3+ 17)
=0 0 17 3 4x− − = ∨ 4x−3+ 17=0 4 17 3 + = x ∨ 4 17 3 − = xLe détail des exigences demandées par le Ministère d’Education Publique concernant le thème de la factorisation des polynômes en dixième est présenté dans le tableau qui suit. Il est structuré en cinq colonnes : les objectifs, les contenus, les procédures, les valeurs et les attitudes et les critères d’évaluation, termes qu’utilise ce document.
Objetivo Contenido Procedimiento Valores y
actitudes Criterios de evaluación Factorizar completamen te un trinomio de segundo grado con una variable, para aplicarlo en la simplificació n de expresiones racionales y en la solución de ejercicios y problemas del entorno. Trinomio de segundo grado. Factorización del trinomio de segundo grado con una variable:
Fórmula general. Inspección. Fórmula notable. Teorema del factor. Usando la calculadora. Formulación y comprobación de conjeturas, para establecer características, semejanzas y diferencias entre la función cuadrática, la ecuación cuadrática y el polinomio de segundo grado con
una variable. Elaboración y utilización de estrategias que permitan factorizar un trinomio de segundo grado con una
variable. MANIFIESTA: Flexibilidad y tolerancia al considerar las estrategias, propuestas, ideas y razones que brindan los compañeros y compañeras. Curiosidad por indagar y explorar sobre diferentes