Section 4 Le caractère et la nature du monopole naturel
4.2 La sous-additivité d’un monopole naturel multiproduit
4.2.3 Sous-additivité, économies d’échelle et économies d’envergure
La présence simultanée des économies d’échelle et d’envergure n’est pas suffisante pour qu’il ait sous-additivité, car elles représentent plutôt de faibles mesures d’économie à cause de la taille et la combinaison des outputs. Dans ces conditions, il est clair qu’on a besoin d’un ensemble fort et suffisant de conditions afin de garantir la sous-additivité de coûts. Intuitivement, nous saisissons ce caractère suffisant à travers deux conditions, l’une qui renforce la notion d’économies d’échelle, l’autre qui renforce celle des économies d’envergure. Cependant, il existe d’autres conditions à la sous-additivité comme la soutenabilité et la quasi-convexité.
4.2.3.1 Le renforcement d’économies d’échelle et d’économies d’envergure
Des coûts moyens incrémentaux décroissants DAIC, du vecteur y pour chaque produit , et des économies d’envergure faibles dans y impliquent la sous-additivité de la fonction de coût. Pour arriver à ce résultat, en tenant compte de la décroissance coûts moyens incrémentaux dans une ligne de produits, le raisonnement exige que la ligne de produits soit monopolisée pour que les coûts de l’industrie soient minimisés.
N i∈
En outre, pour qu’il y ait DAICi, il est nécessaire que le coût total de l’industrie augmente quelle que soit la forme de division de l’output de la marchandise i, en conservant tous les autres outputs constants.
Afin d’analyser le rôle de DAICi, on considère un vecteur d’output qu’on divise en deux groupes, , où tous les deux, et >0, c’est-à-dire avec une quantité positive de marchandises i. Soit le vecteur d’output d’une marchandise i, dans le groupe et, le vecteur qui contient les autres quantités des outputs, car
. Si DAIC
y = + − i(y) existe, alors les propositions suivantes seront vraies :
) Afin d’établir la proposition, on suppose sans perdre la généralité que le coût moyen incrémental (AIC) de déplacement de la production de depuis la firme B vers la firme A, n’est pas aussi grand que le coût de déplacement de la production de dans la direction opposée , ce qui montre :
[ ] [ ]
Selon la supposition DAIC et la notion de AIC, nous avons :[ ]
En multipliant en forme croisée et en additionnant et en soustrayant le terme dans le terme de gauche de l’inéquation, on arrive à :
)
En prenant les inéquations (34) et (35), on peut conclure que : ),
Ce qui démontre que nos propositions (32) et (33) sont correctes. D’une façon intuitive, on conclut que dans une industrie où le coût moyen incrémental d’une marchandise i est décroissant, il est préférable de produire toutes les marchandises i dans une seule firme, au lieu de diviser la même quantité d’output i entre plusieurs firmes. Enfin, pour compléter l’idée que les coûts moyens incrémentaux décroissants DAIC associés à des économies d’envergure faibles impliquent la sous-additivité de la fonction de coût, tout en conservant le caractère général qu’ont (32) et (33), on utilise ces dernières propositions pour une production consolidée du produit 2, ce qui réduit les coûts de l’industrie :
).
L’inéquation (36) souligne que la sous-additivité est établie en forme immédiate. Si la condition (22) est appliquée, nous sommes devant des économies d’envergure faibles, qui nous donnent le résultat suivant :
).
Ce résultat définit les conditions suffisantes pour qu’une industrie soit un monopole naturel, il illustre également le fait que notre proposition initiale donne des éléments pour comprendre la structure de l’industrie dans des conditions de production en économies d’envergure.
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La condition des coûts moyens incrémentaux décroissants est une version renforcée des économies d’échelle globales car elle implique des économies d’échelle spécifiques pour chacun des produits. Si on y ajoute des économies d’envergure, cela entraîne l’apparition de lignes de produits consolidées dans une même entreprise. Comme on peut le constater, la spécialisation, la diversification et la monopolisation vont de pair ; cela nous donne une définition naturelle de la sous-additivité des coûts.
Ainsi, si la fonction de coût présente des coûts incrémentaux moyens décroissants pour un produit i, c’est-à-dire DAICi à travers y, alors la minimisation des coûts de l’industrie exige que la production de la marchandise i soit réunie dans une seule firme.
4.2.3.2 Le renforcement des économies d’envergure
Les propositions suivantes pour l’accomplissement de la sous-additivité sont basées sur un ensemble de prémisses qui combinent les économies d’échelle et certaines formes de complémentarité de coûts un peu plus fortes que les économies d’envergure. Bien que la sous-additivité dans les économies monoproduit soit plutôt associée aux économies d’échelle ou aux coûts moyens décroissants, elle est dans le cas des économies multiproduit très liée aux économies d’envergure et notamment lorsqu’il y a certaines conditions de convexité117.
Deux conditions simultanées sont suffisantes pour garantir la sous-additivité stricte de coûts dans un vecteur d’output y0, d’une part, la convexité radiale transversale118 (non stricte) sur un hyperplan quelconque H =
{
yw⋅y=w0,w>0}
à travers y0, et, d’autre part, des coûts moyens radiaux décroissants (stricts) jusqu’à l’hyperplan H.D’après cette proposition, les coûts moyens radiaux décroissants impliquent que les coûts globaux présentent une sous-additivité radiale dans y0. En conséquence, le choix s’opère sur deux vecteurs d’output ayant des rayons différents, qui doivent satisfaire la somme vectorielle:
, 0 , 0 2
1 ≠ y ≠
y
0 2
1 y y
y + =
La mise en lumière de cette condition, difficile à interpréter de manière intuitive, nous amène à utiliser une méthode heuristique avec les graphiques n°1.4 et n°1.5. Nous allons localiser un hyperplan H de convexité radiale transversale, dans lequel se trouve le vecteur
117 Sharkey William, 1982, The theory of natural monopoly, Bell labotratories, Cambridge University Press, Murray Hill, New jersey, last published 1989, p68.
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118 Le concept de convexité radiale transversale a été développée par Baumol et, il exige que la fonction de coût soit convexe sur l’hyperplan transversal radial en question. Celui qui peut être vu comme une ligne ab dans la figure 1.4. Baumol W.J., 1977, On the proper costs test for natural monopoly in a multiproduct industry, American Economic Review, 67, p43-57.
d’output y0. Le vecteur est étendu proportionnellement jusqu’à , sur l’hyperplan H où se trouve l’intersection radiale avec le vecteur et de façon similaire les outputs de sont étendus jusqu’à sur H. De surcroît, comme ces trois points demeurent sur l’hyperplan H, y
y1 v1y1
y1 y2
2 2y v
0 peut être conçu comme la moyenne pondérée des deux points v1y1 et v2y2.
Le déplacement de y1 et y2 jusqu’à y0 s’effectue en deux temps : d’abord, on étend les vecteurs et (graphique n°1.4), ensuite, on calcule la moyenne des deux vecteurs étendus (graphique n°1.5). L’objectif de notre démonstration consiste à préciser les économies de coût issues de chacune de ces voies, de sorte que le coût de y
y1 y2
0 doit être inférieur au coût total qui résulte de la production séparée des vecteurs y1 et y2.
Graphiques n°1.4 et 1.5 : Convexité transversale radiale
Source : Baumol, 1982, p178-79.
Premièrement, comme les coûts moyens radiaux sont décroissants, cette démarche permet d’économiser immédiatement des capitaux dans la mesure où les coûts totaux augmentent proportionnellement moins rapidement que la quantité produite. Dans un deuxième temps, le coût est réduit (ou il n’augmente pas) par la convexité radiale transversale. Ceci se calcule à partir de la moyenne de et , et en faisant la comparaison avec y
y1 y2
0, dont le coût est inférieur à la moyenne de v1y1 et v2y2. A cet égard, la figure 1.5 71
présente une section croisée transversale et radiale de C(y) dans laquelle est inférieur à la moyenne pondérée de et , juste sur le point A. Les économies sont si évidentes que nous pouvons dire que , c’est-à-dire la sous-additivité demandée. Un exemple attribué à Rosenbaum (1950) et développé par Sharkey et Tesler (1978) traite d’une fonction de coût (non stricte) convexe et des DRAC pour prouver l’existence de la sous-additivité