Signal d’ions et taux de pertes

A partir des diff´erents facteurs de pertes que nous venons d’´etudier, nous pouvons donner les ´equations qui gouvernent la diminution de densit´e et le taux d’ionisation produit. Ces ´equations sont tout d’abord donn´ees pour un nuage thermique et le cas du condensat est ensuite explicit´e.

1.1.6.1 Pour un nuage thermique

L’´equation qui gouverne l’´evolution de la densit´e locale (n) de l’´echantillon peut s’´ecrire : La premi`ere ligne prend en compte les collisions ionisantes, avec τ<sub>i</sub> la dur´ee de vie de l’´echantillon due aux collisions ionisantes avec le gaz r´esiduel,β la constante de collisions des collisions Penning `a deux corps etL la constante de collisions des recombinaisons `a trois corps. La deuxi`eme ligne prend en compte les collisions non-ionisantes, avec τ_a la dur´ee de vie de l’´echantillon due aux collisions non-ionisantes avec le gaz r´esiduel, τ_v la dur´ee de vie ra-diative, β_rs la constante de collisions pour les collisions `a deux corps li´ees `a la relaxation de spin et la grandeur d´efinie par l’´equation 1.12 et li´ee aux collisions secondaires. Nous appellerons dans toute la suite et par abus de langage τ_i la dur´ee de vie d’ionisation. Nous n´egligerons habituellement les pertes dues `a la dur´ee de vie radiative du niveau atomique, les pertes dues

`

a la relaxation de spin, puisqu’elles sont suppos´ees ˆetre 10 fois plus faibles que les collisions Penning `a deux corps, et les pertes dues aux collisions se-condaires. Nous d´efinirons ´egalement la dur´ee de vie totale de l’´echantillon τ par 1/τ = 1/τ_i + 1/τ_a. Le taux de pertes d’atomes peut se calculer en int´egrant sur le volume de l’´echantillon l’expression pr´ec´edente et en faisant les approximations d´ecrites :

dN

dt =−N

τ −βhniN −Lhn²iN (1.14) Les symboles h...id´esignent la moyenne spatiale, c’est `a dire :

hX(r)i=

R X(r)n(r)dr R n(r)dr =

R X(r)n(r)dr

N (1.15)

En int´egrant sur le volume de l’´echantillon la premi`ere ligne de l’expression 1.13, on peut ´egalement calculer le flux d’ions (I) produits par ces collisions :

I = N τ_i +1

2βhniN + 1

3Lhn²iN (1.16)

Cette ´equation est a priori exacte puisque les approximations faites pr´ec´ e-demment ne portaient que sur les collisions non-ionisantes. Les coefficients num´eriques viennent du fait qu’un seul ion est produit pour 1, 2 ou 3 atomes perdus, selon le type de collisions.

Le nombre d’atomes dans nos exp´eriences est compris entre 10⁸ et 10⁵ et la dur´ee de vie effectiveτ_i est de l’ordre de 1000 s. Ainsi le taux d’ions dˆu aux

collisions avec le gaz r´esiduel est compris entre 10⁵ et 10² s⁻¹. Compte tenu des pr´edictions th´eoriques surβetL, les densit´es qui vont permettre d’obtenir un flux d’ions non domin´e par les collisions avec le gaz r´esiduel se situent vers 10¹²at/cm³ pour 10⁵ atomes, c’est `a dire proche de la condensation de Bose-Einstein. La mesure du taux d’ions lors de la formation du condensat nous apportera donc des informations sur l’augmentation de densit´e pendant cette formation.

1.1.6.2 Pour un condensat

Les expressions pr´ec´edentes ne sont valables que pour un nuage thermique.

En effet, pour un condensat, il faut rajouter des facteurs de r´eduction quan-tique. Ainsi, pour un condensat pur dans l’approximation de champ moyen, le taux d’ions par exemple peut s’´ecrire :

I = N

Ces facteurs (2 ! pour les collisions `a deux corps et 3 ! pour les collisions `a trois corps) peuvent ˆetre compris de plusieurs fa¸cons.

Une explication simple consiste `a dire que, dans un condensat, les atomes sont compl`etement indiscernables puisqu’ils ont tous la mˆeme fonction d’onde, par opposition au nuage thermique o`u les atomes peuvent ˆetre rep´er´es par leur ´energie. Lorsqu’on regarde l’´etat de sortie d’une collision `a deux corps, deux chemins distincts dans le cas de particules discernables deviennent iden-tiques dans le cas de particules indiscernables. Ainsi, on compte 2 fois moins de collisions lorsque les atomes sont indiscernables. De mˆeme, on compte 6 fois moins de collisions pour des collisions `a trois corps.

Une autre fa¸con de comprendre ces effets de statistique quantique est de parler de sym´etrisation de la fonction d’onde, ou bien en seconde quantifica-tion d’utiliser le th´eor`eme de Wick. C’est cette approche qui sera d´evelopp´ee dans le chapitre 6, et qui nous permettra de retrouver ces facteurs. Nous verrons qu’il s’agit en fait de calculer des fonctions de corr´elations spatiales

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a distance nulle.

Comme ces fonctions de corr´elations repr´esentent les fluctuations de den-sit´e de l’´echantillon, on peut ´egalement comprendre ces facteurs comme expri-mant la diff´erence entre les fluctuations de densit´e dans un nuage thermique et dans un condensat. Tout comme pour la lumi`ere, les fluctuations d’inten-sit´e sont corr´el´ees dans un nuage thermique (on parle d’effet de groupement :

”bunching effect” en anglais) et cet effet disparaˆıt dans un condensat. On peut comprendre cela en disant que lorsqu’une fluctuation de densit´e met un peu plus d’atomes `a un endroit, l’amplification bosonique augmente encore la densit´e `a cet endroit. La probabilit´e de trouver deux atomes au mˆeme endroit

est alors augment´ee. Les positions des atomes sont donc corr´el´ees. Cet effet disparaˆıt dans un condensat puisqu’il n’y a plus de fluctuations de densit´e.

Cet effet est bien connu en optique quantique (voir par exemple [74, 75]) et a ´et´e d´emontr´e exp´erimentalement par Hanbury Brown et Twiss [45]. En optique atomique quantique, cet effet a ´et´e d´emontr´e sur un nuage thermique loin du seuil de condensation en mesurant la fonction de corr´elation spatiale [44]. Th´eoriquement, Kagan et Schlyapnikov [76] ont montr´e d`es 1985 que ces corr´elations engendraient une diff´erence entre le taux de pertes pour un condensat et pour un nuage thermique. Cette diff´erence a ´et´e ensuite d´ emon-tr´ee exp´erimentalement [43].

Lorsque le condensat coexiste avec une partie thermique, les calculs sont plus complexes car il faut prendre en compte les collisions crois´ees entre la partie thermique et le condensat. D’autres facteurs statistiques (´egalement donn´es par la r´ef´erence [76]) interviennent alors, et il faut ´egalement prendre en compte le recouvrement spatial des deux nuages. Une telle analyse est faite dans le chapitre 4.

La r´ef´erence [76] propose ´egalement une analyse au del`a du champ moyen.

Elle montre ainsi qu’`a temp´erature nulle il faut prendre en compte l’effet de la d´epl´etion quantique. Cette analyse peut se faire dans une approche de type Bogoliubov et est d´ecrite dans le chapitre 6. On montre alors que les facteurs de r´eduction quantique doivent ˆetre corrig´es d’une quantit´e proportionnelle

` a√

na³ qui reste g´en´eralement faible.