3.4 Mise en ´ evidence exp´ erimentale du condensat et caract´ erisation 116
3.4.4 Caract´ eristiques des condensats form´ es
3.4.4.1 Potentiel chimique et tailles
Le plus gros condensat observ´e poss`ede un potentiel chimique ´egal `a µbec∼0.8µK, ou encoreµbec ∼16 kHz. L’annexe C.3 montre que le temps de vol nous donne une mesure directe du potentiel chimique qui est directement reli´e `a la largeur du temps de vol : Cette valeur est donc ind´ependante de toute calibration de d´etectivit´e ou de mesure des fr´equences d’oscillations.
Connaissant les fr´equences d’oscillations (ωx,y/2π '1800 Hz etωz/2π ' 47 Hz.), il est possible de remonter aux dimensions de ce condensat. Il prend la forme, dans chaque direction de l’espace, d’une parabole invers´ee, d´elimit´ee par un rayonrbec,x,y(0) ∼5µm dans les directions (Ox) et (Oy) etrbec,z(0) ∼ 200 µm suivant (Oz).
Nous avons r´ealis´e des condensats les plus purs possibles, avec des nombres d’atomes vari´es. Pour ce faire, nous choisissons la fr´equence finale de la rampe RF de mani`ere `a former un condensat le plus pur possible, quitte `a perdre un peu trop d’atomes. Puis nous laissons le couteau RF `a la fr´equence cor-respondant `a la fin de la rampe pendant un certain temps d’attente, avant de couper le pi`ege. De cette mani`ere, le nombre d’atomes dans le condensat diminue avec le temps d’attente, mais le condensat reste pur. Compte tenu du fait que que nous ne d´etectons pas tous les atomes mais environ 10%, les condensats les plus petits que nous sommes capables d’observer ont un poten-tiel chimique d’environ 0.2µK. La taille du condensat dans le pi`ege est alors : rbec,x,y(0) ∼ 2.5 µm dans les directions (Ox) et (Oy) et rbec,z(0) ∼ 100 µm suivant (Oz).
Tous les calculs concernant le condensat ont ´et´e effectu´es dans le cadre de l’approximation de Thomas-Fermi. L’annexe B rappelle que cette approxima-tion est justifi´ee dans le cas o`u
σoh,i rbec,i
4
1, avecrbec,ila taille du condensat
dans la directioni etσoh,i celle de l’´etat fondamental de l’oscillateur harmo-nique suivant cette mˆeme direction. Dans notre cas, les tailles moyennes de l’oscillateur harmonique valent σoh,x,y ∼ 1µm et σoh,z ∼ 7 µm. Nous pou-vons donc affirmer, a posteriori, que l’approximation de Thomas-Fermi se trouve compl`etement valid´ee dans notre cas mˆeme pour les condensats les plus petits.
3.4.4.2 Nombre d’atomes et densit´e
Tous ces calculs ne reposaient que sur l’analyse de la forme du temps de vol et sur la mesure des fr´equences d’oscillations. Pour aller plus loin et don-ner par exemple la densit´e du nuage, une donn´ee suppl´ementaire est n´ eces-saire. Lorsque la longueur de diffusion est connue suffisamment pr´ecis´ement, comme pour les alcalins, celle-ci peut constituer cette donn´ee suppl´ementaire.
En effet, alors que la temp´erature du nuage thermique est ind´ependante du nombre d’atomes, la taille du condensat et donc son potentiel chimique d´ e-pendent du nombre d’atomes car ils sont dus aux interactions. Dans le r´egime de Thomas-Fermi, nous avons notamment les relations (voir annexe B) :
µbec = ~ω
2 15 aNbec p~/(mω)
!2/5
et rbec,i=
s2µbec
mω2i , aveci=x, y, z . (3.17) et donc :
nbec(~0) = mµbec
4π~2a (3.18)
La connaissance de la longueur de diffusion suffit donc pour d´eterminer en-ti`erement les derni`eres caract´eristiques du condensat (nombre d’atomes et densit´e). Cependant, nous avons vu dans le premier chapitre que les pr´ edic-tions th´eoriques pour He* ´etaient trop impr´ecises. Il nous faut donc prendre le probl`eme dans l’autre sens, et mesurer de fa¸con absolue le nombre d’atomes pour d´eterminer la longueur de diffusion.
L’ajustement du temps de vol par la loi th´eorique (3.16) et la calibration de la d´etection ´electronique faite au chapitre 2 nous donnent en principe
´egalement acc`es `a la mesure du nombre d’atomes. Cependant comme nous ne d´etectons pas tous les atomes, il faut corriger ce nombre d’atomes par le facteur correctif (Fcor) qui d´epend de la proportion d’atomes qui sont pass´es dans le sous-niveau Zeemanm = 0.
La premi`ere ´etape consiste `a v´erifier que le potentiel chimique varie bien comme attendu en fonction du nombre d’atomes d´etect´es. La variation du potentiel chimique en fonction du nombre d’atomes d´etect´es est repr´esent´ee sur la figure 3.23 sous diff´erentes formes. La conclusion de cette analyse est que, comme attendu, le potentiel chimique suit la loi 3.17. Mais comme cette
loi est d´ej`a bien ´etablie, cela nous permet surtout de tester la lin´earit´e de notre d´etection. En effet, nous avons vu au chapitre 2 que nous ´etions en limite de lin´earit´e du MCP, et il est donc rassurant de v´erifier avec cette exp´erience que notre d´etecteur est bien lin´eaire sur cette gamme de flux et de nombre d’atomes d´etect´es. De plus, le facteur correctif (Fcor) pourrait varier avec la taille du condensat, cela semble ne pas ˆetre le cas.
L’ajustement de ces courbes avec la loi th´eorique 3.17 nous donne acc`es
`
a une mesure pr´ecise de a× Fcor. En effet, les seuls autres param`etres sont les fr´equences d’oscillations que nous avons mesur´ees pr´ecis´ement (voir pa-ragraphe 3.2.4). Pour obtenir une mesure de la longueur de diffusion, il reste donc `a obtenir une bonne estimation du facteur correctif. Comme nous l’avons d´ej`a dit, la mani`ere la plus pr´ecise que nous avons de d´eterminer ce facteur est d’utiliser la relation thermodynamique 3.12 pour mesurer le nombre ab-solu d’atomes et de le comparer au nombre d’atomes d´etect´es. Cependant, nous verrons que ce facteur d´epend de la temp´erature (Figure 5.18), et sa d´etermination est donc impr´ecise. De plus, l’extension spatiale du condensat
´etant diff´erente de celle d’un nuage thermique, son facteur correctif peut ˆetre diff´erent.
Dans une premi`ere analyse [50], nous avions simplement suppos´e que ce facteur correctif ´etait le mˆeme que celui du nuage thermique au seuil avec une temp´erature de 1µK. Nous avions alors trouv´e une longueur de diffusion a = 16 ± 6 nm compatible avec celle trouv´ee par le groupe de l’ENS `a Paris avec la mˆeme m´ethode [9]. Cependant cette analyse ´etait entach´ee de deux types d’erreurs syst´ematiques. Tout d’abord, nous avons maintenant des preuves exp´erimentales (voir chapitre 4) que davantage d’atomes subissent la transition vers m = 0 pour un nuage thermique que pour un condensat. La longueur de diffusion est donc plus faible que celle pr´ec´edemment d´etermin´ee.
De plus, une autre erreur syst´ematique avait ´et´e introduite dans l’analyse.
En effet, c’est la relation (3.17) qui avait ´et´e utilis´ee pour mesurer le facteur correctif. Or, elle n’est vraie qu’au premier ordre en n´egligeant les interactions pour la partie thermique. Nous verrons au chapitre 5 que la prise en compte des interactions pour cette temp´erature entraˆıne une modification du nombre d’atomes de 20% environ. Ainsi, cette erreur entraˆıne une surestimation de la longueur de diffusion de 3 nm environ.
Un encadrement de la longueur de diffusion peut ˆetre obtenu en encadrant le nombre absolu d’atomes. On peut en effet affirmer, que le nombre d’atomes dans le condensat est plus faible que dans le nuage thermique au seuil et qu’il est plus ´elev´e que le nombre obtenu en utilisant le facteur correctif du nuage thermique et le nombre d’atomes d´etect´es dans le condensat. Une telle analyse est d´etaill´ee dans le chapitre 4 et donne comme r´esultat 6 nm < a < 16 nm.
Pour donner des ordres de grandeur, le nombre d’atomes et la densit´e du plus gros condensat observ´e sont donn´es dans le tableau 3.4 pour deux
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
Mu (µK)
50 40
30 20
10 0
No^(2/5)
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
Mu (µK)
20x103 15
10 5
0
No
-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0
Ln(Mu)
10 9
8 7
6 Ln(No)
Fig.3.23 –Figure du haut : potentiel chimique mesur´e en fonction du nombre d’atomes d´etect´es, la courbe en trait plein correspond `a un ajustement par une fonction A×N2/5. La figure suivante repr´esente le potentiel chimique en fonction du nombre d’atomes `a la puissance 2/5. La derni`ere figure est trac´ee en ´echelle Log-Log et le fit par une fonction lin´eaire donne une pente de0.39±0.01
Nbec nbec(~0) (at/cm3) a = 8 nm 5.5 105 6.5 1013 a = 16 nm 2.75 105 3.25 1013
Tab.3.4 –Nombre d’atomes et densit´e dans le condensat le plus gros observ´e, pour deux longueurs de diffusion
longueurs de diffusion diff´erentes. D’apr`es les relations (3.17) et (3.18), la densit´e et le nombre d’atomes sont inversement proportionnels `a la longueur de diffusion.
Ainsi, la mesure de la longueur de diffusion par cette m´ethode ne peut ˆetre qu’approximative. Pour pouvoir faire une mesure pr´ecise, il faudrait obtenir une d´etection bien calibr´ee des atomes du nuage thermique et du conden-sat (le plus simple ´etant d’avoir la mˆeme d´etection pour les deux nuages).
Nous esp´erons pouvoir obtenir une telle d´etection en employant des faisceaux Raman pour faire basculer rapidement tous les atomes dans le sous-niveau Zeemanm= 0. Nous verrons ´egalement aux chapitres 4 et 5 que d’autres m´ e-thodes peuvent nous permettre d’am´eliorer notre estimation de la longueur de diffusion.